關于卡爾曼濾波器 Kalman Filter的一個較好的解釋

1、卡爾曼濾波器 Kalman Filter (zz 在學習卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。跟其他著名的理論（例如傅立葉變換，泰勒級數(shù)等等）一樣，卡爾曼也是一個人的名字，而跟他們不同的是，他是個現(xiàn)代人！卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數(shù)學家，1930年出生于匈牙利首都布達佩斯。1953，1954年于麻省理工學院分別獲得電機工程學士及碩士學位。1957年于哥倫比亞大學獲得博士學位。我們現(xiàn)在要學習的卡爾曼濾波器，正是源于他的博士論文和1960年發(fā)表的論文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problem

2、s（線性濾波與預測問題的新方法）。如果對這編論文有興趣，可以到這里的地址下載： 簡單來說，卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對于解決很大部分的問題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛應用已經(jīng)超過30年，包括機器人導航，控制，傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達系統(tǒng)以及導彈追蹤等等。近年來更被應用于計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。2卡爾曼濾波器的介紹（Introduction to the Kalman Filter）為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會應

3、用形象的描述方法來講解，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學公式和數(shù)學符號。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結合現(xiàn)代的計算機，其實卡爾曼的程序相當?shù)暮唵?，只要你理解了他的?條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設我們用一分鐘來做時間單位）。假設你對你的經(jīng)驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的而且符合高斯分配（Gau

4、ssian Distribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預測值（系統(tǒng)的預測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，

5、你對自己預測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為Kg2=52/(52+42，所以Kg=0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23=24.56度?？梢钥闯?，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就

6、是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg*520.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！下面

7、就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3 卡爾曼濾波器算法（The Kalman Filter Algorithm）在這一部分，我們就來描述源于Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。下面的描述，會涉及一些基本的概念知識，包括概率（Probability），隨即變量（Random Variable），高斯或正態(tài)分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對于卡爾曼濾波器的詳細證明，這里不能一一描述。首先，我們先要引入一個離散控制過程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一個線性隨機微分方程（Linear Stochastic Difference equatio

8、n）來描述：X(k=A X(k-1+B U(k+W(k 再加上系統(tǒng)的測量值：Z(k=H X(k+V(k 上兩式子中，X(k是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k是k時刻對系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃?。Z(k是k時刻的測量值，H是測量系統(tǒng)的參數(shù)，對于多測量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k和V(k分別表示過程和測量的噪聲。他們被假設成高斯白噪聲(White Gaussian Noise，他們的covariance 分別是Q，R（這里我們假設他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。對于滿足上面的條件(線性隨機微分系統(tǒng)，過程和測量都是高斯白噪聲，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息處理器。下面我們來用他們結合他們的

9、covariances 來估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類似上一節(jié)那個溫度的例子）。首先我們要利用系統(tǒng)的過程模型，來預測下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，可以基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預測出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1=A X(k-1|k-1+B U(k . (1式(1中，X(k|k-1是利用上一狀態(tài)預測的結果，X(k-1|k-1是上一狀態(tài)最優(yōu)的結果，U(k為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒有控制量，它可以為0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)結果已經(jīng)更新了，可是，對應于X(k|k-1的covariance還沒更新。我們用P表示covariance：P(k|k-1=A P(k-1|k-1 A+Q (2式(2

10、中，P(k|k-1是X(k|k-1對應的covariance，P(k-1|k-1是X(k-1|k-1對應的covariance，A表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個公式當中的前兩個，也就是對系統(tǒng)的預測?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預測結果，然后我們再收集現(xiàn)在狀態(tài)的測量值。結合預測值和測量值，我們可以得到現(xiàn)在狀態(tài)(k的最優(yōu)化估算值X(k|k：X(k|k= X(k|k-1+Kg(k (Z(k-H X(k|k-1 (3其中Kg為卡爾曼增益(Kalman Gain：Kg(k= P(k|k-1 H / (H P(k|k-1 H + R (4到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)

11、得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k。但是為了要另卡爾曼濾波器不斷的運行下去直到系統(tǒng)過程結束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k的covariance：P(k|k=（I-Kg(k H）P(k|k-1 (5其中I 為1的矩陣，對于單模型單測量，I=1。當系統(tǒng)進入k+1狀態(tài)時，P(k|k就是式子(2的P(k-1|k-1。這樣，算法就可以自回歸的運算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5 個基本公式。根據(jù)這5個公式，可以很容易的實現(xiàn)計算機的程序。下面，我會用程序舉一個實際運行的例子。4 簡單例子（A Simple Example）這里我們結合第二第三節(jié)，舉一個非常簡單的例子

12、來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的例子是進一步描述第二節(jié)的例子，而且還會配以程序模擬結果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間看成一個系統(tǒng)，然后對這個系統(tǒng)建模。當然，我們見的模型不需要非常地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度相同的，所以A=1。沒有控制量，所以U(k=0。因此得出：X(k|k-1=X(k-1|k-1 . (6式子（2）可以改成：P(k|k-1=P(k-1|k-1 +Q (7因為測量的值是溫度計的，跟溫度直接對應，所以H=1。式子3，4，5可以改成以下：X(k|k= X(k|k-1+Kg(k (Z(k-X(k|k-1 (8Kg(k= P(k|k-1 / (P(k|k-1 +

13、 R (9P(k|k=（1-Kg(k）P(k|k-1 (10現(xiàn)在我們模擬一組測量值作為輸入。假設房間的真實溫度為25度，我模擬了200個測量值，這些測量值的平均值為25度，但是加入了標準偏差為幾度的高斯白噪聲（在圖中為藍線）。為了令卡爾曼濾波器開始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個零時刻的初始值，是X(0|0和P(0|0。他們的值不用太在意，隨便給一個就可以了，因為隨著卡爾曼的工作，X會逐漸的收斂。但是對于P，一般不要取0，因為這樣可能會令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0=1度，P(0|0=10。該系統(tǒng)的真實溫度為25度，圖中用黑線表示。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化結果（該結果在算法中設置了Q=1e-6，R=1e-1）。附matlab下面的kalman濾波程序：clearN=200;w(1=0;w=randn(1,Nx(1=0;a=1;for k=2:N;x(k=a*x(k-1+w(k-1;endV=randn(1,N;q1=std(V;Rvv=q1.2;q2=std(x;Rxx=q2