物理學(xué)第三劉克哲解析及答案

1、第二章 機(jī)械能守恒定律§2-1 功和功率一、功定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。1、恒力的功恒力：力的大小和方向均不變。如圖2-1，功為 即 說明：為標(biāo)量 功是過程量功是相對(duì)量功是力對(duì)空間的積累效應(yīng) 作用力與反作用力的功其代數(shù)和不一定為零。2、變力的功設(shè)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，如圖2-2。為變力，在第個(gè)位移元中，看作恒力，對(duì)物體做功為質(zhì)點(diǎn)從過程中，對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為功的精確數(shù)值為 即： 討論：恒力功直線運(yùn)動(dòng)設(shè)，如圖3-10，質(zhì)點(diǎn)在中，功為合力功設(shè)質(zhì)點(diǎn)受個(gè)力，合力功為二、功率定義：力在內(nèi)對(duì)物體做功為，下式稱為在時(shí)間間隔內(nèi)的平均功率。下式稱為瞬時(shí)功率，即 §2

2、-2 動(dòng)能和動(dòng)能定理一、動(dòng)能定義： 式中，、分別為物體質(zhì)量和速率。稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能。說明：(1)為標(biāo)量；(2)為瞬時(shí)量；(3)為相對(duì)量。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理恒力，直線運(yùn)動(dòng)變力，曲線運(yùn)動(dòng)合外力做的功等于動(dòng)能的增量。討論：1、 為狀態(tài)量， 為過程量；2、 ,的數(shù)值與參照系有關(guān)，但動(dòng)能定理形式不變。§2-3 勢(shì)能一、保守力與非保守力如果力對(duì)物體做的功只與物體始末二位置有關(guān)而與物體所經(jīng)路徑無關(guān)，則該力稱為保守力，否則稱為非保守力。數(shù)學(xué)表達(dá)依次為： 及 由上可知，重力、彈性力、萬有引力均為保守力，而摩擦力、汽車的牽引力等都是非保守力。二、勢(shì)能對(duì)任何保守力，則它的功都可以用相應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值來表示，即

3、： 結(jié)論：保守力功=相應(yīng)勢(shì)能增量的負(fù)值 。 *從理論上講，即是無旋的，與有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可定義為與相應(yīng)的勢(shì)能。也就是說，保守力場(chǎng)中才能引進(jìn)勢(shì)能的概念?？梢?，引進(jìn)勢(shì)能概念是有條件的。注意：勢(shì)能是相對(duì)的，屬于系統(tǒng)的。 說明： （1）（2）（3）§2-4 機(jī)械能守恒定律一、功能原理作用在質(zhì)點(diǎn)上的力可分為保守力和非保守力，把保守力的受力與施力者都劃在系統(tǒng)中，則保守力就為內(nèi)力了，因此，內(nèi)力可分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，內(nèi)力功可分為保守內(nèi)力功和非保守內(nèi)力功。由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 有結(jié)論：合外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能（動(dòng)能+勢(shì)能）的增量。稱此為功能原理。說明：功能原理中，功不含有保守內(nèi)力的功，而動(dòng)能定理

4、中含有保守內(nèi)力的功。功是能量變化或轉(zhuǎn)化的量度能量是系統(tǒng)狀態(tài)的單值函數(shù)二、機(jī)械能守恒定律由功能原理知，當(dāng)時(shí)，有結(jié)論：當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能=常量，這為機(jī)械能守恒定律。（注意守恒條件）例 如圖3-18，在計(jì)算上拋物體最大高度時(shí)，有人列出了方程（不計(jì)空氣阻力）列出方程時(shí)此人用了質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律中的那一個(gè)？解：動(dòng)能定理為合力功=質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能增量功能原理為外力功+非保守內(nèi)力功=系統(tǒng)機(jī)械能增量（取、地為系統(tǒng)）機(jī)械能守恒定律即 可見，此人用的是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理。物理學(xué)2章習(xí)題解答2-1 處于一斜面上的物體，在沿斜面方向的力f作用下，向上滑動(dòng)。已知斜面長為5.6 m，頂端的高度為3.2 m，f的大

