平面向量的概念線性運(yùn)算基本定理及坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積知識點(diǎn)與同步練習(xí)

1、平面向量的概念、線性運(yùn)算、基本定理及坐標(biāo)表示與向量的數(shù)量積一、向量的概念1.向量：既有大小有方向的量叫做向量. 只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.2.幾何表示: 向量可以用有向線段表示.長度：向量的大小,也就是向量的長度(或稱模),記做.向量也可用字母（印刷用黑體，手寫用）或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)表示.例如，.零向量：長度為0的向量.記做.單位向量: 長度為1的向量.平行向量: 方向相同或相反的向量.記作. 規(guī)定: 零向量與任一向量平行.3.相等向量:長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 記做.注意: 向量相等與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).共線向量:任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，

2、平行向量也叫共線向量.二、平面向量的線性運(yùn)算(向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算)1.向量加法的三角形法則 已知非零向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則向量叫做 和的和，記做，即求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法. 這種方法稱為向量加法的三角形法則.2.向量加法的平行四邊形法則以同一個點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個已知向量、為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的對角線是與的和,即.此法叫做向量加法的平行四邊形法則. 規(guī)定：對零向量與任一向量，3.小結(jié)論對任意向量、，有； 當(dāng)、同向時，；當(dāng)、反向是，（或）4.向量加法交換律：；向量加法結(jié)合律：5.與長度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.規(guī)定：零向量的相反向量是零向量.6.

3、向量減法的幾何意義：可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.7.向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下： (1) ； (2) 當(dāng)時,的方向與的方向相同；當(dāng)時,的方向與的方向相同.8.數(shù)乘的運(yùn)算律： (1) ; (2) ; (3) .9.向量共線充要條件:向量與共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù),使.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理 如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一個實(shí)數(shù)、，使得把不共線的向量、叫做這一平面內(nèi)所有向量的基底.2.向量的夾角 已知兩個非零向量，作，則 叫

4、做向量與的夾角. 如果與的夾角是，稱與垂直，記作. 當(dāng)時，同向；當(dāng)時，反向.3.正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.4.向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量，由平面基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使得 這樣，平面內(nèi)的任一向量都可以由、唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的坐標(biāo)，記作.其中，分別叫做在軸上，在軸上的坐標(biāo). 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示.5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1) 若，則； (2) 若,則； (3) 若,，則.6.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè),則向量共線

5、的充要條件為.7.設(shè),.(1) 若是的中點(diǎn)，則；(2) 若，則.前三部分總結(jié)1.向量相等(長度和方向).2.加法的三角形法則(首尾相連)、四邊形法則(起點(diǎn)相同)及其幾何意義. 注意與平面幾何相結(jié)合小結(jié)論：(1)為的重心(中線的交點(diǎn))； (2)為的外心3.共線(平行)向量.(1) ；(2) 三點(diǎn)共線.4.平面向量基本定理 四、平面向量的數(shù)量積：1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以為起點(diǎn)，作，那么射線的夾角叫做向量與向量的夾角，其中2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義:如果兩個非零向量的夾角為，那么我們把叫做向量與向量的數(shù)量積，記做即：（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以

6、為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計算公式：若向量，則3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量的平行與垂直問題：（1）若，則（2）若，則例：一、平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用：1、向量數(shù)量積定義的應(yīng)用例1（1）已知向量的夾角為，求（2）已知求：；若，求的坐標(biāo)2、向量的夾角問題例2（1）已知向量、都是非零向量，且向量與向量垂直，向量與向量垂直，求向量與的夾角。（2）若向量=，=，且，的夾角為鈍角，求的取值范圍基礎(chǔ)練習(xí)：一、選擇題1下列向量給中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 （ ）Ae1=(0,0), e2 =(1,2) ; Be1=(-1,2),e2 =(5,7); Ce1=(3,5),e

7、2 =(6,10); De1=(2,-3) ,e2 =2已知向量a、b，且=a+2b ,= -5a+6b ,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是 （ ）AA、B、D BA、B、C CB、C 、D DA、C、D3如果e1、 e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么在下列各說法中錯誤的有 （ ）e1e2(, R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面中的任一向量a,使a=e1e2的, 有無數(shù)多對；若向量1e1+1e2與2e1+2e2共線,則有且只有一個實(shí)數(shù)k,使2e1+2e2=k(1e1+1e2)；若實(shí)數(shù), 使e1e2=0，則=0.A B C D僅5若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,

8、則c= ( )A-a+3b B3a-b Ca-3b D-3a+b*6平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x, y)滿足=+，其中,R且+=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為 （ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=0二、填空題7作用于原點(diǎn)的兩力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,為使得它們平衡，需加力F3= ;8若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且=2,則x= ，y= ;9已知A(2,3),B(1,4)且=(sin,cos), ,(-,),則+= *10已知a=(1,2) ,b=(

9、-3,2),若ka+b與a-3b平行，則實(shí)數(shù)k的值為 11、若，則與的夾角的取值范圍是 。12、 ，與的夾角是 。13、 已知若與的夾角為鈍角，實(shí)數(shù)m的取值范圍為 。14、已知，則與的夾角是 三、解答題15.已知向量b與向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b16如果向量=i-2j ,=i+mj ,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)m的值使A、B、C三點(diǎn)共線。17已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,求證：*18已知A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若，試求為何值時，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)？19、已知若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。20、已