判斷線性系統(tǒng)習題

1、判斷線性系統(tǒng)如果)()(),()(2211nxTnynxTny有)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT則系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。)(nx)(nyT 例1. 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)。5)(3)()();()()();()()();()()(22nxnydnxnycnxnybnnxnya解：(a)()(),()()()()(222111nxTnnxnynxTnnxnynnxny）)()()()()()()()(2211221122112211nxTanxTanyanyannxannxanxanxaT故為線性系統(tǒng)。操作：乘 n（b)()(),()()()()(222212112n

2、xTnxnynxTnxnynxny）)()()()()()()()(221122112222112211nxTanxTanyanyanxanxanxanxaT故為線性系統(tǒng)。操作：2nn )()(),()()()()(222212112nxTnxnynxTnxnynxny）)()(2)()()()()()(212122222121222112211nxnxaanxanxanxanxanxanxaT故不是線性系統(tǒng)。操作：平方。(c)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可見：)()()()(2222112211nxanxanxTanxTa(d)。加即，系統(tǒng)操作為乘）53)(5

3、)(3(),(5)(3)(5)(3)(222111nxTnxnynxTnxnynxny5)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT故不是線性系統(tǒng)。)()()()(22112211nxTanxTanxanxaT可見：22211122115)(35)(3)()(anxaanxanxTanxTa 如果 有 ，則系統(tǒng)為移（時）不變系統(tǒng))()(nynxT)()(mnymnxT二. 判斷移不變系統(tǒng).例2 判斷系統(tǒng) 是否是移不變系統(tǒng)。其中a和b均為常數(shù)bnaxny)()(解：)()()()()()(mnybmnaxmnxTnybnaxnxT故為移不變系統(tǒng)。例3 判斷系統(tǒng) 是否是移不變系統(tǒng)

4、。)1 . 02sin()()(nnxny解：)1 . 02sin()()()()1 . 02sin()()(系統(tǒng)操作nmnxmnxTnynnxnxT故不是移不變系統(tǒng)。又：1 . 0)(2sin)()(函數(shù)操作mnmnxmny顯然)()(mnymnxT);1()()()();()()(nxnxnybnnxnya例4. 判斷下列系統(tǒng)是否為移不變系統(tǒng)。解：系統(tǒng)操作)()()()()(mnnxmnxTnynnxnxT故不是移不變系統(tǒng)。又：函數(shù)操作)()()(mnxmnmny顯然)()(mnymnxT（a）) 1()()()() 1()()() 1()()(mnxmnxmnxTnynxnxnxTnxn

5、xny故是移不變系統(tǒng)。又：) 1()()(mnxmnxmny顯然)()(mnymnxT（b)一個常系數(shù)線性差分方程是否表征一個線性移不變系統(tǒng)，這完全由邊界條件決定。例如：差分方程（c) 邊界條件 時，既不是線性的也不是移不變的。三. 判斷線性移不變系統(tǒng).)() 1()(nxnayny（a) 邊界條件 時，是線性的但不是移不變的。0)0(y（b) 邊界條件 時，是線性移不變的。0) 1(y1)0(y的情況）解：（0) 1(yb)()(1nnx令1)0() 1()0(11ayyaayy) 1 ()0() 1 (11211)2() 1 ()2(aayy.nannayny)() 1()(11所以：)(

6、)(1nuanyn)() 1()(nxnayny) 1()(2nnx又令0) 1() 1()0(22ayy則：.所以：) 1()(12nuanyn1)0()0() 1 (22ayyaayy) 1 () 1 ()2(22122) 1() 1()(nannayny可見 是移一位的關系， 亦是移一位的關系。因此是移不變系統(tǒng)。)()(21nxnx)()(21nyny)()()()()(111nxTnuanynnxn由上述分析可知：)() 1()() 1()(2122nxTnuanynnxn) 1()()(3nnnx又令：代入差分方程，得：1) 10()0() 1()0(33ayy1)0() 1 ()0

7、() 1 (33aayyaaayy233) 1 ()2() 1 ()2(2333)2() 3()2() 3(aaayy.13)(nnaany所以：)()()()()(2113nxnxTnuanuanynn)()()()()(21213nxTnxTnynyny因此為線性系統(tǒng)。（c）的證明見教科書例1-19(p.32)四. 判斷因果系統(tǒng)。 如果一個系統(tǒng)的某個時刻的輸出，只決定于某個時刻的輸入和過去的輸入，與未來的輸入沒有關系，換言之，因果系統(tǒng)的輸出不能領先于輸入，亦即其輸出不能無中生有，故稱之為因果。即 則有0, 0)(nnnx0, 0)(nnny且)(),.1(),()(knxnxnxfny（b）由于 領先于 ，故為非因果系統(tǒng)。 例5 判斷下列系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。)2()()()(nxnxnya) 1()() 1()(nxnxnyb)()()(kxnycnk)()()(nxnyd（a) 為因果系統(tǒng)，由定義