相似三角形證明技巧-專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析一、相似、全等的關(guān)系 全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ) 二、相似三角形(1)三角形相似的條件： ； ； .三、兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最

2、簡(jiǎn)單；2）再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例； 3）若無對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；a)已知一對(duì)等角找另一角 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找夾邊對(duì)應(yīng)成比例 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似 b)己知兩邊對(duì)應(yīng)成比例找夾角相等 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例 三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角 斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似 c)己知一個(gè)直角 找另一角 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似 找兩邊對(duì)應(yīng)成比例 判定定理1或判定定理4d)有等腰關(guān)系 找頂角對(duì)應(yīng)相等 判定定理1 找底角對(duì)應(yīng)相等 判定定理1 找底和腰對(duì)應(yīng)成比例 判定定

3、理3 e)相似形的傳遞性 若12，23，則13五、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。例1、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證: （判斷“橫

4、定”還是“豎定”？ ）例2、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，AC·AE=AF·AB嗎？說明理由。分析方法：1）先將積式_2）_（ “橫定”還是“豎定”？ ）已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長(zhǎng)線于F。 求證：CD2=DE·DF。 分析方法：1）先將積式_2）_（ “橫定”還是“豎定”？ ）六、過渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明1、 等量過渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無法解決欲證的問題時(shí)

5、，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例1：如圖3，ABC中，AD平分BAC， AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E求證：DE2BE·CE 分析： 2、 等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比

6、例式搭橋，也就是通過對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來確定三角形。例2：如圖4，在ABC中，BAC=90°，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：3、等積過渡法（等積代換法）思考問題的基本途徑是：用三點(diǎn)定形法確定兩個(gè)三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點(diǎn)定形法不能確定兩個(gè)相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點(diǎn)定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。 例3：如圖5，在ABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的高，G是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過

7、B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DF·DG小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似； 不相似，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)： 1如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且ADE=C 求證：（1）ADEACB; (2)AD·AB=AE·AC. 2 如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，BAC=120°求證：（1）ADBCEA; (2) DE²=BD·CE; (3) AB·AC=AD·BC. 3 如圖， 平行四邊形ABCD中，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， D=ECA. 求

8、證：AD·EC=AC·EB .（此題為陷阱題，應(yīng)注意條件中唯一的角相等，考慮平行四邊形對(duì)邊相等，用等線替代思想解決） 4 如圖，AD為ABC中BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線。求證：FD²=FC·FB。（此題四點(diǎn)共線，應(yīng)積極尋找條件，等線替代，轉(zhuǎn)化為證三角形相似。）5如圖，E是平行四邊形的邊DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC²=FG·EF.（此題再次出現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線替代無法進(jìn)行，可以考慮等比替代。） 6如圖，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于F,過F作FMBE交DE于M.求證：FM

9、=CF.(注：等線替代和等比替代的思想不局限于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。此題用等比替代可以解決。)7如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CEAB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連接FC.求證：（1）BF=CF. (2)BF²=FG·FE. 8如圖，ABC=90°,AD=DB,DEAB,求證：DC²=DE·DF.9如圖，ABCD為直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD= BD，過E作EFAB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;(2)AF²=AE·EC.10ABC中,BAC=90°,AD

10、BC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RTABC斜邊AB上的高，在EC延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P,連接AP,作BGAP,垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE²=ED·EP.(注：此題要用到等積替代，將CE²用射影定理替代，再化成比例式。) 七、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過渡法、面積法等若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來證明 可用口訣： 遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系； 三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截； 平

11、行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替； 兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪例1如圖5在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延長(zhǎng)線于H，交BE于G，求證：(1)FG / FAFB / FH (2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)圖5AEFBDGCH1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC3：1， CADBEF圖6 SFBE18，求：(1)BF：FD (2)SF

12、DA 2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到對(duì)應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積 BEACDMN例3如圖7在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于N求：AN：AB的值； 3說明：求比例式的值，可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡當(dāng)已知條件中的比例關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡ABCEDGF例4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F，過F作FGAB交AE于G求證：AG 2AF&#

13、215;FC 4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點(diǎn)定形法”確定要證明的兩個(gè)三角形相似、AEBDMCF例5如圖在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長(zhǎng)5說明：要證明兩個(gè)三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個(gè)三角形相似再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到線段的長(zhǎng)例6如圖10過ABC的頂點(diǎn)C任作一直線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E過點(diǎn)D作DMFC交AB于點(diǎn)M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED；

