函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)

1、函數(shù)及其表示基礎(chǔ)知識(shí)梳理1函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：yf(x)，xA.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫自變量，x的取值范圍A叫做定義域，與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等；這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)2函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)的常用方法有：解

2、析法、列表法、圖象法3映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射 另：求復(fù)合函數(shù)yf(t)，tq(x)的定義域的方法：若yf(t)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式得aq(x)b即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域?yàn)?a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域4函數(shù)的單調(diào)性(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2,當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)

3、，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f (x )在區(qū)間D上是減函數(shù)。(2)單調(diào)區(qū)間的定義：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間注：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù)y分別在(，0)，(0，)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個(gè)定義域即(，0)(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，)，不能用“”連接函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同

4、時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減函數(shù)在公共的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有：增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)。(3)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的奇偶性與周期性基礎(chǔ)知識(shí)梳理1奇、偶函數(shù)的概念一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 注：奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2奇、偶函數(shù)的性質(zhì)（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱（2）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)

5、對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反。 （3）若奇函數(shù)f(x)在x0處有定義，則f(0)0 ，偶函數(shù)恒有.判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法3周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期注：若f(xa)f(x)或f(xa)或f(xa)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為T2a；練習(xí)檢測(cè)1(2011·江西)若f

6、(x)，則f(x)的定義域?yàn)?)A. B. C. D(0，)解析由log(2x1)0，即02x11，解得x0.答案A2下列各對(duì)函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg x Bf(x)lg，g(x)lg(x1)lg(x1)Cf(u) ，g(v) Df(x)()2，g(x)答案C3函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個(gè)值對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_解析任作直線xa，當(dāng)a不在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線xa與函數(shù)yf(x)圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)a在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)時(shí)，直線xa與函數(shù)yf(x)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)任作直線yb，當(dāng)直線yb與

7、函數(shù)yf(x)的圖象有交點(diǎn)，則b在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)；當(dāng)直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象沒有交點(diǎn)，則b不在函數(shù)yf(x)的值域內(nèi)答案3,02,31,51,2)(4,54求下列函數(shù)的定義域：(1)f(x)；(2)f(x).審題視點(diǎn) 理解各代數(shù)式有意義的前提，列不等式解得解(1)要使函數(shù)f(x)有意義，必須且只須解不等式組得x3，因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)(2)要使函數(shù)有意義，必須且只須即解得：1<x<1.因此f(x)的定義域?yàn)?1,1)5. (2012·天津耀華中學(xué)月考)(1)已知f(x)的定義域?yàn)?，求函?shù)yf的定義域；(2)已知函數(shù)f(32x)的定義域?yàn)?,2，求

8、f(x)的定義域解(1)令x2xt，知f(t)的定義域?yàn)椋瑇2x，整理得所求函數(shù)的定義域?yàn)?(2)用換元思想，令32xt，f(t)的定義域即為f(x)的定義域，t32x(x1,2)，1t5，故f(x)的定義域?yàn)?,56.(1)已知flg x，求f(x)；(2)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，求函數(shù)f(x)的解析式審題視點(diǎn) (1)用代換法求解；(2)構(gòu)造方程組求解解(1)令t1，則x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)x(1,1)時(shí)，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得f(x)lg(x1)lg(1x)

9、，x(1,1) 求函數(shù)解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解函數(shù)方程等7. (1)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，試求f(x)的表達(dá)式(2)已知f(x)2f()2x1，求f(x)解(1)由題意可設(shè)f(x)ax2bx(a0)，則a(x1)2b(x1)ax2bxx1ax2(2ab)xabax2(b1)x1解得a，b.因此f(x)x2x.(2)由已知得消去f，得f(x).8. 求函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)區(qū)間正解設(shè)tx23x，由t0，得x0或x3，即函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(3，)函數(shù)t的對(duì)稱軸為直線x，故t在(，0)上單調(diào)遞減，

10、在上單調(diào)遞增而函數(shù)ylogt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，)9. 求函數(shù)f(x)log2(x22x3)的單調(diào)區(qū)間嘗試解答由x22x30，得x1或x3，即函數(shù)的定義域?yàn)?，1)(3，)令tx22x3，則其對(duì)稱軸為x1，故t在(，1)上是減函數(shù)，在(3，)上是增函數(shù)又ylog2t為單調(diào)增函數(shù)故函數(shù)ylog2(x22x3)的單調(diào)增區(qū)間為(3，)，單調(diào)減區(qū)間為(，1)10.(2011·江蘇)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_解析要使ylog5(2x1)有意義，則2x10，即x，而ylog5u為(0，)

11、上的增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，u2x1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案11. 函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是 （ ）Aa3 Ba<3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C12. 已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值審題視點(diǎn) 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當(dāng)變形(1)證明法一函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，則x1x20

12、，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0時(shí)，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是減函數(shù)法二設(shè)x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時(shí)，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)解f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2. 對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)

13、性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)f(x2)與0的大小，或與1的大小有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鐇1x2·或x1x2x1x2等【訓(xùn)練】已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x

14、1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.1(2011·全國(guó))設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)2x(1x)，則f()A. B. C. D.解析因?yàn)閒(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以fff.故選A.答案A2(2011·浙江)若函數(shù)f(x)x2|xa|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析法一f(x)f(x)對(duì)于xR恒成立，|xa|xa|對(duì)于xR恒成立，兩邊平方整理得ax0

15、對(duì)于xR恒成立，故a0.法二由f(1)f(1)，得|a1|a1|，得a0.答案03. 已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2，且在區(qū)間2,0內(nèi)遞減，求滿足：f(1m)f(1m2)0的實(shí)數(shù)m的取值范圍解f(x)的定義域?yàn)?,2，有解得1m.又f(x)為奇函數(shù)，且在2,0上遞減，在2,2上遞減，f(1m)f(1m2)f(m21)1mm21，即2m1.綜合可知，1m1.4.已知函數(shù)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x1，(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x1,2時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2013)的值審題視點(diǎn) (1

16、)只需證明f(xT)f(x)，即可說明f(x)為周期函數(shù)；(2)由f(x)在0,1上的解析式及f(x)圖象關(guān)于x1對(duì)稱求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)證明函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，則f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)(2)解當(dāng)x1,2時(shí)，2x0,1，又f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，則f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)f(0)f(1)f(2)f(2

17、013)f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點(diǎn)問題5. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)f(x1)，則f(2 013)f(2 015)的值為()A1 B1 C0 D無法計(jì)算解析由題意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期為4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f