5、小為100 n，物體的質(zhì)量為12 kg，物體沿斜面向上滑動(dòng)的距離為4.0 m，物體與斜面之間的摩擦系數(shù)為0.24。求物體在滑動(dòng)過程中，力f、摩擦力、重力和斜面對(duì)物體支撐力各作了多少功？這些力的合力作了多少功？將這些力所作功的代數(shù)和與這些力的合力所作的功進(jìn)行比較，可以得到什么結(jié)論？圖2-3解 物體受力情形如圖2-3所示。力f所作的功  ；摩擦力   ,摩擦力所作的功 ；重力所作的功;支撐力n與物體的位移相垂直，不作功，即；這些功的代數(shù)和為 .物體所受合力為  ,合力的功為.這表明，物體所受諸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代數(shù)和。2-3 物

6、體在一機(jī)械手的推動(dòng)下沿水平地面作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為0.49 m×s-2 。若動(dòng)力機(jī)械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物體與地面的摩擦系數(shù)。解 設(shè)機(jī)械手的推力為f沿水平方向，地面對(duì)物體的摩擦力為f，在這些力的作用下物體的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式 ,在上式兩邊同乘以v，得 ,上式左邊第一項(xiàng)是推力的功率()。按題意，推力的功率p是摩擦力功率fv的二倍，于是有 .由上式得,又有 ,故可解得 .2-4 有一斜面長5.0 m、頂端高3.0 m，今有一機(jī)械手將一個(gè)質(zhì)量為1000 kg的物

7、體以勻速從斜面底部推到頂部，如果機(jī)械手推動(dòng)物體的方向與斜面成30°，斜面與物體的摩擦系數(shù)為0.20，求機(jī)械手的推力和它對(duì)物體所作的功。解 物體受力情況如圖2-4所示。取x軸沿斜面向上，y軸垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)圖2-4根據(jù)已知條件,  .由式(2)得.將上式代入式(3)，得 .將上式代入式(1)得 ,由此解得 .推力f所作的功為.圖2-52-5 有心力是力的方向指向某固定點(diǎn)(稱為力心)、力的大小只決定于受力物體到力心的距離的一種力，萬有引力就是一種有心力?，F(xiàn)有一物體受到有心力 的作用(其中m和 a都是大于零

8、的常量)，從rp 到達(dá)rq，求此有心力所作的功，其中rp和rq是以力心為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)物體的位置矢量。解 根據(jù)題意，畫出物體在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的示意圖，即圖2-5，物體在運(yùn)動(dòng)過程中的任意點(diǎn)c處，在有心力f的作用下作位移元dl，力所作的元功為, 所以，在物體從點(diǎn)p (位置矢量為rp)到達(dá)點(diǎn)q (位置矢量為rq)的過程中，f所作的總功為 . 2-6 馬拉著質(zhì)量為100 kg的雪撬以2.0 m×s-1 的勻速率上山，山的坡度為0.05(即每100 m升高5 m)，雪撬與雪地之間的摩擦系數(shù)為0.10。求馬拉雪撬的功率。解 設(shè)山坡的傾角為a，則 .可列出下面的方程式 ,

9、 , .式中m、f、f和n分別是雪橇的質(zhì)量、馬的拉力、地面對(duì)雪橇的摩擦力和地面對(duì)雪橇的支撐力。從以上方程式可解得, , .于是可以求得馬拉雪橇的功率為 .2-7 機(jī)車的功率為2.0´106 w，在滿功率運(yùn)行的情況下，在100 s內(nèi)將列車由靜止加速到20 m×s-1 。若忽略摩擦力，試求：(1)列車的質(zhì)量；(2)列車的速率與時(shí)間的關(guān)系；(3)機(jī)車的拉力與時(shí)間的關(guān)系；(4)列車所經(jīng)過的路程。解 (1)將牛頓第二定律寫為下面的形式,  (1)用速度v點(diǎn)乘上式兩邊，得.式中fv = p，是機(jī)車的功率，為一定值。對(duì)上式積分&

