機械優(yōu)化設計阻尼牛頓法

1、目錄第1章 選擇方法及思路11.1 概述11.1.1 優(yōu)化設計11.1.2 優(yōu)化設計的思想11.1.3 優(yōu)化設計的步驟11.2 優(yōu)化設計的方法1 分類11.2.2 常用的優(yōu)化方法2第2章 阻尼牛頓法計算應用42.1 阻尼牛頓法的計算步驟42.2 阻尼牛頓法的程序框圖52.3 實例解析52.4 阻尼牛頓法的程序編程6第3章 總結9第 1 章 選擇方法及思路1.1概述優(yōu)化設計優(yōu)化設計是一種規(guī)格化的設計方法，它首先要求將設計問題按優(yōu)化設計所規(guī)定的格式建立數學模型，選擇合適的優(yōu)化方法及計算機程序，然后再通過計算機的計算，自動獲得最優(yōu)設計方案。優(yōu)化設計的思想優(yōu)化設計的指導思想源于它所倡導的開放型思維方式

2、,即在面對問題時,拋開現實的局限去想象一種最理想的境界,然后再返回到當前的現狀中來尋找最佳的解決方案.在管理學中有一句俗語,“思路決定出路,心動決定行動”.如此的思維方式有助于擺脫虛設的假象,這并非屬于異想天開或者好高騖遠的空想,而是強調一切從未來出發(fā),然后再從現實著手。優(yōu)化設計的步驟一般來說，優(yōu)化設計有以下幾個步驟：1、建立數學模型2、選擇最優(yōu)化算法3、程序設計4、制定目標要求5、計算機自動篩選最優(yōu)設計方案等1.2優(yōu)化設計的方法分類根據討論問題的不同方面，有不同的分類方法：1、按設計變量數量來分（1）單變量（一維）優(yōu)化（2）多變量優(yōu)化2、按約束條件來分 （1）無約束優(yōu)化（2）有約束優(yōu)化3、按

3、目標函數來分（1）單目標優(yōu)化（2）多目標優(yōu)化4、按求解方法特點（1）準則法（2） 數學歸納法1.2.2常用的優(yōu)化方法常用的優(yōu)化方法：單變量（一維）優(yōu)化，無約束優(yōu)化，多目標函數優(yōu)化，數學歸納法。1、單變量（一維）優(yōu)化（1）概述單變量（一維）優(yōu)化方法是優(yōu)化方法中最簡單、最基本的方法。（2） 具體優(yōu)化方法1）黃金分割法（0.618法）黃金分割是指將一段線段分成兩端的方法，使整段與較長段的比值等于較長段與較短段的比值，即 1: =:(1-)2）插值法 插值法又稱“內插法”，是利用函數f (x)在某區(qū)間中若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區(qū)間的其他點上用這特定函數的值作為函數f

4、(x)的近似值，這種方法稱為插值法。黃金分割法（0.618法）與插值法的比較相同點：兩種方法都是利用區(qū)間消去法原理將初始搜索區(qū)間不斷縮短，求得極小值的數值近似解。不同點：表現在試驗點（插入點）位置的確定方法不同。黃金分割法：試驗點是按照某種個特定的規(guī)律確定；不考慮函數值的分布；插值法：試驗點是按照函數值近似分布的極小點確定；利用了函數值本身及其導數信息。2、無約束優(yōu)化（1）概述無約束最優(yōu)化問題是：求n維設計變量X=x1,x2,xnT使目標函數為minf(X)，而對X沒有任何限制；如果存在X*,使minf(X)= f(X*)分別稱X*為最優(yōu)點，f(X*)為最優(yōu)值（2）具體優(yōu)化方法無約束最優(yōu)化方法

5、歸納起來可分為兩大類：直接法：變量（坐標）輪換法、共軛方向法、鮑威爾(Powell)法間接法：梯度法、共軛梯度法、牛頓法1)變量（坐標）輪換法它是把多變量的優(yōu)化問題轉化為一系列單變量的優(yōu)化問題的一種方法。原理：沿著坐標軸的方向輪流進行搜索，直至最優(yōu)點。又稱坐標輪換法。特點：變量輪換法的基本思想認為坐標軸方向為有利的搜索方向，因此，在搜索時總是沿著互相垂直的坐標軸方向，并變換多次，才能達到極值點。搜索效率低，且越接近極值點，搜索速度越慢。2）共軛方向法設A為n×n階實對稱正定矩陣，如果有兩個n維向量S1和S2滿足S1TAS2=0則稱向量S1與S2對于矩陣A共軛。共軛向量的方向稱為共軛方

6、向，沿著共軛向量的方向進行搜索的方法稱為共軛方向法。3）鮑威爾(Powell)法鮑威爾(Powell)法又稱鮑威爾共軛方向法，它是對原始共軛方向法的改進，與原始共軛法的區(qū)別在于它對于每一次的搜索結果進行判斷，并選擇最優(yōu)方向繼續(xù)搜索。4）梯度法基本原理：人們利用函數在其負梯度方向函數值下降最快這一局部性質，將n維無約束極小化問題轉化為一系列沿目標函數負梯度方向一維搜索尋優(yōu)，這就成為梯度法的基本構想。5）共軛梯度法基本原理：在梯度法的基礎上，利用目標函數的共軛方向和一階導數推算和重置負方向梯度，從而得到最優(yōu)的搜索結果。6）牛頓法 原始牛頓法基本原理：原目標函數f(X)用在迭代點X(k)鄰域展開的泰

