機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)阻尼牛頓法

1、目錄第1章 選擇方法及思路11.1 概述11.1.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)11.1.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想11.1.3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的步驟11.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法1 分類(lèi)11.2.2 常用的優(yōu)化方法2第2章 阻尼牛頓法計(jì)算應(yīng)用42.1 阻尼牛頓法的計(jì)算步驟42.2 阻尼牛頓法的程序框圖52.3 實(shí)例解析52.4 阻尼牛頓法的程序編程6第3章 總結(jié)9第 1 章 選擇方法及思路1.1概述優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種規(guī)格化的設(shè)計(jì)方法，它首先要求將設(shè)計(jì)問(wèn)題按優(yōu)化設(shè)計(jì)所規(guī)定的格式建立數(shù)學(xué)模型，選擇合適的優(yōu)化方法及計(jì)算機(jī)程序，然后再通過(guò)計(jì)算機(jī)的計(jì)算，自動(dòng)獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)的思想優(yōu)化設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想源于它所倡導(dǎo)的開(kāi)放型思維方式

2、,即在面對(duì)問(wèn)題時(shí),拋開(kāi)現(xiàn)實(shí)的局限去想象一種最理想的境界,然后再返回到當(dāng)前的現(xiàn)狀中來(lái)尋找最佳的解決方案.在管理學(xué)中有一句俗語(yǔ),“思路決定出路,心動(dòng)決定行動(dòng)”.如此的思維方式有助于擺脫虛設(shè)的假象,這并非屬于異想天開(kāi)或者好高騖遠(yuǎn)的空想,而是強(qiáng)調(diào)一切從未來(lái)出發(fā),然后再?gòu)默F(xiàn)實(shí)著手。優(yōu)化設(shè)計(jì)的步驟一般來(lái)說(shuō)，優(yōu)化設(shè)計(jì)有以下幾個(gè)步驟：1、建立數(shù)學(xué)模型2、選擇最優(yōu)化算法3、程序設(shè)計(jì)4、制定目標(biāo)要求5、計(jì)算機(jī)自動(dòng)篩選最優(yōu)設(shè)計(jì)方案等1.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法分類(lèi)根據(jù)討論問(wèn)題的不同方面，有不同的分類(lèi)方法：1、按設(shè)計(jì)變量數(shù)量來(lái)分（1）單變量（一維）優(yōu)化（2）多變量?jī)?yōu)化2、按約束條件來(lái)分 （1）無(wú)約束優(yōu)化（2）有約束優(yōu)化3、按

3、目標(biāo)函數(shù)來(lái)分（1）單目標(biāo)優(yōu)化（2）多目標(biāo)優(yōu)化4、按求解方法特點(diǎn)（1）準(zhǔn)則法（2） 數(shù)學(xué)歸納法1.2.2常用的優(yōu)化方法常用的優(yōu)化方法：?jiǎn)巫兞浚ㄒ痪S）優(yōu)化，無(wú)約束優(yōu)化，多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，數(shù)學(xué)歸納法。1、單變量（一維）優(yōu)化（1）概述單變量（一維）優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最簡(jiǎn)單、最基本的方法。（2） 具體優(yōu)化方法1）黃金分割法（0.618法）黃金分割是指將一段線段分成兩端的方法，使整段與較長(zhǎng)段的比值等于較長(zhǎng)段與較短段的比值，即 1: =:(1-)2）插值法 插值法又稱(chēng)“內(nèi)插法”，是利用函數(shù)f (x)在某區(qū)間中若干點(diǎn)的函數(shù)值，作出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù)，在這些點(diǎn)上取已知值，在區(qū)間的其他點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f

4、(x)的近似值，這種方法稱(chēng)為插值法。黃金分割法（0.618法）與插值法的比較相同點(diǎn)：兩種方法都是利用區(qū)間消去法原理將初始搜索區(qū)間不斷縮短，求得極小值的數(shù)值近似解。不同點(diǎn)：表現(xiàn)在試驗(yàn)點(diǎn)（插入點(diǎn)）位置的確定方法不同。黃金分割法：試驗(yàn)點(diǎn)是按照某種個(gè)特定的規(guī)律確定；不考慮函數(shù)值的分布；插值法：試驗(yàn)點(diǎn)是按照函數(shù)值近似分布的極小點(diǎn)確定；利用了函數(shù)值本身及其導(dǎo)數(shù)信息。2、無(wú)約束優(yōu)化（1）概述無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題是：求n維設(shè)計(jì)變量X=x1,x2,xnT使目標(biāo)函數(shù)為minf(X)，而對(duì)X沒(méi)有任何限制；如果存在X*,使minf(X)= f(X*)分別稱(chēng)X*為最優(yōu)點(diǎn)，f(X*)為最優(yōu)值（2）具體優(yōu)化方法無(wú)約束最優(yōu)化方法

