麥克斯韋爾模型與開爾文模型綜述

1、1彈性力學(xué)概念和流變學(xué)的兩個基本模型在流變學(xué)里，應(yīng)變不與應(yīng)力成簡單的正比關(guān)系，這兩者不是線性關(guān)系。在這里，表述應(yīng)變、應(yīng)力和時間三者關(guān)系的公式不再 稱為應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，而稱為“本構(gòu)關(guān)系”。馬克斯威爾模型由一個彈性元件和一個流性元件串聯(lián)組成，描述具有彈性又具有流性的材料。巖石在瞬間受力條件下具有彈 性,在持久力作用下具有流性，恰好可用馬克斯威爾模型描述。馬克斯威爾粘彈性模型中的粘性元件采用了牛頓流體模型，即線性粘性流體。牛頓流體是指受應(yīng)力時產(chǎn)生的流動速率與應(yīng)力大小成 正比的材料。表述為(T = n( 1)式(1)中(T為應(yīng)力，e為應(yīng)變(流動)速率，n為比例常數(shù)，流變 學(xué)中稱為粘性系數(shù)(模量)。式(

2、1)可與彈性力學(xué)中一維虎克定律 的形式進行比較(T =Ee( 2)式 中e為應(yīng)變,E為比例常數(shù)，又稱楊氏模量。式(2)表示材 料的應(yīng)變與應(yīng)力成正比，與式(1)的不同就在于應(yīng)變速率 e上, 其中包含著時間因素。2開爾文(Kelvin)模型簡介比馬克斯威爾模型(1868)晚幾年，提出了開爾文模型 (Kelvin,1875)。與馬克斯威爾模型不同，將彈性元件a和流性元件 b 不是串聯(lián) ,而是并聯(lián) ,就組成了開爾文模型 ,如圖 1 所示。元 件 a 為彈簧, 具有完全彈性 ,其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律式 (2), 在此可寫為彷?=?(圖 1開爾文模型)a為彈性元件彈簧,b為流性元件有阻尼的唧筒，兩者并

3、聯(lián)，a為應(yīng)力元件b符合牛頓流體條件，參照式(1)可寫為a?=n £b由于是并 聯(lián),所以兩元件上應(yīng)力之和應(yīng)等于總應(yīng)力a ,有a= a?+ %=£冷 +n %a =E$a+n 冷(3)式(3) 為開爾文模型的本構(gòu)關(guān)系 ,為深入了解開爾文模型的性質(zhì) , 給出一些特定情況來分析。(1)第一種情況。我們給這個模型兩端突然一個應(yīng)力,例如拉應(yīng)力，量值為a0并保持不變。模型的并聯(lián)關(guān)系要求并聯(lián)兩元件 的變形量要同步，彈性元件雖然有能力響應(yīng)應(yīng)力a0的作用，力圖達到對應(yīng)的應(yīng)變值 , 但礙于流性元件的滯后性 ,必須跟隨流性元 件的緩慢速度使變形逐漸跟上來。 這個過程的應(yīng)力在初始時幾乎 全由流性元件

4、承擔(dān) , 彈性元件只承擔(dān)很小的應(yīng)力 , 而隨著應(yīng)力保 持的時間延續(xù)才逐漸增大 ,這樣應(yīng)力也逐漸由流性元件身上轉(zhuǎn)移 到彈性元件身上 ,最后完全由彈性元件承擔(dān)。在這個應(yīng)力條件下 , 模型的最終應(yīng)變量是彈性元件對應(yīng)這個應(yīng)力的應(yīng)變值 ,只是比單 一彈性元件達到這個應(yīng)變值的時間要滯后 , 這種現(xiàn)象稱為滯彈性。 巖石和很多材料一樣 ,都具有滯彈性。關(guān)于巖石由開爾文模型描述的性質(zhì)我們稍后解釋，現(xiàn)在繼續(xù)式 的推導(dǎo)過程。已經(jīng)設(shè)定應(yīng) 力保持不變，故式 中彷二兀=?常數(shù))，所以式 可改寫為 由于"和n都是常數(shù)，還由于并聯(lián)的兩個元件同步變形 ，所以 冷=冷，而且也等于模型的總應(yīng)變。這樣上式可以改寫成只有 &

