幾何體的外接球與內(nèi)切球

1、幾何體的外接球與內(nèi)切球幾何體的外接球與內(nèi)切球1、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。、內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。4、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。、體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法。一、外接球（一）多面體幾何性質(zhì)法1、 已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為 4，體積為 16，則這個球的表面積是A.16B.20C.24D.3

2、2小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.2、 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上， 且一個頂點上的三條棱的長分別為 1， 2， 3，則此球的表面積為。（二）補形法1、若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是.2、 設(shè), , ,P A B C是球O面上的四點,且,PA PB PC兩兩互相垂直,若PAPBPCa,則球心O到截面ABC的距離是.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為abc、 、，則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，則有2222R

3、abc.3、三棱錐OABC中，,OA OB OC兩兩垂直，且22OAOBOCa，則三棱錐OABC外接球的表面積為（）A26 aB29 aC212 aD224 a4、三棱錐ABCP的四個頂點均在同一球面上，其中ABC是正三角形PA平面62,ABPAABC則該球的體積為（）A.316B.332C.48D.364答案及解析：答案及解析：10.B點評：本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征求出球的半徑是解題的關(guān)鍵5、如圖的幾何體是長方體1111ABCDABC D的一部分，其中113,2AB ADDDBBcm則該幾何體的外接球的表面積為(A211 cm(B)

4、222 cm(C)211 223cm( D)211 22 cm答案及解析：答案及解析：12.【知識點】幾何體的結(jié)構(gòu).G1B解析：該幾何體的外接球即長方體1111ABCDABC D的外接球，而若長方體1111ABCDABC D的外接球半徑為 R ，則長方體1111ABCDABC D的體對角線為 2R，所以2222211(2 )332222RR，所以該幾何體的外接球的表面積222 cm，故選 B.【思路點撥】分析該幾何體的外接球與長方體1111ABCDABC D的外接球的關(guān)系，進而得結(jié)論.6、一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為 1 的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球

5、的表面積是（）A 12B4C3D 12答案及解析：答案及解析：14.考點：由三視圖求面積、體積分析：三視圖復原幾何體是四棱錐，擴展為正方體，它的體對角線，就是球的直徑，求出半徑，解出球的表面積解答：解：由三視圖知該幾何體為四棱錐，記作 SABCD，其中 SA面 ABCD面 ABCD 為正方形，將此四棱錐還原為正方體，易知正方體的體對角線即為外接球直徑，所以 2r=S球=4r2=4 =3答案：C點評：本題考查三視圖求表面積，幾何體的外接球問題，是基礎(chǔ)題（三）尋求軸截面圓半徑法1、正四棱錐SABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，SABCD、 、 、 、都在同一球面上，則此球的體積為.?C?D?A?B

6、?S?O?1?圖3小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法值得我們學習.2、求棱長為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積3、三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=2 且 AA1平面 ABC，ABC 是邊長為的正三角形，該三棱柱的六個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為（）A 8BCD 8答案及解析：答案及解析：7.C考點：球的體積和表面積專題

7、：計算題；空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)題意，正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的體積解答：解：由題意可知：正三棱柱的底面中心的連線的中點就是外接球的球心，因為ABC 是邊長為的正三角形，所以底面中心到頂點的距離為：1；因為 AA1=2 且 AA1平面 ABC，所以外接球的半徑為：r=所以外接球的體積為：V= r3= （）3=故選：C點評：本題給出正三棱柱有一個外接球，在已知底面邊長的情況下求球的體積著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、正三角形的計算和球的體積公式等知識，屬于中檔題8.4、已知三棱錐ABCD中，2ABACBDCD，2BCAD，直線AD與底面BCD所成角為

8、3，則此時三棱錐外接球的體積為A.8B.23C.4 23D.8 23答案及解析：答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為A.12512B.1259C.1256D.12532、如圖所示是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體外接球的表面積為A. 8B. 16C. 32D. 643、三棱錐PABC中，底面ABC是邊長為 2 的正三角形，PA底面ABC，且2PA，則此三棱錐外接球的半徑為（）?C?A?O?D?B?圖4A2B5C2D3214、如圖，在三棱錐 ABCD 中，ACD 與BCD 是全等的

9、等腰三角形，且平面 ACD平面BCD，AB=2CD=4，則該三棱錐的外接球的表面積為BC答案及解析：答案及解析：D27.EF考點：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體G專題：空間位置關(guān)系與距離H分析：取 AB，CD 中點分別為 E，F(xiàn)，連接 EF，AF，BF，求出 EF，判斷三棱錐的外接球球心 O 在線段 EF 上，連接 OA，OC，求出半徑，然后求解表面積I解答：解：取 AB，CD 中點分別為 E，F(xiàn)，連接 EF，AF，BF，由題意知 AFBF，AF=BF，EF=2，易知三棱錐的外接球球心 O 在線段 EF 上，連接 OA，OC，有 R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面積為

10、J故答案為：KL點評：本小題主要考查球的內(nèi)接幾何體的相關(guān)計算問題，對考生的空間想象能力與運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想都提出很高要求，本題是一道綜合題，屬于較難題M28.N29.5、在三棱錐BCDA中，底面BCD為邊長為2的正三角形，頂點A在底面BCD上的射影為BCD的中心， 若E為BC的中點，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為O2 2，則三棱錐BCDA外接球的表面積為_P答案及解析：答案及解析：Q29.6R二、內(nèi)切球問題1、 一氣球 （近似看成球體） 在不變形的前提下放在由長為 2 的 12 根木條搭成的正方體中，該氣球球表面積最大是_2、正三棱錐的高為 1，底面邊長為2 6。求棱錐的內(nèi)切球的表面積。3、三棱錐ABCD的兩條棱6ABCD,其余各棱長均為5， 求三棱錐的內(nèi)切球半徑.4、如圖，已知球 O 是棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面 ACD1截球 O 的截面面積為()ABCD答案及解析：答案及解析：4.C考點：截面及其作法專題：空間位置關(guān)系與距離分析：根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征，判斷出平面 ACD1是正三角形，求出它的邊長，再通過圖求出它的內(nèi)切圓的半徑，最后求出內(nèi)切圓的面積解答：解：根據(jù)題意知，平面 ACD1是邊長為的正三角形，且球與以點 D 為公共點的三個面的切點恰為三角形