春季期末概率統(tǒng)計(jì)A試卷

1、 1. （15分）NBA籃球賽中有這樣的規(guī)律，兩支實(shí)力相當(dāng)?shù)那蜿?duì)比賽時(shí)，每節(jié)主隊(duì)得分與客隊(duì)得分之差為正態(tài)隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為6，并且假設(shè)四節(jié)的比分差是相互獨(dú)立的，問(wèn)：（1） 主隊(duì)得勝的概率有多大？（2） 在前半場(chǎng)主隊(duì)落后5分的情況下，主隊(duì)得勝的概率有多大？（3） 在第一節(jié)主隊(duì)贏5分的情況下，主隊(duì)得勝的概率有多大？（是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)）解：記 A=主隊(duì)得勝，Xi=第i節(jié)主隊(duì)與客隊(duì)的得分之差（i=1,2,3,4），則X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布的可加性可得：，（1）.(3) .2. （10分）質(zhì)量檢驗(yàn)員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個(gè)，但也可能有

2、的產(chǎn)品需要再花10秒鐘重復(fù)檢查一次，假設(shè)每個(gè)產(chǎn)品需要復(fù)查的概率為0.5，試用中心極限定理估算一下在8小時(shí)內(nèi)檢驗(yàn)員能檢查完1600個(gè)產(chǎn)品的概率。()解：設(shè)表示檢查第i個(gè)產(chǎn)品所花費(fèi)的時(shí)間，則.,.令表示檢查完1600個(gè)產(chǎn)品所花的總時(shí)間，由獨(dú)立同分布的林德伯格中心極限定理可知即檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查完1600個(gè)產(chǎn)品的概率是0.9713.3. (10分) 設(shè)總體服從正態(tài)分布，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求（1） n=5時(shí)樣本均值與總體均值之差絕對(duì)值大于1的概率；（2）.(=0.8686, )解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，即所以 .(2) .4. （20分）設(shè)總體服從正態(tài)分布，未知。在總體的10個(gè)觀測(cè)值的平均值時(shí)，

3、（1）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）要想使的置信水平為0.95的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1，則n至少取多大? (3) 如果總體的樣本容量n=64，則當(dāng)區(qū)間是的置信水平為的置信區(qū)間時(shí)，應(yīng)多大？(, )解：（1）由于已知，所以正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望的置信水平為的置信區(qū)間為由題設(shè)知，所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為.(2) 當(dāng)樣本容量為n時(shí)，的置信水平為0.95的置信區(qū)間為，于是要使該區(qū)間的長(zhǎng)度不超過(guò)1，即，必有，即觀測(cè)值的個(gè)數(shù)n最少為123.(3) 如果總體的樣本容量n=64時(shí)，的置信水平為的置信區(qū)間為，則有，即，查表可得，即.5. （15分）設(shè)總體的分布密度為，是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求（

4、1）求的無(wú)偏估計(jì)量；（2）求的方差.解：（1），令 。因?yàn)?所以是的無(wú)偏估計(jì)量。（2）因?yàn)?所以 。6. （15分）設(shè)有12名志愿受試者服用減肥藥，服藥前和服藥一個(gè)療程后，各測(cè)量1次體重(公斤)，數(shù)據(jù)如下：服藥前：101，131，131，143，124，137，126，95，90，67，84，101服藥后：100，136，126，150，128，126，116，105，87，57，74，109經(jīng)計(jì)算：志愿受試者服藥前的平均體重為，樣本方差為；志愿受試者服藥后的平均體重為，樣本方差為。并設(shè)志愿受試者服藥前的體重近似服從正態(tài)分布，服藥后的體重近似服從正態(tài)分布。試判斷此減肥藥是否有效？解：設(shè)志愿受試者服藥前后的體重分別近似服從,。該問(wèn)題可歸結(jié)為下述的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題利用雙側(cè)檢驗(yàn)法，取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)， ，其拒絕域?yàn)?。依題意有,由于，不能拒絕，即不能認(rèn)為此減肥藥有效。7. （15分）以家庭為單位, 某種商品年需求量與該商品價(jià)格之間的一組調(diào)查數(shù)據(jù)如下表:假設(shè)商品的需求量與價(jià)格之間存在