10、#160;,即可得 ,將已知數(shù)據(jù)代入上式，可求得列車的質(zhì)量，為 .(2)利用上面所得到的方程式 ,就可以求得速度與時(shí)間的關(guān)系，為 . (2)(3)由式(2)得 ,將上式代入式(1)，得 ,由上式可以得到機(jī)車的拉力與時(shí)間的關(guān)系.(4)列車在這100秒內(nèi)作復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榧铀俣纫苍陔S時(shí)間變化。列車所經(jīng)過的路程可以用第一章的位移公式(1-11)來求解。對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，上式可化為標(biāo)量式，故有.2-8 質(zhì)量為m的固體球在空氣中運(yùn)動(dòng)將受到空氣對(duì)它的黏性阻力f的作用，黏性阻力的大小與球相對(duì)于空氣的運(yùn)動(dòng)速率成正比，黏性阻力的方向與球的運(yùn)動(dòng)方向相反，即可表

11、示為f = -b v，其中b是常量。已知球被約束在水平方向上，在空氣的黏性阻力作用下作減速運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻t0 ，球的速度為v0 ，試求：(1)  t時(shí)刻球的運(yùn)動(dòng)速度v；(2)在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所作的功a。解 (1)根據(jù)已知條件，可以作下面的運(yùn)算,式中 .于是可以得到下面的關(guān)系,對(duì)上式積分可得. (1)當(dāng)t = t0時(shí)，v = v0，代入上式可得.將上式代入式(1)，得. (2)(2)在從t0 到t的時(shí)間內(nèi)，黏性阻力所作的功可以由下面的運(yùn)算中得出 .2-9 一個(gè)質(zhì)量為30 g的子彈以500 m×s-1 的速率沿水平方向射入沙袋內(nèi)，并到達(dá)深度為

12、20 cm處，求沙袋對(duì)子彈的平均阻力。解 根據(jù)動(dòng)能定理，平均阻力所作的功應(yīng)等于子彈動(dòng)能的增量，即,所以.2-10 以200 N的水平推力推一個(gè)原來靜止的小車，使它沿水平路面行駛了5.0 m。若小車的質(zhì)量為100 kg，小車運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦系數(shù)為0.10，試用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和動(dòng)能定理兩種方法求小車的末速。解 設(shè)水平推力為f，摩擦力為f，行駛距離為s，小車的末速為v。(1)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求小車的末速v：列出下面的方程式, .兩式聯(lián)立求解，解得,將已知數(shù)值代入上式，得到小車的末速為.(2)用動(dòng)能定理求小車的末速v：根據(jù)動(dòng)能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示為 .由以上兩式可解

13、得,將已知數(shù)值代入上式，得小車的末速為.2-11 質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長度l = 50.0 cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點(diǎn)o，如圖2-6所示。若將小球拉到p處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運(yùn)動(dòng)到繩子與水平方向成q = 60° 的點(diǎn)q時(shí)，小球的速率v、繩子的張力t和小球從p到q的過程中重力所作的功a。解 取q點(diǎn)的勢(shì)能為零，則有圖2-6,即,于是求得小球到達(dá)q點(diǎn)時(shí)的速率為.設(shè)小球到達(dá)q點(diǎn)時(shí)繩子的張力為t，則沿軌道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球從p到q的過程中的任意一點(diǎn)上，沿軌道切向作位移元ds，重力所作元功可表示為,式中q是沿軌道切向所作位移

14、元ds與豎直方向的夾角。小球從p到q的過程中重力所作的總功可以由對(duì)上式的積分求得.2-12 一輛重量為19.6´103 n的汽車，由靜止開始向山上行駛，山的坡度為0.20，汽車開出100 m后的速率達(dá)到36 km×h-1 ，如果摩擦系數(shù)為0.10，求汽車牽引力所作的功。解 設(shè)汽車的牽引力為f，沿山坡向上，摩擦力為f，山坡的傾角為a。將汽車自身看為一個(gè)系統(tǒng)，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式 , (1) ,.根據(jù)已知條件，可以得出 ， ，汽車的質(zhì)量 以及 。從方程(1)可以解得 .汽車牽引力所作的功為 ,將數(shù)值代入，得.2-13 質(zhì)量為1

