具多個(gè) 維變量的 -擬正則映射的高階可積性

1、具多個(gè)維變量的-擬正則映射的高階可積性錢 芳河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 河北保定 071002摘 要應(yīng)用Sobolev空間的分析方法和Gehring引理，得到了高維空間中具多個(gè)維變量的-擬正則映射的高階可積性和分量函數(shù)的Hölder連續(xù)性，推廣了T.Iwaniec和高紅亞的結(jié)果。關(guān)鍵詞：具多個(gè)維變量的-擬正則映射，高階可積性，Gehring引理。中圖法分類號(hào)：O174.55.具多個(gè)-維歐式空間中擬正則映射的推廣。文1將經(jīng)典意義下的偶數(shù)維及任意維數(shù)下擬正則映射的結(jié)果推廣到具多個(gè)維變量情形。本文研究具多個(gè)維變量的-擬正則映射，利用Sobolev空間的分析方法，得到了一個(gè)弱逆Hö

2、lder不等式，利用Gehring引理，得到了其高階可積性。推廣了T.Iwaniec4和高紅亞5的結(jié)果。本文采用Dairbekov文1中的記號(hào)。設(shè), 。維歐式空間記為。引入空間，。對(duì)，記 ， ，這里，。設(shè)為區(qū)域，為中的映射，其Jacobi矩陣，為一個(gè)在中幾乎處處有定義的分塊矩陣。對(duì)，記 。定義 映射稱為具多個(gè)維變量的-擬正則映射，若在中幾乎處處有 ， (1)這里對(duì)矩陣，其范數(shù)定義由定義。上述定義中若，則由Hadamard不等式知為常數(shù)，因此當(dāng)時(shí)設(shè)。記從到的-擬正則映射的全體為。當(dāng)時(shí)，與通常的到自身的-擬正則映射一致，見(jiàn)5。對(duì)， 情形，與多維復(fù)Beltrami方程的解類一致，見(jiàn)1。因此上述定義是

3、經(jīng)典擬正則映射定義的推廣。關(guān)于擬正則映射的一些結(jié)果參見(jiàn)1-5。本文我們利用Sobolev空間的分析技巧及Gehring引理，得到了具多個(gè)維變量的-擬正則映射的高階可積性結(jié)果：定理 設(shè)為具多個(gè)維變量的-擬正則映射，則存在可積指數(shù)，使得。注 這個(gè)結(jié)果說(shuō)明具多個(gè)維變量的-擬正則映射的可積性可以自我提高，這是T.Iwaniec4和高紅亞5相應(yīng)結(jié)果的推廣。由定理可得-擬正則映射分量函數(shù)的局部Hölder連續(xù)性結(jié)果：推論設(shè)為具多個(gè)維變量的-擬正則映射，則的每個(gè)分量函數(shù)，。證明 由Sobolev嵌入定理即得。下面的Gehring引理在定理的證明中需要用到，它說(shuō)明了如果一個(gè)函數(shù)滿足弱逆Hö

4、表示以為半徑的球。引理 設(shè)。，。若對(duì)任意成立估計(jì)式 這里， 表示上的積分平均。則存在可積指數(shù)，使得，并且下面的估計(jì)式成立這里與球無(wú)關(guān)。 定理的證明 下面出現(xiàn)的表示與有關(guān)的常數(shù)，在不同的場(chǎng)合其取值不必相同。對(duì)任意球，取，使得，在上，且。若引入記號(hào) 和 則，。 (2)(2)式對(duì)求和，并在球上積分得到 (3)由于，由Stokes公式，(3)式左端的積分為零。這樣 。 (4)聯(lián)合(4)式與(1)式得到 (5)這里。計(jì)算得知，這樣由(5)式得 。 (6)由定義，若是-擬正則映射，則也是，這里為常向量。于是可假設(shè)在球上的積分平均為零，這使得我們可以應(yīng)用Poincaré不等式。由(6)得 兩邊除以

5、得到 這是一個(gè)弱逆Hölder不等式。定理由引理即得，證畢。參 考 文 獻(xiàn)1 several n-dimensional variables, Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 1993, 34(4): 87-102.2 T.Iwnaniec, G.Martin, Geometric function theory and non-linear analysis, Clarendon Press, Oxford, 2001. 3 T.Iwaniec, G.Martin, Quasiregular mappings in even dimension

6、s, Acta Math., 1993, 170: 29-81.4 T.Iwaniec, p-harmonic tensors and quasiregular mappings, Ann. of Math., 1992, 5 -quasiregular mappings, Sci. in China, 2003, 46(4): 499-505.integrability of he partial derivatives of a quasiconformal mapping, Acta Math., 1973, 130: 265-277.7 M.Giaquinta, Multiple in

7、tegrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems, Ann. of Math. Stud., No. 105, Princeton Univ. Press, 1983. Higher Integrability for -Quasiregular Mappings of Several -Dimensional VariablesQian FangCollege of Mathematics and Computer Science, Hebei University, Baoding, 071002Abstract A higher integrability result for -quasiregular mappings of several -dimensional variables is obtained by using the analytical method of Sobolev spaces and Gehri