5、#163; 為變量的形式這是一個變量為£的一元一次常微分方程,它的解是式(4)中t為持續(xù)時間，馬克斯威爾模型類似的方程式E和n都是代表材料性質(zhì)的兩個常數(shù)，巖石的E值遠小于n值,但隨著時間延續(xù),括號中的第二項可以有沖的情況,或者t=w 在馬克斯威爾模型里，稱這時的t為馬克斯威爾松弛時間(Maxwellrelaxtime)。在式 中,我們也可以稱當(dāng)t= nE時為開爾文延遲時間(Kelvinretardtime),對于巖石材料,這個時間約為10111013s。隨著時間的延續(xù)，式 的負指數(shù)接近負無窮大： 括號內(nèi)的第二項(負指數(shù)項)就接近零，這時式(4)的形式接近于 這就是彈性元件在應(yīng)力作用下

6、的應(yīng)變值。我們可以看出開爾文模型是一個滯彈性體，與馬克斯威爾模型不同的是，它的應(yīng)變不會隨應(yīng)力延續(xù)而無限地增加，用它對巖石作描述可以更真實地 反映巖石的應(yīng)變量不會無限地隨時間延續(xù)而增加，應(yīng)變達到一定值時會停止,過量的應(yīng)力也會使巖石破裂。(2第二種情況。當(dāng)時間延續(xù)到寸,應(yīng)變?yōu)?#163;,如果此時將應(yīng)力突然減為零，彈性元件雖然有立即釋放全部應(yīng)力的趨勢 ，礙 于流性元件不能立即恢復(fù)其已有的變形，應(yīng)力只能逐漸從彈性元 件上釋放，變形也只能逐漸恢復(fù)。這時,由于外力已完全從模型上撤除,整個模型的復(fù)原完全是內(nèi)部的功能交換過程，也稱內(nèi)能損耗。如果是振動變形，則是振波的阻尼衰減過程。聯(lián)系到地震過 程,當(dāng)巖石突然

7、破裂時，破裂面上已經(jīng)不承受外力，相當(dāng)于應(yīng)力在 該處已撤除，但是破裂面兩側(cè)的位移并沒立即停止，巖石內(nèi)的振動也要繼續(xù)一段時間，這就是地震后的余震過程。將巖石的具體 參數(shù)(E、n )值代入式(4),就成為了解余震所持續(xù)時間的參考依 據(jù)。式(4)中/E是彈性元件對應(yīng) 值的應(yīng)變 和這樣式(4)可改 寫為式(5)表示模型的當(dāng)前應(yīng)變與可達到的彈性應(yīng)變之比隨應(yīng)力保持 時間的延續(xù)而逐漸接近 1。而當(dāng)突然撤去外力時，應(yīng)變并不立即 回零,而是逐漸逼近零。圖2示出這兩個過程。圖2中的曲線上 升段對應(yīng)圖2開爾文模型應(yīng)變隨時間的變化突然加力時應(yīng)變的增加過程，如果不撤除應(yīng)力，應(yīng)變會逐漸逼近 水平虛線，即彈性可達的值。如果在

8、時間寸撤除應(yīng)力，應(yīng)變并不 沿垂直的虛線降為零，而是沿坡型虛線下降，逐漸降為零。這就是 開爾文模型描述的應(yīng)變對應(yīng)力變化的滯彈性現(xiàn)象，開爾文模型可以較逼真地描述巖石的彈性滯后現(xiàn)象,滯彈性也是流變性質(zhì)的一種特征。3 流變力學(xué)模型的地質(zhì)應(yīng)用流變學(xué)是力學(xué)的一個分支。 如果從第一個流變模型馬克斯 威爾模型提出 (1868) 算起, 流變學(xué)的形成已有百余年的歷史了。 百余年來流變學(xué)對大變形力學(xué) , 對變形具有時間依賴性質(zhì)的解釋 有重要貢獻。自然界最廣泛的大變形 , 最明顯的對時間的依賴莫 過于地質(zhì)過程引起的巖石變形產(chǎn)生的構(gòu)造形跡。 馬克斯威爾模型 描述巖石在低應(yīng)力下的高應(yīng)變性質(zhì) , 但它在理論上沒有設(shè)定多低

