高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法

1、高中數(shù)學(xué)排列組合問題常用的解題方法排列組合是高中數(shù)學(xué)的重點和難點之一，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)。排列組合問題通常聯(lián)系實際，生動有趣，并且能夠鍛煉同學(xué)們的邏輯推理能力和思維的縝密性，但題型多樣，思路靈活，不易掌握。實踐證明，備考有效方法是題型與解法歸類、識別模式、熟練運用，現(xiàn)將高中階段常用的排列問題和組合問題的解題方法歸納如下：一、相鄰問題捆綁法題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組(當(dāng)作一個元素)參與排列例1 五人并排站成一排，如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 種。分析：把甲、乙視為一人，并且乙固定在甲的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種。二、相離問題插空法元素相離(即不相鄰)

2、問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個元素插入上述幾個元素間的空位和兩端例2 七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 。 分析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種。三、定序問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法例3 A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊(A、B可不相鄰)，那么不同的排法種數(shù)有 。分析：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種。 四、標(biāo)號排位問題分步法把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入

3、，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成例4 將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有 。分析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法。五、有序分配問題逐分法有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法。例5 有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法總數(shù)有 。分析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，

4、再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有種。六、多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后總計。例6 由數(shù)字 0，1，2，3，4，5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 個。分析：按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個。例7 從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？分析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全

5、集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種。例8 從1，2，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？分析：將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種。七、交叉問題集合法某些排列組合問題幾部分之間

6、有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式。例 9 從6名運動員中選出4個參加4×100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同參賽方法？分析：設(shè)全集6人中任取4人參賽的排列，A甲第一棒的排列，B乙跑第四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：八、定位問題優(yōu)先法某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素。例10 1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排法有_ _種。分析：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學(xué)在其余4個位置上有種方法；所以共有種。九、多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處

7、理。例11 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是 。分析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種。例12 8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某 1個元素要排在后排，有多少種排法？分析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法。十、“至少”問題間接法關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便。例13 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同取法共有 種。分析1：逆向思考

8、，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種。分析2：至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有種。十一、選排問題先取后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法。例14 四個不同的球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有_ _種分析：先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種。例15 9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同分組法？分析：先取男女運動員各2名，有種，這四

9、名運動員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有種。十二、部分合條件問題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求。例16 以一個正方體頂點為頂點的四面體共有 個。分析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有個。例17 四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 種。分析：10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個；所以四點

10、不共面的情況的種數(shù)是種。十三、復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法例18馬路上有編號為1，2，39九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？分析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法。所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種。說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決。十四、利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理。例19 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？分析：因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的