數(shù)值分析試卷及其答案8

1、數(shù)值分析期末考試 一、 設(shè)，若要確保其近似數(shù)的相對(duì)誤差限為0.1%，則它的近似數(shù)至少取幾位有效數(shù)字？（4分）解：設(shè)有位有效數(shù)字。因?yàn)?，所以可得的第一位有效?shù)字為8（1分）又因?yàn)椋?，可知至少具?位有效數(shù)字（3分）。二、求矩陣的條件數(shù)（4分）。 其中 解： （1分） =7（1分） （1分）（1分）三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程組（6分） 解： (4分)等價(jià)三角方程組為：（1分）回代得（1分）四、設(shè)1）求以為節(jié)點(diǎn)的3次Lagrange多項(xiàng)式；（6分）2）求以為節(jié)點(diǎn)的3次Newton多項(xiàng)式；（6分）3）給出以上插值多項(xiàng)式的插值余項(xiàng)的表達(dá)式（3分）解：由可得即得： 2）計(jì)算差商表如下：

2、一階差商 二階差商 三階差商1-113-15-234-740-10-225-1則3）五、給定方程組，其中。試確定的取值范圍，使求解該方程組的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法均收斂。（10分）解：1）Jacobi迭代格式的特征方程為求得于是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，Jacobi迭代法收斂（5分）2）Gauss-Seidel迭代格式的特征方程為:求得，于是得。故當(dāng)時(shí)，求解該方程組的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法均收斂。六、設(shè)，求上述求積公式的代數(shù)精度，并利用求積公式給出計(jì)算的一個(gè)復(fù)化求積公式。（12分） 解：1） 當(dāng)時(shí)，左邊=右邊當(dāng)時(shí)，左邊=右邊當(dāng)時(shí)，左邊=右邊當(dāng)時(shí)，左邊=

3、右邊當(dāng)時(shí)，左邊=右邊因此，所給求積公式具有3次代數(shù)精度。（6分） 2）將作等分，記（2分）而由此可得復(fù)化公式=(4分)七、求在上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。（8分）解：令所要求的多項(xiàng)式為：，即取，計(jì)算 (4分)得法方程組： 解方程組得，于是得一次最佳平方逼近多項(xiàng)式為（4分）八、寫出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分）(1) 在附近的根。(2) 在附近的根。解：（1）取，則 （3分）（2）則，取，則 （3分）九、已知三點(diǎn)Gauss公式（10分） ，用該公式估算的值。解：令，于是有：，于是，于是（5分）令，就得：（5分）十、龍格庫(kù)塔（10分）取步長(zhǎng)，寫出用經(jīng)典四階Runge-Kutta方法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式。解： （1分）（6分）取，其經(jīng)典四階Runge-Kutta計(jì)算公式為：（3分）十一、用乘冪法計(jì)算矩陣按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。取，迭代兩步即可。（7分）其中解： （3分） 相應(yīng)特征向量?。?分）十二、設(shè)為個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)，為這組節(jié)點(diǎn)上的次Lagrange插值基函數(shù)，證明：（8分）。證明：對(duì)于，