7、勒二次多項式(X)去近似的代替，再以(X)這個二次函數的極小點X*作為原目標函數的下一個迭代點X(k+1)，這樣重復迭代若干次后，使迭代點點列逐步逼近原目標函數的極小點。阻尼牛頓法基本原理：在原始牛頓法的基礎上，在搜索的的每一步選擇最優(yōu)因子進行下一步的搜索。第 2 章 阻尼牛頓法計算應用2.1阻尼牛頓法的計算步驟1) 給定初始點，收斂精度，置。2) 計算、 、和3) 求，其中為沿進行一維搜索的最佳步長。4) 檢查收斂精度。若，則，停機；否則置，返回步驟2，繼續(xù)進行進行搜索。2.2阻尼牛頓法的程序框圖圖2-1 阻尼牛頓法的程序框圖2.3實例解析利用阻尼牛頓法求函數的極小值點（迭代兩次，一維搜索任

8、選一種方法）。解：取初始值，則初始點初的函數梯度，海塞矩陣及其逆矩陣分別是把代入中得最佳步長，求出把代入中得最佳步長，求出2.4阻尼牛頓法的程序編程程序如下：/ 阻尼牛頓法 .cpp : Defines the entry point for the console application.#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>#include <iostream>double fun1(double q1,double q2)return(pow(q1-2),4)+pow(q1-2*

9、q2),2); /修改函數f(x1,x2)=(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)*(x1-2)+(x1-2*x2)*(x1-2*x2)double fun2(double g,double x,double y,double r1,double r2) return (pow(x+g*y-2),4)+pow(x+g*y-2*(r1+g*r2),2);/關于阻尼因子的函數void main() double A21,B22,C21,D21,X21; double E21=4,3;/迭代的初始點x0 int t=0,i=0,j=0; double E0,x1,x2,x3,h(0.1); dou

10、ble y1,y2,y3,m; double a,b,k=0.618,a1,a2,f1,f2; printf("輸入收斂精度：");/輸入標準收斂精度 std:cin>>E0; do D00=E00; D10=E10; A00=4*(D00-2)*(D00-2)*(D00-2)+2*D00-4*D10; A10=-4*(D00-2*D10);/A00,A10為原函數梯度的各項 B00=1.0/(12.0*(D00-2)*(D00-2); B01=1.0/(24.0*(D00-2)*(D00-2); B10=1.0/(24.0*(D00-2)*(D00-2); B

11、11=(6.0*(D00-2)*(D00-2)+1)/(48.0*(D00-2)*(D00-2);/B00,B01,B10,B11分別代表原函數的海賽矩陣的逆陣的各項 C00=-(B00*A00+B01*A10); C10=-(B10*A00+B11*A10);/C00,C10為搜索方向dk的各項 /下面利用外推法尋找函數2的區(qū)間，找單谷區(qū)間 x1=0; x2=x1+h; y1=fun2(x1,D00,C00,D10,C10); y2=fun2(x2,D00,C00,D10,C10); if(y2>y1) h=-h; x3=x1,y3=y1; x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=

12、y3; x3=x2+h; y3=fun2(x3,D00,C00,D10,C10); while(y3<y2) h=2*h; x1=x2,y1=y2; x2=x3,y2=y3; x3=x2+h; y3=fun2(x3,D00,C00,D10,C10); i+; /下面利用黃金分割法尋找函數2極值 a=x1; b=x3; a1=b-k*(b-a); a2=a+k*(b-a); f1=fun2(a1,D00,C00,D10,C10); f2=fun2(a2,D00,C00,D10,C10); do if(f1>=f2) a=a1; a1=a2; f1=f2; a2=a+k*(b-a);

13、f2=fun2(a2,D00,C00,D10,C10); else b=a2; a2=a1; f2=f1; a1=b-k*(b-a); f1=fun2(a1,D00,C00,D10,C10); j+; while(fabs(b-a)/b)>=E0&&fabs(f2-f1)/f2)>=E0); m=0.5*(a+b);/m為阻尼因子 E00=D00+m*C00; E10=D10+m*C10; printf("%d%15f10%15f10n",t,E00,E10,fun1(E00,E10); t+; while(fabs(E00-D00)>=E

14、0&&fabs(E10-D10)>=E0); X00=E00; X10=E10; printf("迭代了%d次n",t); printf("極小點(x1,x2)=(%f10,%f10)n",X00,X10); printf("極小值f(x1,x2)=%f10n",fun1(X00,X10);該程序的運行結果，要求迭代兩次后函數的極小值點在（1.94，0.97）處。第 3 章 總結學習機械優(yōu)化設計以前，總感覺企業(yè)的生產，人類日常生活中的勞動等都是一種簡單的過程，總有一定的套路可循。但自從接觸了機械優(yōu)化設計這門學科以

15、后，讓我認識到在人類的生產中，我們總是意向于得到我們最滿意的效果，如加工零件怎樣最省材料又不影響零件的加工，生產的最優(yōu)安排，設計的最優(yōu)方案等，看似很簡單的問題，但其中卻蘊藏著極大的智慧。以前在參加數學建模比賽的時候接觸到一定的優(yōu)化設計。一些實例如管材問題中怎樣劇料最省材料且利潤最大，就這一個問題細分下來積累的，讓我們團隊奮斗了三天三夜，經過這那次比賽，我們都意識到原來優(yōu)化設計是這么切合實際，貼近我們的生活。終于在即將畢業(yè)之際，我接觸到了機械優(yōu)化設計這么課程，系統的學習了優(yōu)化設計的各種方法。 機械優(yōu)化設計雖然只有從近代到現在短短幾十年的發(fā)展歷史，但是其體系的迅速完善我想是其他學科難以企及的。如今，機械優(yōu)化方法也是各類決策方法中普遍采用的一種方法，機械優(yōu)化設計作為一種現代化的設計方法已經廣泛的機械設計中，并取得了良