9、 的應(yīng)力就不能引起流變 , 也沒限定巖石是否有所能達到應(yīng)變的最 高限 ,好像巖石可以在無窮小應(yīng)力條件下 ,只要時間充足就可以 產(chǎn)生無窮大的應(yīng)變一樣。 所以馬克斯威爾模型描述的材料基本上 是流體性質(zhì)的材料。 開爾文模型則不同 ,只要應(yīng)力保持不變 , 應(yīng)變 雖然隨時間在緩慢增加 , 但增量越來越小 , 并且不會超過一個定 值, 即對應(yīng)每個應(yīng)力都有一個應(yīng)變極限。這個值對應(yīng)彈性元件在 該應(yīng)力條件下的最大彈性應(yīng)變 , 它表示所描述的材料是有強度的 不是永遠流動的 , 巖石的彈性應(yīng)變值一般不是很大 , 所以開爾文 模型更適用于變形不大的巖石變形現(xiàn)象 , 例如與地震相關(guān)的許多 現(xiàn)象。所以開爾文模型描述的材料

10、基本上是固體性質(zhì)的材料, 但兩個模型的共同點都顯出變形對時間的依賴。巖石的流變性質(zhì)有時與流體性質(zhì)相似 , 自然界中發(fā)現(xiàn)許多大 變形而不破裂的流動構(gòu)造 , 用馬克斯威爾模型描述時效果非常好。 也有許多變形值有限度的流變構(gòu)造 , 用開爾文模型描述時效果也 非常好。針對巖石的流變構(gòu)造選用哪種模型合適要依據(jù)對構(gòu)造形 跡的實際測量和推測。圖3較復(fù)雜的模型a和b馬克斯威爾模型和開爾文模型是流變學(xué)的兩個最基本模型。 流變學(xué)的發(fā)展是在這兩個基本模型上再串聯(lián)或者并聯(lián)流變學(xué)元 件，以期增加其彈性和流性性質(zhì)。在掌握馬克斯威爾模型和開爾 文模型的基礎(chǔ)上，不難推導(dǎo)出復(fù)雜模型的本構(gòu)關(guān)系。但是復(fù)雜模 型雖然可以描述材料的復(fù)

11、雜性質(zhì)，卻帶來很多計算上的困難，有時還不如用簡單模型描述更合適。所以模型的選擇往往在精確度和運算簡便之間權(quán)衡,只要精度大致夠了 ，模型選擇得越簡單越 好。圖3是比上兩個基本模型稍復(fù)雜的模型，它們只增加一個彈 性元件，分別并聯(lián)(圖3a)和串聯(lián)(圖3b)于馬克斯威爾模型和開 爾文模型上。在自然科學(xué)探索中常常利用模型來定量地描述較復(fù)雜的過 程。地質(zhì)學(xué)也是常常通過模型闡述某種演化過程的。例如板塊理論中就有海底擴張模型(傳送帶模型)、轉(zhuǎn)換斷層模型、板塊俯沖 模型等，后來又建立了地幔柱模型。流變學(xué)模型則是從力學(xué)領(lǐng)域 發(fā)展起來的，在描述巖石性質(zhì)時，地質(zhì)學(xué)家從力學(xué)領(lǐng)域?qū)W習(xí)和借 鑒這些模型，得以準確地描述巖石的性質(zhì)和解釋地質(zhì)過程。巖礦 和地球化學(xué)借用了許多化學(xué)原理，古生物學(xué)借用了許多生物學(xué)原 理,構(gòu)造地質(zhì)學(xué)理應(yīng)多借用物理力學(xué)原理。參考文