同濟大學自控習題解答

1、4-2設開環(huán)系統(tǒng)的零點、極點在s平面上的分布如圖4-15所示，試繪制根軌跡草圖。0000jjjj0j0j0j0j圖4-15 題4-2圖解：0000jjjj0j0j0j0j2、3、4曲線部分可以證明為一段圓弧5、6、7不會從開環(huán)極點直接垂直向上（下），根據漸近線的交點及出射角必然有圖示的起始形狀4-3已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數如下，試繪制當增益K1變化時系統(tǒng)的根軌跡圖。（1）.（2）.解：（1）. 開環(huán)極點為無有限開環(huán)零點。示如圖0j-2-5j3.16-0.88-2.33-j3.16根軌跡圖應按正式作圖進行，一般根軌跡應表示出和虛軸的交點（如果有的話）應根據根軌跡的八條規(guī)則逐條進行計算分析法

2、則2：有三條趨向無窮的根軌跡。法則3：實軸上的根軌跡：0-2，-5-。法則4：漸近線相角：法則5：漸近線交點：，得漸近線如圖示。法則6：分離點：得：，其中為實際分離點，分離角為：。如圖示。法則8：虛軸交點：令代入特征方程，得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。（2）.0j-1+j3-2-1-j3-5.16曲線部分為圓弧，所有的數據應該在圖上標出根據規(guī)則逐條進行計算分析開環(huán)極點為開環(huán)零點為。示如圖法則2：有1條趨向無窮的根軌跡。法則3：實軸上的根軌跡： -2-。法則6：分離點：得：，其中為實際分離點，分離角為：。如圖示。法則7：出射角：得法則1：對稱性可得： 綜上所述，根軌跡如圖紅線所示。4-9

3、已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為【試繪制當增益K1變化時系統(tǒng)的根軌跡圖，并求：】（1） 系統(tǒng)無超調的K1值范圍。（2） 確定使系統(tǒng)產生持續(xù)振蕩的K1值，并求此時的振蕩頻率（3） 【判斷s=-1.5+j3.12是否在根軌跡上？若在，求另外兩個根及對應的K1值。（4） 閉環(huán)極點都在=-1左側的K1值范圍?！考t色字體為第二次印刷增加的內容解：開環(huán)極點為漸近線相角：漸近線交點：。分離點：得：，其中為實際分離點，此時。分離角為：虛軸交點：令代入特征方程，得： 0j-5-4.67-9-2.06-j6.7j6.7-1根軌跡圖應按正式作圖進行，一般根軌跡應表示出和虛軸的交點（如果有的話）畫系統(tǒng)的根軌跡，如

4、圖示。由根軌跡圖可得：（1） 系統(tǒng)無超調的K1值范圍為保持所有根軌跡在負實軸時（分離點之前的部分），即。（2） 確定使系統(tǒng)產生持續(xù)振蕩的K1值為與虛軸交點時，即。此時的振蕩頻率為無阻尼自然頻率，即閉環(huán)極點的虛部：。（3） 【若s=-1.5+j3.12在根軌跡上，則應滿足相角條件如果將其代入增益函數內，則易出現由于計算誤差而發(fā)生K1有虛部而被判定不在根軌跡上。即G(s)H(s)=180(2q+1).所以滿足相角條件，是在根軌跡上。由于復數根應共軛，所以另外一個根為：s2又由于分子的階次低于分母的階次超過了二階，所以閉環(huán)特征方程的根的和應等于開環(huán)極點的和。即：s+s2+s3=0+(-5)+(-9)

5、=-14得第三個根為： s3=-14-s-s2=-11根據幅值條件可得此時對應的K1值為： （4） 由根軌跡圖可知，在-9左邊的一條根軌跡的實部在整個K1的取值范圍內均滿足實部小于-1在實軸0,-5之間存在一個最小的K1，其值為當s=-1時的值。即：另外在復平面上還有一個最大的K1，其閉環(huán)極點為s1,2=-1j,此時對應的第三個閉環(huán)極點s3=-14-s1-s2=-12也可以將s12直接代入求得根據幅值條件可得此時對應的K1值為：即閉環(huán)極點都在=-1左側的K1值范圍為：】還可采用第三章作業(yè)中一道類似題目的解法進行求解4-10 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為（1） 試繪制根軌跡的大致圖形，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。（2） 若增加一個零點z=-1，試問根軌跡圖有何變化，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響。解：（1） 畫系統(tǒng)的根軌跡，如圖紅線所示。0j-1-0.67應寫出根軌跡的作圖過程根據分離角可知給軌跡從原點出發(fā)離開實軸時的方向垂直實軸。兩個開環(huán)極點重合時，可用它們之間有一無窮小的距離，按根軌跡的規(guī)則進行同樣的計算分析如果零點在極點的左邊（ -2）時又如何？其中：漸近線相角：漸近線交點：。分離點在原點處，分離角為：。可見系統(tǒng)除在K1=0時處于臨界穩(wěn)定之外，系統(tǒng)均處于不穩(wěn)定狀態(tài)。（2） 增加一個零點z=-1后的根軌跡如圖藍線所示。其中：漸近線相角：漸近線交點：。分離點在原點