一堂計數(shù)應(yīng)用題易錯題剖析課

1、一堂計數(shù)應(yīng)用題易錯題剖析課江蘇省徐州市田家炳中學(xué)(原名：睢寧縣城北中學(xué)）221200 武瑞雪（電話E-mail:wrx.2010）計數(shù)應(yīng)用題，題型多變、條件隱晦、思維抽象，學(xué)生在解這類問題時，常因重復(fù)考慮而致錯，本節(jié)課舉三例剖析如下：例1 5份不同的獎品分給4個人，每人至少一份，共有多少種分法？錯解 可分為兩步：第一步：先從5份不同的獎品中任取4份，分配給4個人，有A種分法；第二步：將剩下的那份獎品分給4個人中的某人，有A種分法。由分步計數(shù)原理，共有A A種，即480種分法。剖析 上述解法中出現(xiàn)重復(fù)計算問題。現(xiàn)將5份不同獎品分別標(biāo)號為、，4個人依次記為甲、乙、丙、丁，

2、則在上述分法中，“第一步中甲、乙、丙、丁分別得獎品、，第二步中將獎品分給了甲”和“第一步中甲、乙、丙、丁分別得獎品、，第二步中將獎品分給了甲”是同一種分法。因此，上述解法是錯誤的。正解 因每一種分法都被重復(fù)計算一次，故分法數(shù)為：。另解 可分為兩步：第一步，先從5份不同獎品中任取2份作為一個整體，有種取法；第二步，將上述“整體”和其它3份獎品，共4份，分配給4人，共有分法。由分步計數(shù)原理，共有種，即240種分法。變式1 4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，恰有一個空盒的放法共有多少種？錯解 可分為三步：第一步：先從4個不同的小球中任取3個，有種取法；第二步：將選取的3個小球放入4

3、個盒子中的某3個盒子，有種放法。第三步：將剩下的1個小球放入被選的3個盒子中的某1個盒子，有種放法。由分步計數(shù)原理，共有種，即288種放法。剖析 上述解法中出現(xiàn)重復(fù)計算問題?，F(xiàn)將4個不同小球分別標(biāo)號為、。則在上述放法中，“第一步選的是、號小球，第二步中將、號小球分別放入1，2，3號盒子，第三步中將號球放入3號盒子”和“第一步選的是、號小球，第二步中將、號小球分別放入1，2，3號盒子，第三步中將號球放入3號盒子”是同一種分法。因此，上述解法是錯誤的。正解 因每一種分法都被重復(fù)計算一次，故分法數(shù)為：（）÷2=144。另解 可分為二步：第一步，先從4個不同小球中任取2個作為一個整體，有種取

4、法；第二步，將上述“整體”和其它2個小球，共3個，放入4個盒子中的某3個，共有分法。由分步計數(shù)原理，共有種，即144種分法。例2 一個小組有6名學(xué)生，其中女生2名，現(xiàn)選派4名學(xué)生參加某項活動，至少有一名女生，共有多少種不同選法？錯解 可分兩步：第一步：先從2名女生中任取1名，有種選法；第二步，從剩下的5名學(xué)生中再任取3名，有種選法。由分步計數(shù)原理，共有種，即20種選法。剖析 在上述20種選法中，有部分是重復(fù)的，現(xiàn)將兩名女生分別標(biāo)號為、，4名男生分別標(biāo)號為、，則上述分法中，“第一步選號女生，第二步從剩下5名學(xué)生中選、號三名學(xué)生”與“第一步選號女生，第二步從剩下5名學(xué)生中選、號三名學(xué)生”是同一種選

5、法，類似被重復(fù)的選法共種（兩名女生均被選的選法），即6種。正解一（去雜法） -=20-6=14（種）。正解二（去雜法） 從6名學(xué)生中任選4名學(xué)生，共有種選法，而其中不符合條件的選法（即沒有女生的選法）有種，所以，符合條件的選法共-，即14種。正解三（直接法） 分兩類：第一類是，只選1名女生，有種選法；第二類是，選2名女生，有種選法。由分類計數(shù)原理，共有（+）種，即14種不同選法。變式2 從35名男生，15名女生中選出4人分別擔(dān)任語、數(shù)、外、物四門學(xué)科的課代表，其中至少有一名男生和一名女生的不同選派方法的結(jié)果給出如下幾種：,，其中正確結(jié)果的序號是 （注：把你認為正確結(jié)果的序號都填上）答案：、例3

6、將6本不同的書均分成三堆，共有多少種不同的分法？錯解 分三步：第一步，先從6本不同書中任取2本，作為一堆，有種取法；第二步，從剩下的4本書中任取2本，作為另一堆，有種取法；第三步，最后剩下的2本全取，作為又一堆，有種取法。由分步計數(shù)原理，共有分法種，即90種。剖析 上述90種分堆方法，出現(xiàn)重復(fù)計算的情況，現(xiàn)把6本不同的書分別標(biāo)號為、，下表中所給六種（即種）分堆方法是同一種分堆方法。故應(yīng)共有（）¸種，即15種分堆方法。 分法步驟第一種第二種第三種第四種第五種第六種第一步、第二步、第三步、說明 此題若不是“均分組”，則不會出現(xiàn)重復(fù)計算的情況，如：將6本不同的書分成三堆，一堆1本,一堆2本

7、，一堆3本，共有多少種不同的分法？答案 =60（種）此題若是將6本不同的書平均分給甲、乙、丙三個人，則也不會出現(xiàn)重復(fù)計算的情況，此時共有，即90種不同的分法。 變式3 有6本不同的書，按下列條件各有多少種分法？（1）分成三組，一組4本，另兩組各1本；（2）分給甲、乙、丙三個人，分別得4本、1本、1本；（3）分給甲、乙、丙三個人，一個人得4本，另兩個人各得1本。解 （1）其中有兩組是均分組，而組與組之間無順序，故共有分法÷=15（種）（2）將甲、乙、丙三個人當(dāng)作三個位置，分三步依次取4本、1本、1本放在三個位置，由乘法原理得共有分法=30（種）（3）將第（1）小題中的三組分別當(dāng)作一個元素，將甲、乙、丙三個人當(dāng)作位置進行全排，故共有分法（÷）=90（種）。（3）另解 從6本不同的書任取4本當(dāng)作一個元素，有種取法，然后和其它2本書進行全排，有種排法，由乘法原理得共有分法=90（種）。作業(yè) 有5本不同的書要分給甲、乙、丙三位同學(xué)，要求每人至少