勾股定理知識點題型分類練習

1、勾股定理（知識點）【知識要點】 1. 勾股定理的概念： 如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么 a2b2c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC2. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。 3. 勾股數(shù)： 滿足a2b2c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。）記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；8,15,17等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）4.

2、判斷直角三角形：（1）有一個角為90的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。 （3）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。（4）如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）若c2a2b2，則ABC是以C為直角的三角形；若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）5.直角三角形的性質(zhì) （1）直角三角形的兩個銳角互余

3、。可表示如下：C=90A+B=90 （2）在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半。 A=30 可表示如下： BC =AB C=90 （3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 ACB=90 可表示如下： CD =AB = BD = AD D為AB的中點 6.數(shù)軸上表示無理數(shù)第一步：分析所有表示二次根式中被開方數(shù)可以寫成哪兩個有理數(shù)的和第二步：在數(shù)軸上畫出其中一個有理數(shù)，以該有理數(shù)為垂足做垂線，在垂線上標出第二個有理數(shù)的長度。連接端點和原點，以原點為圓心，端點為半徑畫圓，于數(shù)軸交點即為所有無理數(shù)。勾股定理專項練習一、基本應(yīng)用考點1：勾股定理1.下列是勾股數(shù)的一組是（ D ）A.4,5

4、,6 B.5,7,12 C.12,13,15 D.21,28,352.ABC中，A：B：C=2：1：1，a，b，c分別是A、B、C的對邊，則下列各等式中成立的是（ ）A.a2+b2=c2 B.a2=2b2 C.c2=2a2 D.b2=2a23.矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,則這個矩形的面積為 60 cm2. 4.如圖，在ABC中，BAC=90，AB=15，AC=20，ADBC，垂足為D，則ABC斜邊上的高AD= 12 5.已知等腰三角形底邊長為10cm，腰長為13cm，則腰上的高為( C )A.12cm B. C. D.6.一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別

5、為 6，8，10 7.（易錯題）已知直角三角形的兩邊x，y的長滿足x4+=0，則第三邊的長為 5或7 .8.若直角三角形的三邊長分別為2，4，x，則x的可能值有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.已知直角三角形兩邊長分別為3、4，則第三邊長為 10.已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為10，則直角三角形的兩直角邊的長分別為 11.如圖，分別以Rt ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之間有的關(guān)系式 S1+S2=S3 12.（易錯題）如圖，已知在RtABC中ACB=90，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為

6、S1，S2，則S1+S2的值等于 2 13.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為 49 cm2。第4題 第11題 第12題 第13題14.在RtABC，C=90（1）已知c=17，b=8, 求a。（a=15）（2）已知ab=12，c=5, 求a。（a=5）（3）已知b=15，A=30，求a，c。（a=53，c=103）15.若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。（n=2）16.若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。（S=96）考點2.勾股定理逆定理1.以下列各

7、組線段為邊長，能構(gòu)成三角形的是_，能構(gòu)成直角三角形的是_（填序號）3，4，5 1，3，4 4，4，6 6，8，10 5，7，2 13，5，12 7，25，242.在下列以線段a、b、c的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（D）A.a=9，b=41，c=40 B.a=b=5，c= C.abc=345 D.a=11，b=12，c=153.若一個三角形三邊長的平方分別為：32，42，x2，則此三角形是直角三角形的x2的值是（ D ）A42 B52 C7 D52或74.下列說法不正確的是（ B ）A.三個角的度數(shù)之比為134的三角形是直角三角形B.三個角的度數(shù)之比為345的三角形是直角三角形C

8、.三邊長度之比為345的三角形是直角三角形 D.三邊長度之比為51213的三角形是直角三角形5.若ABC的三邊a、b、c，滿足（ab）（a2b2c2）=0，則ABC是（ C ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形6.有下列說法：若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，則此三角形是直角三角形；在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，若a2+b2c2，則ABC是鈍角三角形；在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，若b2+c2=a2，則C=900；在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊，C900，則a2+b2c2。其中正確的是（ D ）A. B.

9、 C. D.7.下列說法中正確的有（ ）如果A+B+C=3：4：5，則ABC是直角三角形；如果A+B=C，那么ABC是直角三角形；如果三角形三邊之比為6：8：10，則ABC是直角三角形；如果三邊長分別是n2-1，2n，n2+1（n1），則ABC是直角三角形。A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8.若+|a-12|+(b-5)2=0,則以a、b、c為三邊的三角形是 直角 三角形.9.如果ABC的三邊a,b,c滿足關(guān)系式 +（b-18）2+=0則ABC是 三角形。10.已知:a、b、c為ABC的三邊,且滿足a2c2-b2c2=a4-b4,試判斷ABC的形狀.解:a2c2-b2c2=a4-b4,c