15、000 kg的汽車以36 km×h-1 的速率勻速行駛，摩擦系數(shù)為0.10。求在下面三種情況下發(fā)動(dòng)機(jī)的功率：(1)在水平路面上行駛；(2)沿坡度為0.20的路面向上行駛；(3)沿坡度為0.20的路面向下行駛。解 (1)設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f1 ，路面的摩擦力為f。因?yàn)槠囋谒铰访嫔闲旭?，故可列出下面的方程? .解得 .所以發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為.(2)設(shè)汽車沿斜面向上行駛時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f2，可列出下面的方程式 , .解得.發(fā)動(dòng)機(jī)的功率為.(3)汽車沿斜面向下行駛時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的牽引力為f3，其方向與汽車行駛的方向相反。所列的運(yùn)動(dòng)方程為,所以,這時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)

16、的功率為 .2-14 一個(gè)物體先沿著與水平方向成15°角的斜面由靜止下滑，然后繼續(xù)在水平面上滑動(dòng)。如果物體在水平面上滑行的距離與在斜面上滑行的距離相等，試求物體與路面之間的摩擦系數(shù)。解 設(shè)物體在水平面上滑行的距離和在斜面上滑行的距離都是l，斜面的傾角a = 15°，物體與地球組成的系統(tǒng)是我們研究的對(duì)象。物體所受重力是保守內(nèi)力，支撐力n不作功，物體所受摩擦力是非保守內(nèi)力，作負(fù)功。以平面為零勢(shì)能面，根據(jù)功能原理可以列出下面的方程式,其中 , , 將它們代入上式，可得,所以.圖2-72-15 有一個(gè)勁度系數(shù)為1200 n×m-1 的彈簧被外力壓縮了5.6 cm

17、，當(dāng)外力撤除時(shí)將一個(gè)質(zhì)量為0.42 kg的物體彈出，使物體沿光滑的曲面上滑，如圖2-7所示。求物體所能到達(dá)的最大高度h。解 將物體、彈簧和地球劃歸一個(gè)系統(tǒng)，并作為我們的研究對(duì)象。這個(gè)系統(tǒng)沒有外力的作用，同時(shí)由于曲面光滑，物體運(yùn)動(dòng)也沒有摩擦力，即沒有非保守內(nèi)力的作用，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。彈簧被壓縮狀態(tài)的彈力勢(shì)能應(yīng)等于物體達(dá)到最大高度h時(shí)的重力勢(shì)能，即,.2-16 如圖2-8所示，一個(gè)質(zhì)量為m = 1.0 kg的木塊，在水平桌面上以v = 3.0 m×s-1 的速率與一個(gè)輕彈簧相碰，并將彈簧從平衡位置壓縮了x = 50 cm。如果木塊與桌面之間的摩擦系數(shù)為m = 0.25，求彈簧的勁度系

18、數(shù)k。圖2-8解 以木塊和彈簧作為研究對(duì)象，在木塊壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)所受外力中有重力和摩擦力，重力不作功，只有摩擦力作功。根據(jù)功能原理，可列出下面的方程 ,其中 , 代入上式，并解出彈簧的勁度系數(shù)，得.2-17 一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定，另一端懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，這時(shí)平衡位置在點(diǎn)a，如圖2-1所示。現(xiàn)用手把小球沿豎直方向拉伸dx并達(dá)到點(diǎn)b的位置，由靜止釋放后小球向上運(yùn)動(dòng)，試求小球第一次經(jīng)過點(diǎn)a時(shí)的速率。圖 2-1OABx0x解 此題的解答和相應(yīng)的圖2-1，見前面例題分析中的例題2-1。若把小球、彈簧、地球看作一個(gè)系統(tǒng)，則小球所受彈性力和重力都是保守力。系統(tǒng)不受任何外力