5、歸納起來(lái)可分為兩大類(lèi)：直接法：變量（坐標(biāo)）輪換法、共軛方向法、鮑威爾(Powell)法間接法：梯度法、共軛梯度法、牛頓法1)變量（坐標(biāo)）輪換法它是把多變量的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列單變量的優(yōu)化問(wèn)題的一種方法。原理：沿著坐標(biāo)軸的方向輪流進(jìn)行搜索，直至最優(yōu)點(diǎn)。又稱(chēng)坐標(biāo)輪換法。特點(diǎn)：變量輪換法的基本思想認(rèn)為坐標(biāo)軸方向?yàn)橛欣乃阉鞣较?，因此，在搜索時(shí)總是沿著互相垂直的坐標(biāo)軸方向，并變換多次，才能達(dá)到極值點(diǎn)。搜索效率低，且越接近極值點(diǎn)，搜索速度越慢。2）共軛方向法設(shè)A為n×n階實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，如果有兩個(gè)n維向量S1和S2滿足S1TAS2=0則稱(chēng)向量S1與S2對(duì)于矩陣A共軛。共軛向量的方向稱(chēng)為共軛方

6、向，沿著共軛向量的方向進(jìn)行搜索的方法稱(chēng)為共軛方向法。3）鮑威爾(Powell)法鮑威爾(Powell)法又稱(chēng)鮑威爾共軛方向法，它是對(duì)原始共軛方向法的改進(jìn)，與原始共軛法的區(qū)別在于它對(duì)于每一次的搜索結(jié)果進(jìn)行判斷，并選擇最優(yōu)方向繼續(xù)搜索。4）梯度法基本原理：人們利用函數(shù)在其負(fù)梯度方向函數(shù)值下降最快這一局部性質(zhì)，將n維無(wú)約束極小化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列沿目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度方向一維搜索尋優(yōu)，這就成為梯度法的基本構(gòu)想。5）共軛梯度法基本原理：在梯度法的基礎(chǔ)上，利用目標(biāo)函數(shù)的共軛方向和一階導(dǎo)數(shù)推算和重置負(fù)方向梯度，從而得到最優(yōu)的搜索結(jié)果。6）牛頓法 原始牛頓法基本原理：原目標(biāo)函數(shù)f(X)用在迭代點(diǎn)X(k)鄰域展開(kāi)的泰

7、勒二次多項(xiàng)式(X)去近似的代替，再以(X)這個(gè)二次函數(shù)的極小點(diǎn)X*作為原目標(biāo)函數(shù)的下一個(gè)迭代點(diǎn)X(k+1)，這樣重復(fù)迭代若干次后，使迭代點(diǎn)點(diǎn)列逐步逼近原目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。阻尼牛頓法基本原理：在原始牛頓法的基礎(chǔ)上，在搜索的的每一步選擇最優(yōu)因子進(jìn)行下一步的搜索。第 2 章 阻尼牛頓法計(jì)算應(yīng)用2.1阻尼牛頓法的計(jì)算步驟1) 給定初始點(diǎn)，收斂精度，置。2) 計(jì)算、 、和3) 求，其中為沿進(jìn)行一維搜索的最佳步長(zhǎng)。4) 檢查收斂精度。若，則，停機(jī)；否則置，返回步驟2，繼續(xù)進(jìn)行進(jìn)行搜索。2.2阻尼牛頓法的程序框圖圖2-1 阻尼牛頓法的程序框圖2.3實(shí)例解析利用阻尼牛頓法求函數(shù)的極小值點(diǎn)（迭代兩次，一維搜索任

8、選一種方法）。解：取初始值，則初始點(diǎn)初的函數(shù)梯度，海塞矩陣及其逆矩陣分別是把代入中得最佳步長(zhǎng)，求出把代入中得最佳步長(zhǎng)，求出2.4阻尼牛頓法的程序編程程序如下：/ 阻尼牛頓法 .cpp : Defines the entry point for the console application.#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include <iostream>double fun1(double q1,double q2)return(pow(q1-2),4)+pow(q1-2*

9、q2),2); /修改函數(shù)f(x1,x2)=(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)+(x1-2*x2)*(x1-2*x2)double fun2(double g,double x,double y,double r1,double r2) return (pow(x+g*y-2),4)+pow(x+g*y-2*(r1+g*r2),2);/關(guān)于阻尼因子的函數(shù)void main() double A21,B22,C21,D21,X21; double E21=4,3;/迭代的初始點(diǎn)x0 int t=0,i=0,j=0; double E0,x1,x2,x3,h(0.1); dou

