雙自由度體系的振動(dòng)

1、第四章 雙自由度體系的振動(dòng)§4-1 雙自由度體系的一般振動(dòng)方程如某一體系在任一時(shí)刻的位形可用二個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)確定，則該體系就叫做雙自由度體系。如圖4-1所示，設(shè)體系的兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)分別為和，它們分別表示質(zhì)量和離開(kāi)各自靜平衡位置的絕對(duì)位移。選擇獨(dú)立坐標(biāo)的方法不是唯一的，例如也可以選擇質(zhì)量的絕對(duì)位移和質(zhì)量相對(duì)于質(zhì)量的相對(duì)位移作為二個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。圖4-1 雙自由度體系模型由圖4-1（b）所示的動(dòng)平衡隔離體，立即可寫(xiě)出對(duì)于和的運(yùn)動(dòng)方程為： （4-1）整理后，可得 （4-2）引入矩陣記號(hào) （4-3）式中叫做質(zhì)量矩陣，為一對(duì)稱(chēng)陣；叫做阻尼矩陣，為一對(duì)稱(chēng)陣；叫做剛度矩陣，為一對(duì)稱(chēng)正定或半正定對(duì)稱(chēng)矩陣；和

2、分別叫做位移和外力列向量。式（4-2）現(xiàn)可寫(xiě)成 （4-4）由于、c及k不是對(duì)角的就是對(duì)稱(chēng)的，故有、 （4-5）矩陣中的非對(duì)角元素起了耦合的作用。如果、c及k均為對(duì)角陣時(shí)，則方程（4-4）解耦，此時(shí)其求解方法與單自由度體系相同。這個(gè)結(jié)論對(duì)一般多自由度體系也同樣適用。§4-2 雙自由度體系的無(wú)阻尼振動(dòng)4-2-1 無(wú)阻尼時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程把式（4-4）中的阻尼項(xiàng)去掉，即令c=0，即可得無(wú)阻尼時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程 （4-6）在一般情況下，求解式（4-4）或上式也并不是很容易的，其原因是二個(gè)方程不是相互獨(dú)立。下面我們僅討論自由振動(dòng)以及外力為簡(jiǎn)諧力的特殊情況。4-2-2 自由振動(dòng)令式（4-6）的右側(cè)，即得自由

3、振動(dòng)方程式 （4-7a）上式也可寫(xiě)成 （4-7b）因?yàn)樯鲜綖辇R次的，所以，如果及為一組解答，則及也是一組解答，這里為一任意常數(shù)。因此，自由振動(dòng)方程的解只能確定到一個(gè)未定的常數(shù)乘子。（1）模態(tài)（振型）及頻率下面我們要找出一組特殊的解及，要求及為相互同步，即要求與時(shí)間無(wú)關(guān)?，F(xiàn)設(shè) 并代入式（4-7b），有 （4-8）或 （4-9）從上式可得 （4-10） （4-11）式（4-10）中的常數(shù)不僅為實(shí)數(shù)而且為正數(shù)。證明如下：設(shè)，并代入式（4-10），則有 （a）故 （b）如果，并代入式（4-10），得，所以為實(shí)數(shù)。如果為負(fù)數(shù)，則為正實(shí)數(shù)，此時(shí)式（b）中的第一項(xiàng)當(dāng)時(shí)，將趨于無(wú)窮大而第二項(xiàng)則趨于零。由于系統(tǒng)

4、是保守的，運(yùn)動(dòng)既不能消失也不能趨于無(wú)窮，所以為負(fù)值在物理上無(wú)意義，因此必須為正實(shí)數(shù)。其次再來(lái)證明時(shí)間函數(shù)f（t）為簡(jiǎn)諧函數(shù)：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，故可令，式（a）中的s可寫(xiě)成，于是式（b）可寫(xiě)成 （c）令 （d）則 （4-12）所以為簡(jiǎn)諧函數(shù)，為任意常數(shù)，為圓頻率，為相位角。這三個(gè)量對(duì)于及都是相同的，即因?yàn)樽杂烧駝?dòng)方程的解只能確定到一個(gè)未定的常數(shù)乘子，故上式中的可以不加考慮，可直接令 （4-13）最后再來(lái)證明并不是任意的，而僅能取特定的值。將代入式（4-11），則有 （4-14a）由于，故上式可簡(jiǎn)化成 （4-14b）式（4-14）叫做模態(tài)方程。如欲得非零解，則必須 （4-15）式（4-15）叫做頻率方程