14、(2)求證：AE×FB2AF×ED 圖CEDAFMB6說明：由平行線推出兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比注意平截比定理的應(yīng)用例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時(shí)，ADP與QCP相似？PADBQC圖11 7說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置本題是開放性題型，有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解圖12ADBCP1P2P3例8己知如圖12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P、A、D

15、為頂點(diǎn)的三角形與以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似 8說明：兩個(gè)三角形相似，必須注意其頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系然后再確定頂點(diǎn)P所在的位置本題有多個(gè)位置，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解例11如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。 求證：BP2=PE·PF。 11分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明PECPCF，問題就能解決了。 例12如圖，已知：在ABC中，BAC

16、=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F。 求證： 。 12分 析：比例式左邊AB，AC在ABC中，右邊DF、AF在ADF中，這兩個(gè)三角形不相似，因此本題需經(jīng)過中間比進(jìn)行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。 八、確定證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過程。九、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得

17、到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一、作平行線例1. 如圖，的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延長(zhǎng)線與BC延長(zhǎng)線相交于F，求證： 例2. 如圖，ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，證明：AB·DF=AC·EF。 例3、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.例4、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長(zhǎng)例5、

18、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長(zhǎng)線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例6：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。二、作延長(zhǎng)線例7. 如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF例8如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連E、F交AC于G求AG：AC的值  三、作中線例10： 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證： BC22CD·AC 中考綜合題型1.已知：如圖，在中，是角平分線，試?yán)萌切蜗?/p>

19、似的關(guān)系說明 1 說明 （1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法，并且根據(jù)相等的角的位置，可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊（2）要說明線段的乘積式，或平方式，一般都是證明比例式，或，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式2.如圖，矩形中，厘米，厘米（）動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米秒過作直線垂直于，分別交，于當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）若厘米，秒，則_厘米；（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們的相似比；DQCPNBMADQCPNBMA（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求(用表示) 3如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為

20、6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4. 如圖（10）所示：等邊ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點(diǎn)的直線B1C1AC于C1交AB的延長(zhǎng)線于B1.請(qǐng)你探究：，是否都成立？請(qǐng)你繼續(xù)探究：若ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請(qǐng)問一定成立嗎？并證明你的判斷. 5. 如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分

21、別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，AB:BC=4:3，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且CEF=ACB.（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）說明AEF與DCE相似；6. 如圖，在RtABC中，B90°，AB1，BC，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E（1）求AE的長(zhǎng)度；（第題）（2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連接AG，試猜想EAG的大小，并說明理由7. 如圖（1），ABC與

22、EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，BACDEF90°，固定ABC，將EFD繞點(diǎn)A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中止.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的情況，設(shè)DE、DF（或它們的延長(zhǎng)線）分別交BC（或它的延長(zhǎng)線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）.（1）問：始終與AGC相似的三角形有 及 ；（2）設(shè)CGx，BHy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求根據(jù)2的情況說明理由）；8. 如圖8，ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長(zhǎng)HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，頂點(diǎn)G、H分別在AC，

23、AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.(1) 求證：(2) 求這個(gè)矩形EFGH的周長(zhǎng).9. （1）如圖1，在ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點(diǎn)P求證： （2） 如圖，在ABC中，BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長(zhǎng)；10如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)且滿足ADAB，ADEC（1）求證：AED=ADC，DEC=B；（2）求證：AB2AEAC11學(xué)習(xí)圖形的相似后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直

24、角三角形相似的條件。（1）“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”。類似地，你可以等到：“滿足 ，或 ，兩個(gè)直角三角形相似”。（2）“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類似地你可以得到“滿足 的兩個(gè)直角三角形相似”。請(qǐng)結(jié)合下列所給圖形，寫出已知，并完成說理過程。已知：如圖， 。試說明RtABCRtABC.12如圖，在ABC中，C=90°，AC=8，BC=6P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(異于A、B兩點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N設(shè)AP=x (1)在ABC中，AB= ； (2)當(dāng)x= 時(shí)，矩形PMCN的周長(zhǎng)是14；(3)是否存在x的值，使得PAM的面積、PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等?請(qǐng)說出你的判斷，并加以說明13如圖，已知ABC，相似比為（），且ABC的三邊長(zhǎng)分別為、（），的三邊長(zhǎng)分別為、。若，求證：；若，試給出符合條件的一對(duì)ABC和，使得、和、進(jìn)都是正整數(shù)，并加以說明；若，是否存在ABC和使得？請(qǐng)說明理由。BBAACOEDDECOF圖1圖2F14如圖1，在RtABC中，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于， OEBO 交邊于點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)為邊中點(diǎn)，時(shí)，如圖2，求