不定積分湊微分法和換元法（課堂PPT）

1、.1巴馬水具有四個(gè)顯著特征: 7.2 不定積分的計(jì)算一是弱堿性離子水。二是還原水。三是小分子團(tuán)水。四是營養(yǎng)水。.2問題問題 xdx2cos,2sinCx 解決方法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程過程令令xt2 ,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 1、第一換元積分法.3在一般情況下：在一般情況下：設(shè)設(shè)),()(ufuF 則則.)()( CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()( ( )( ) ( )( )fxx dxFxCF uC ( )( )f u duux 由此可得換元法定理由

2、此可得換元法定理.4 ( )( ) xxdgx ( )( ( )g u duGxC 第一類換元公式第一類換元公式（湊微分法）（湊微分法）說明說明: 使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 ( )( )fxx dx 化為化為( ).g u du 左式不易求出原函數(shù)，轉(zhuǎn)化后右式能求出原函數(shù)左式不易求出原函數(shù)，轉(zhuǎn)化后右式能求出原函數(shù).定理定理7.2.17.2.1.5例例1 1 求求35.xdx 111u duuC 已已知知解解35xdx 5)ux(令(令13udu 443333(5).44uCxC .6例例2 2221.(0)dx aax 21arctan1dxxCx 已已知知解解dxxa 2

3、21dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa .7求求.25812dxxx 解解dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx .8例例3 求求2sin.xx dx sincosuduu C 已已知知解解2sin xxdx 2212sin x dx sin12uud 2()ux 1cos2uC 21cos;2xC .9求求.2sin xdx解（一）解（一） xdx2sin1sin2(2 )2xdx sincosuduu C 已已知知;2cos21Cx 解（二）解（二） xdx2sin xdxxc

4、ossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 212uduuC 已已知知解（三）解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 212uduuC 已已知知.10例例4 4 求求.231dxx 解解(32 )(32 )2,dxx dxdx dxx 23111(31132322 )(32 )22x dxdxxx 112duu Cu ln21.)23ln(21Cx ()axbfdx 1( )()uaxbf u dua 其其中中一般地一般地.11書中例書中例4 4 求求2.1dxx l1n.uCduu 解解211111,1(1)(1)211xxxx

5、x21dxx 112111dxxx 1(ln1ln1)2xxC11ln.21xCx .12求求.)ln21(1dxxx 解解(12ln )1xdxx 121()lnlnxdx )ln21(ln21121xdx xuln21 112duu Cu ln21.)ln21ln(21Cx .13例例5 5 求求解解5sin.xdx 5sin xdx 4sinsinxxdx 22(sin)(cos )xdx 22(1cos)cosxdx 24( 12coscos) cosxx dx cosx 32cos3x 51cos5x .C 說明說明 當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘或冪時(shí)，拆開奇當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘或冪

6、時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分次項(xiàng)去湊微分.14附例附例 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx .15例例6 6 求求解解2coscosxdxx 1.cosdxx 1cosdxx 21sin1sindxx 111() sin21 sin1 sindxxx 11sinln21sinxCx 221(1sin )ln2cosxCx ln sectan.xxC .16例例7 7 求求解（一）解（一） dxxs

7、in1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函數(shù)恒等變形）（使用了三角函數(shù)恒等變形）.17解（二）解（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 類似地可推出類似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx.18例例8 8 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 d

8、xxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx .19例例9 9 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx .20解解例例1010 設(shè)設(shè) 求求 .,cos)(sin22xxf )(xf令令xu2sin ,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf .21例例1111 求求.11dxex 解解dxex

9、 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx .22例例1212 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx .23例例1313 求求.12321dxxx 解：原式解：原式 dxxxxxxx 123212321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx .24例例1414 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(a

10、rcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx .25作業(yè)作業(yè).26問題問題?125 dxxx解決方法解決方法改變中間變量的設(shè)置方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程過程令令txsin ,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(sin25 tdtt25cossin （應(yīng)用（應(yīng)用“湊微分湊微分”即可求出結(jié)果）即可求出結(jié)果）2、第二換元積分法.27定理定理7.2.2 7.2.2 （第二換元積分法）（第二換元積分法）.28證明證明證畢證畢.29例例1515 書中例書中例7求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2s

11、ecsec1 tdtsecln sectanttCtax22ax 22lnxxaCaa 2,2t22lnln .xxaCCCa .30例例16 16 書中例書中例8 求求22.(0)ax dx a 解解sin(),2xatt 令令arcsin,cosxtdxatdta22ax dx 22(1sin)cosatatdt 22cosatdt 2(1cos2 )2at dt 21(sin2 )22attC21sincos22atat atCtax22ax 222arcsin.22axxaxCa .31例例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 23

12、4 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx .32例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax .33說明說明(1)(1) 以上幾例所使用的均為以上幾例所使用的均為三角代換三角代換.三角代換的三角代換的目的目的是

13、化掉根式是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax .34說明說明(2)(2) 積分中為了化掉根式除采用三角代積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用換外還可用雙曲代換雙曲代換.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax .35 積分中

14、為了化掉根式是否一定采用積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明說明(3)(3)例例 求求dxxx 251（三角代換很繁瑣）（三角代換很繁瑣）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 221 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解.36例例1919 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxe

15、x ,1ln2 tx.37說明說明(4)(4) 當(dāng)分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí), 可采用可采用倒代換倒代換.1tx 例例2020 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解.38例例2121 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111（分母的階較高）（分母的階較高）dttt 231222121dttt 2tu .39 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 113

16、13.1131232Cxxxx .40說明說明(5)(5) 當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） lkxx,ntx n例例2222 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216.41 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx .42基基本本積積分分表表;coslntan)16( Cxxdx;sinlncot)17( Cxxdx;)tanln(secsec)18( Cxxxdx;)cotln(csccsc)19( Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa .43;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Ca