5、。將上式展開(kāi)，并注意到，則有或 （4-16）因此只有二個(gè)模態(tài)（或叫振型），在這二個(gè)模態(tài)下體系的運(yùn)動(dòng)才是同步簡(jiǎn)諧的。與這二個(gè)模態(tài)相應(yīng)的頻率分別為及。現(xiàn)設(shè)與相應(yīng)的模態(tài)用及來(lái)表示，與相應(yīng)的模態(tài)用及來(lái)表示。雙腳標(biāo)中的第一個(gè)腳標(biāo)與質(zhì)量及相對(duì)應(yīng)，第二個(gè)腳標(biāo)表示模態(tài)號(hào)碼。由于模態(tài)方程（4-14）是齊次的，所以及只有相對(duì)關(guān)系。從模態(tài)方程可得 （4-17a，b）于是體系的模態(tài)矢量可表示成 （4-18）雙自由度體系的自由振動(dòng)可表示成 （4-19a）或 （4-19b）或 （4-19c）式中 （4-20）因故式（4-19a）中僅有四個(gè)待定常數(shù)，即、及，它們由初始條件確定。例4-1 試求圖4-2所示雙自由度體系的頻率和

6、模態(tài)。在此，將以上數(shù)據(jù)代入式（4-16）及式（4-17），得從上式可以看出，第一模態(tài)（振型）為兩個(gè)質(zhì)量一起振動(dòng)，無(wú)相對(duì)位移，中間一個(gè)彈簧不起作用，只有第一個(gè)第三個(gè)彈簧起作用，其結(jié)果等于質(zhì)量為2m，彈簧系數(shù)為2k的單自度體系的振動(dòng)；而第二模態(tài)為兩個(gè)質(zhì)量作相反振動(dòng)，中間一個(gè)彈簧的中點(diǎn)始終不動(dòng)。這兩個(gè)模態(tài)的力學(xué)模型如圖4-3所示。圖4-2 雙自由度振動(dòng)體系示意第一模態(tài)第二模態(tài)圖4-3 雙自由度振動(dòng)模態(tài)示意（2）模態(tài)（振型）的正交性及其意義從上面的例子中，我們發(fā)現(xiàn)有這樣的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系不是個(gè)別的，而是一般的，叫做模態(tài)（振型）的正交關(guān)系或簡(jiǎn)稱(chēng)正交性?，F(xiàn)證明如下：因?yàn)橛墒剑?-14a）及（4-20）可得

7、（a） （b）將式（a）轉(zhuǎn)置得 （c）將式（b）左乘，得 （d）將式（c）右乘，得 （e）因?yàn)樵俦容^式（d）和（e），得因?yàn)?，故?（4-21a）將上式展開(kāi)，由式（d）或式（e）均可得 （4-22a）式（4-21）及式（4-22）分別表示二個(gè)不同振型以質(zhì)量（或剛度）為權(quán)的正交性（帶權(quán)正交性）。同時(shí)，有 （）（4-21b） （）（4-22b）式中為正常數(shù)，為相應(yīng)于主坐標(biāo)的廣義質(zhì)量；為相應(yīng)的廣義剛度矩陣。振動(dòng)方程式（4-7a）可以變換成如下形式 （）上式表明，整個(gè)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)可以用2個(gè)獨(dú)立的無(wú)阻尼二階微分方程組來(lái)描述，每一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)振型，每個(gè)振型的固有頻率由下式給出 （）振型正交性有二