19、作用，也不存在非保守內(nèi)力，所以在小球的運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒。另外，可以把小球處于點(diǎn)B時(shí)的位置取作系統(tǒng)重力勢(shì)能零點(diǎn)，而系統(tǒng)的彈性勢(shì)能零點(diǎn)應(yīng)取在彈簧未發(fā)生形變時(shí)的狀態(tài)，即圖中所畫的點(diǎn)O。設(shè)由于小球受重力的作用，彈簧伸長了x0，而到達(dá)了點(diǎn)A。則根據(jù)狀態(tài)B和狀態(tài)A的機(jī)械能守恒，應(yīng)有：式中v是小球到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的速率。因?yàn)樾∏蛱幱邳c(diǎn)A時(shí)所受的重力mg和彈性力k(x0)相平衡，故有 mg= k(x0) (2)將式(2)代入式(1)，即可求得小球到達(dá)點(diǎn)A時(shí)的速率 有的讀者認(rèn)為既然勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選擇，那么彈力勢(shì)能的零點(diǎn)若選在點(diǎn)A不是更簡便嗎? 如果將彈力勢(shì)能零點(diǎn)選擇在點(diǎn)A，則式(1)成為下面的形式： 由此可以解

20、得 這顯然與上面的結(jié)果不一致。哪個(gè)結(jié)果正確呢?難道彈力勢(shì)能零點(diǎn)不能任意選擇嗎?勢(shì)能零點(diǎn)的確是可以任意選擇的，并且如若不指明勢(shì)能零點(diǎn)，勢(shì)能的值就沒有意義。讀者一定還記得，我們?cè)谟懻搹椓?shì)能時(shí)，得到彈力勢(shì)能表達(dá)式EP=kx2/2的前提是選擇物體處于平衡位置(即彈簧無形變)時(shí)系統(tǒng)的彈力勢(shì)能為零。這就是說，在使用公式EP=kx2/2時(shí)，勢(shì)能零點(diǎn)就已經(jīng)選定在平衡位置O點(diǎn)了。若再選擇A點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，豈不是在一個(gè)問題中同時(shí)選擇了兩個(gè)彈力勢(shì)能零點(diǎn)了嗎?這顯然是不能允許的。所以，在這里讀者必須注意，在使用公式EP=kx2/2時(shí)，勢(shì)能零點(diǎn)必須選在彈簧無形變時(shí)的平衡位置。 讀者一定會(huì)想到既然公式EP=kx2/2是在

21、選擇了彈簧無形變狀態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)的情況下得到的，那么公式EP=mgh是否也是在選擇了某點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)的情況下得到的?顯然是這樣的，把質(zhì)量為m的物體處于高度為h處的勢(shì)能寫為EP=mgh，實(shí)際上已經(jīng)選定了勢(shì)能零點(diǎn)在h=0處。那么。在我們的問題中h=0的位置在什么地方呢?顯然，我們可以把B點(diǎn)認(rèn)為是h=O的位置，這時(shí)A點(diǎn)的高度就是h=z(在上面的求解過程中正是這樣選擇的)，也可以把A點(diǎn)認(rèn)為是h=0的位置，這時(shí)B點(diǎn)的高度就是h=-x。這兩種選擇都滿足：當(dāng)h=0時(shí)，EP=0。由上面的分析可以看到，公式EP=kx2/2和公式EP=mgh中的x和h具有不同的含義。H是物體所處的高度，只有相對(duì)意義，而x代表彈簧的形變，具有絕對(duì)意義。2-18 一個(gè)物體從半徑為r的固定不動(dòng)的光滑球體的頂點(diǎn)滑下，問物體離開球面時(shí)它下落的豎直距離為多大？圖2-9 解 設(shè)物體的質(zhì)量為m，離開球面時(shí)速度為v，此時(shí)它下落的豎直距離為h。對(duì)于由物體、球體和地球所組