10、2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).c2=a2+b2.ABC是直角三角形.問:(1)在上述解題過程中,從哪一步開始出現(xiàn)錯誤?請寫出該步的代號: (2)錯誤的原因為 除數(shù)可能為零 ;11.已知ABC的三邊為a、b、c，且，求三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比（A：B：C=1:1：:2）12.ABC的三邊a、b、c滿足試判斷ABC的形狀（直角三角形）13.已知ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，試判定ABC的形狀。 （直角三角形）14.若ABC的三邊a，b，c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判定ABC的形狀（直角三角形）15.一根24米繩子，折成三邊

11、為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為多少米？此三角形的形狀為？（6；8；10；直角三角形）16.若ABC的三邊長為a,b,c，根據(jù)下列條件判斷ABC的形狀.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=0考點3.數(shù)軸表示無理數(shù)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）1.用圓規(guī)與尺子在數(shù)軸上作出表示的點，并補充完整作圖方法2.在數(shù)軸上畫出表示的點？3.在數(shù)軸上作出表示3-的點考點4:勾股定理幾何應(yīng)用1.如圖在矩形ABCD中,M是CD中點，AB=8，AD=3（1）求AM的長；（2）MAB是直角三角形嗎？為什么？（AM=5；不是直角三角形）2.如圖

12、所示，在RtABC中，ACB=90，CD是AB邊上高，若AD=8，BD=2，求CD（CD=4）3.一個長方體木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如圖位置時，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜面坡角為30，求木箱端點E距地面AC的高度EF。（EF=3）4.有一塊土地形狀如圖所示,B=D=90,AB=20米,BC=15米,CD=7米,請計算這塊地的面積.（S=234）5.四邊形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。（S=36）6.如圖，在四邊形ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,C=90(1)求BD的長;（BD=5）(2)當AD為

13、多少時,ABD=90?（AD=13）7.農(nóng)民牛伯伯承包了一塊四邊形水稻田ABCD，他量得邊長AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且邊AB、BC正好位于兩條相互垂直的公路的拐角處，請你幫牛伯伯計算一下這塊水稻田的面積。（S=13800）8.如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，ADC=90，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積（二）、實際應(yīng)用：1. 梯子滑動問題：1.一架長2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動 0.8 米2.如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距

14、地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離 51-1 米3.小明想知道學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面上還多1 m，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為 12 米4.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是 18 。 第1題 第2題 第4題5.如圖，一個3米長的梯子AB，斜著靠在豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5米求梯子的底端B距墻角O多少米？（1.66）如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C算一算，底端滑動的距離近似值（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（0.58）6.如圖所示，梯子AB靠在墻上，梯子的

15、底端A到墻根O 的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A,使梯子的底端A到墻根O的距離為3m，同時梯子的頂端B下降到B，那么BB也等于1m嗎?（不等于1，小于1）2. 爬行距離最短問題：1.如圖，正方體盒子的棱長為2，AB中點為M，一只螞蟻從點M沿正方體的表面爬到點，螞蟻爬行的最短距離是（ B ）A. B. C. D.2.如圖，一塊磚寬AN=5，長ND=10，CD上的點F距地面的高FD=8，地面上A處的一只螞蟻到F處吃食，要爬行的最短路線是 17 cm3.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A

16、點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是 25 分米？4.一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所爬行的最短路線的長是 10 .5.在一個長為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD平行且AD，木塊的正視圖是邊長為0.2米的正方形，求一只螞蟻從點A處，到達C處需要走的最短路 2.6 第1題 第2題 第3題 第4題 第5題3.方向問題：1.一座垂直于兩岸的橋長15米,一艘小船自橋北頭出發(fā),向正南方向駛?cè)?因水流原因,到達南岸后,發(fā)現(xiàn)已偏離橋南頭9米,則小船實際行駛了_3_米.2.一職工下班后以50米

17、/分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6分,又沿南北馬路向南走了19.2分到家,則他的家離公司距離為（ D ） A.100m B.500m C.1 240m D.1 000m3.有一次，小明坐著輪船由A點出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點望湖中小島M，測得MAN30，當他到B點時，測得MBN45，AB100米，你能算出AM的長嗎？（x=50+503）4.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？（西北方向）5.一

18、輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米 此時輪船離開出發(fā)點多少km? （17km） 若輪船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升?（9.2km）6.甲、乙兩船上午11時同時從港口A出發(fā),甲船以每小時20海里的速度向東北方向航行,乙船以每小時15海里的速度向東南方向航行,求下午1時兩船之間的距離.（50海里）4.折疊問題：1.如圖，在長方形ABCD中，將ABC沿AC對折至AEC位置，CE與AD交于點F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長2.如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且，那么DEF是直角三角形嗎？為什么？3.如圖，矩形紙片AB