8、個(gè)方面的意義，即幾何的及物理的。設(shè)，則由式（4-21）可得上式表示二個(gè)向量的內(nèi)積為零，即二個(gè)振型向量正交，這是幾何方面的意義。現(xiàn)在再來(lái)看看物理方面的意義:設(shè)將振型正交式分別乘以及，得亦即 （a） （b）式（a）表示以第一振型在作自由振動(dòng)時(shí)的慣性力不在第二振型上作功，式（b）表示以第二振型在作自由振動(dòng)時(shí)的慣性力不在第一振型上作功，換言之，第一振型的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到第二振型上，反之亦然，即一振型的的振動(dòng)不會(huì)激起別的振型的振動(dòng)。上面所說(shuō)的關(guān)于振型的正交性及其意義對(duì)于一般多自由度體系也同樣如此。（3）模態(tài)（振型）的規(guī)格化對(duì)于第一或第二振型，有由于一個(gè)振型的各幅值之間可相差一個(gè)常數(shù)比例因子，也就是說(shuō)和仍然

9、是第振型的幅值，這時(shí)有上述過(guò)程叫做振型規(guī)格化，和叫做規(guī)格化了的振型。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，一般假設(shè)振型都是經(jīng)過(guò)規(guī)格化了的，并仍用、記之。于是有 （4-23）對(duì)于一般多自由度體系，也具有同樣的形式： （4-24a）如用矩陣形式表達(dá)，則有 （4-24b）所以，對(duì)于規(guī)格化了的振型來(lái)說(shuō)，有 （4-25）（4）四個(gè)待定常數(shù)的確定直接代入法當(dāng)雙自由度體系在自由振動(dòng)時(shí)，二個(gè)振型同時(shí)出現(xiàn)，其運(yùn)動(dòng)方程已示于式（4-19a）。由于與，與之間有一定的比例關(guān)系，故實(shí)際上僅有四個(gè)未定常數(shù)要由四個(gè)初始條件確定。由 （4-17a，b）代入式（4-19b、c），則有 （4-26）把，代入上式，有 （a） （b） （c） （d）(b)

10、（a） （e）(a) （f）(d)(c) （g）(c) -(d) （h） （i） （4-27）如將式（4-26）展開(kāi)，則有 （4-28）式中、及表示相應(yīng)式中的右邊項(xiàng)。方法二：振型正交疊加法由式（4-19）的矩陣形式，并引入式（4-17a，b），即 （4-19）式中 , , ，。把，、，并代入式（4-26），有（i）（j）根據(jù)振型加權(quán)正交性，式（ai）、（bj）兩邊同左乘，則有（k）（l）整理得（m） （n）（o）（p）4-2-3 在簡(jiǎn)諧力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)先假設(shè)在上作用一個(gè)諧振力，而在上沒(méi)有外力，則運(yùn)動(dòng)方程為（4-29a）或 （4-29b）現(xiàn)在先來(lái)求設(shè)體系穩(wěn)態(tài)解，即特解。為令 （4-30）將式（

11、4-30）代入式（4-29a），得解上式，有， （4-32）其中 （4-33a）將上式與頻率方程式（4-15）相比，可得 （4-33b）所以，有， （4-34）在上式中先不考慮因子，并令 （a）上式中的、及可用如下辦法求得：由式（a）的第一式可得令，則有 （b）用同樣的辦法，可得 （c） （d） （e）由式（4-17）并考慮到，得 （4-35）將上式代入式（a）并考慮式（4-34），最后可得 （4-36）從，又因振型中的幅值僅有相對(duì)意義，故可令，則有。于是， （4-37a）或 （4-37b）從上式可以看出，純強(qiáng)迫振動(dòng)可用體系的振型、頻率以及共振因子來(lái)表達(dá)。有了特解以后，再加上齊次解，即得全解 （4-38）再?gòu)某跏紬l件，當(dāng)， ，確定四個(gè)常數(shù) 。在這里應(yīng)該指出，順便提一句，振型中有一個(gè)振幅取值為1時(shí)，叫做振型規(guī)一化。一般取絕對(duì)值最大的幅值為1，其余幅值都是小于1的數(shù)。應(yīng)注意與規(guī)格化是兩個(gè)不同的概念。上面所說(shuō)討論的是，僅在上作用著外力，而在上沒(méi)有外力作用的情況，并記特解為（即式4-37b）