10、ble y1,y2,y3,m; double a,b,k=0.618,a1,a2,f1,f2; printf("輸入收斂精度：");/輸入標(biāo)準(zhǔn)收斂精度 std:cin>>E0; do D00=E00; D10=E10; A00=4*(D00-2)*(D00-2)*(D00-2)+2*D00-4*D10; A10=-4*(D00-2*D10);/A00,A10為原函數(shù)梯度的各項(xiàng) B00=1.0/(12.0*(D00-2)*(D00-2); B01=1.0/(24.0*(D00-2)*(D00-2); B10=1.0/(24.0*(D00-2)*(D00-2); B

11、11=(6.0*(D00-2)*(D00-2)+1)/(48.0*(D00-2)*(D00-2);/B00,B01,B10,B11分別代表原函數(shù)的海賽矩陣的逆陣的各項(xiàng) C00=-(B00*A00+B01*A10); C10=-(B10*A00+B11*A10);/C00,C10為搜索方向dk的各項(xiàng) /下面利用外推法尋找函數(shù)2的區(qū)間，找單谷區(qū)間 x1=0; x2=x1+h; y1=fun2(x1,D00,C00,D10,C10); y2=fun2(x2,D00,C00,D10,C10); if(y2>y1) h=-h; x3=x1,y3=y1; x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=

12、y3; x3=x2+h; y3=fun2(x3,D00,C00,D10,C10); while(y3<y2) h=2*h; x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=y3; x3=x2+h; y3=fun2(x3,D00,C00,D10,C10); i+; /下面利用黃金分割法尋找函數(shù)2極值 a=x1; b=x3; a1=b-k*(b-a); a2=a+k*(b-a); f1=fun2(a1,D00,C00,D10,C10); f2=fun2(a2,D00,C00,D10,C10); do if(f1>=f2) a=a1; a1=a2; f1=f2; a2=a+k*(b-a);

13、f2=fun2(a2,D00,C00,D10,C10); else b=a2; a2=a1; f2=f1; a1=b-k*(b-a); f1=fun2(a1,D00,C00,D10,C10); j+; while(fabs(b-a)/b)>=E0&&fabs(f2-f1)/f2)>=E0); m=0.5*(a+b);/m為阻尼因子 E00=D00+m*C00; E10=D10+m*C10; printf("%d%15f10%15f10n",t,E00,E10,fun1(E00,E10); t+; while(fabs(E00-D00)>=E

14、0&&fabs(E10-D10)>=E0); X00=E00; X10=E10; printf("迭代了%d次n",t); printf("極小點(diǎn)(x1,x2)=(%f10,%f10)n",X00,X10); printf("極小值f(x1,x2)=%f10n",fun1(X00,X10);該程序的運(yùn)行結(jié)果，要求迭代兩次后函數(shù)的極小值點(diǎn)在（1.94，0.97）處。第 3 章 總結(jié)學(xué)習(xí)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)以前，總感覺(jué)企業(yè)的生產(chǎn)，人類(lèi)日常生活中的勞動(dòng)等都是一種簡(jiǎn)單的過(guò)程，總有一定的套路可循。但自從接觸了機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)這門(mén)學(xué)科以

15、后，讓我認(rèn)識(shí)到在人類(lèi)的生產(chǎn)中，我們總是意向于得到我們最滿意的效果，如加工零件怎樣最省材料又不影響零件的加工，生產(chǎn)的最優(yōu)安排，設(shè)計(jì)的最優(yōu)方案等，看似很簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但其中卻蘊(yùn)藏著極大的智慧。以前在參加數(shù)學(xué)建模比賽的時(shí)候接觸到一定的優(yōu)化設(shè)計(jì)。一些實(shí)例如管材問(wèn)題中怎樣劇料最省材料且利潤(rùn)最大，就這一個(gè)問(wèn)題細(xì)分下來(lái)積累的，讓我們團(tuán)隊(duì)奮斗了三天三夜，經(jīng)過(guò)這那次比賽，我們都意識(shí)到原來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)是這么切合實(shí)際，貼近我們的生活。終于在即將畢業(yè)之際，我接觸到了機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)這么課程，系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了優(yōu)化設(shè)計(jì)的各種方法。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)雖然只有從近代到現(xiàn)在短短幾十年的發(fā)展歷史，但是其體系的迅速完善我想是其他學(xué)科難以企及的。如今，機(jī)械優(yōu)化方法也是各類(lèi)決策方法中普遍采用的一種方法，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)作為一種現(xiàn)代化的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)廣泛的機(jī)械設(shè)計(jì)中，并取得了良