復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的比較

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的比較數(shù)域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域后，便產(chǎn)生了復(fù)變函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)著重討論解析函數(shù)，而解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是相互聯(lián)系的，這與實(shí)變函數(shù)有根本的區(qū)別。從某種意義上來說，實(shí)函數(shù)可以看作復(fù)函數(shù)的特例。有關(guān)實(shí)函數(shù)的一些概念，很多都可以推廣到復(fù)函數(shù)上來。例如：函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、有（無）界函數(shù)、中值定理、泰勒展開式、基本初等函數(shù)等。但是，由于復(fù)數(shù)域的特殊性，又給這些概念賦予了新的特性。下面我將選取幾個(gè)方面粗略地比較實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)的異同。一、復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義從文字?jǐn)⑹錾峡磁c實(shí)變函數(shù)的定義幾乎是一樣的。復(fù)變函數(shù)的定義為：設(shè)A是一個(gè)復(fù)數(shù)集,

2、如果對A中的任一復(fù)數(shù)z，通過一個(gè)確定的規(guī)則f有唯一的或若干個(gè)復(fù)數(shù)w與之對應(yīng)，就說在復(fù)數(shù)集A上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記為w=f(z)。而實(shí)變函數(shù)的定義為：設(shè)A是一個(gè)實(shí)數(shù)集,如果對A中的任一實(shí)數(shù)x，通過一個(gè)確定的規(guī)則f有唯一的實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)，就說在實(shí)數(shù)集A上定義了一個(gè)實(shí)變函數(shù)，記為y=f(x)。二者定義雖然從文字上看類似，但是具體的對應(yīng)形式發(fā)生了根本變化，簡單來說就是，實(shí)變函數(shù)可以看成是把一維實(shí)數(shù)區(qū)間映射成一維實(shí)數(shù)區(qū)間的函數(shù)，而復(fù)變函數(shù)則是把二維平面區(qū)域映射成二維平面區(qū)域的函數(shù)，如下圖所示。二、復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)極限過程對比復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)的極限定義為：設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的某一去心鄰域U(z

3、0)內(nèi)有定義，A為一復(fù)常數(shù)，若任給>0，總存在>0，使得當(dāng)0<z-z0< （即zU(z0)）時(shí)，都有fz-A<（即fzU(A,)）成立，則稱A為函數(shù)fz當(dāng)zz0時(shí)的極限，記作limzz0fz=A，或fzA（zz0）。而實(shí)變函數(shù)在某一點(diǎn)的極限定義為：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域U(x0)內(nèi)有定義，A為一實(shí)常數(shù)，若任給>0，總存在>0，使得當(dāng)0<x-x0< （即xU(x0)）時(shí)，都有fx-A<（即fxU(A,)）成立，則稱A為函數(shù)fx當(dāng)xx時(shí)的極限，記作limxx0fx=A，或fxA（xx0）。兩個(gè)定義雖然從文字?jǐn)⑹錾峡赐耆?/p>

4、似，但是具體的對應(yīng)形式發(fā)生了根本變化，簡單來說就是，實(shí)變函數(shù)的極限過程是當(dāng)自變量在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)趨近于指定的x0時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值無限趨近于已知確定的某個(gè)實(shí)數(shù)，不管是自變量還是函數(shù)值，這個(gè)過程都是在一維直線上進(jìn)行的。而復(fù)變函數(shù)的極限是當(dāng)自變量在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)趨近于指定的z0時(shí)，其對應(yīng)的函數(shù)值無限趨近于某個(gè)已知的確定復(fù)數(shù)，不管是自變量還是函數(shù)值，這個(gè)過程都是在二維平面上進(jìn)行的，如下圖所示。三、復(fù)變函數(shù)的解析性和實(shí)變函數(shù)的可微性解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對象，下面先給出幾個(gè)相關(guān)的定義：定義1.1 設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的領(lǐng)域內(nèi)（或含z0的區(qū)域D內(nèi)）有定義，若極限limz0fz0+z-f(z0)z存

5、在，則稱此極限為函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0的導(dǎo)數(shù)，記為f'(z0)定義1.2 若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)，則稱f'(z0)z為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的微分，記為df|z=z0或dwz|z=z0,即dwz|z=z0=f'(z0)z特別地，當(dāng)fz=z時(shí)，dz=z，于是dw|z=z0=f'(z0)dz即f'z0=dwdz|z=z0由此可見，在復(fù)變函數(shù)中f(z)在點(diǎn)z0可導(dǎo)與f(z)在點(diǎn)z0可微是等價(jià)的定義1.3 若函數(shù)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)可微，則稱f(z)為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)（或全純函數(shù)、正則函數(shù)）。此時(shí)也稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。對于微分的性質(zhì)，實(shí)變函數(shù)和

6、復(fù)變函數(shù)有以下三大點(diǎn)的不同:1.微分中值定理微分中值定理是微分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，隨著數(shù)域的擴(kuò)充，微分中值定理在復(fù)數(shù)域中不成立。例1.設(shè)w=fz=ez，函數(shù)fz在z平面處處解析，且ez具有周期性，2ki, kZ是其周期。當(dāng)給定閉區(qū)域D,z1, z2D且z1z2，容易滿足ez1=ez2，但ez'=ez0。故Rolle中值定理在復(fù)數(shù)域C上不成立。2.解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性區(qū)域D內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都可微的復(fù)變函數(shù)稱為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。在復(fù)變函數(shù)論中，解析函數(shù)的零點(diǎn)總是孤立的。而實(shí)變函數(shù)體現(xiàn)出的性質(zhì)截然相反。例2.設(shè)函數(shù)fx=x2sin1x, x00

7、, x=0 ，研究fx的可微性及其零點(diǎn)的性質(zhì)。解：（1）由于limx0f0+x-f(0)x=limx0x2sin1xx=0故fx在x=0可微且f'0=0。于是fx在-,+上處處可微。（2）令fx=0可得其全部零點(diǎn)是0,±1,±12,±1n,，其中n為自然數(shù)。觀察這些零點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，對于fx的零點(diǎn)x=0而言，fx的零點(diǎn)x=±1n, n=1,2,3,，以x=0為聚點(diǎn)，也就是說在點(diǎn)x=0的任意領(lǐng)域內(nèi)總有異于x=0的fx的其他零點(diǎn)。即盡管實(shí)變函數(shù)fx不恒為零且處處可微，零點(diǎn)x=0卻不是孤立零點(diǎn)。3.解析函數(shù)的無窮可微性在復(fù)變函數(shù)中，若fx在區(qū)域D內(nèi)解析，則fz

8、在區(qū)域D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，并且它們也在區(qū)域D內(nèi)解析。復(fù)變函數(shù)的這一性質(zhì)稱為解析函數(shù)的無窮可微性。實(shí)變函數(shù)中區(qū)間上的可微函數(shù)，在此區(qū)間上不一定有二階導(dǎo)數(shù)，更不必說高階導(dǎo)數(shù)。例3.設(shè)函數(shù)fx=x2sin1x, x00, x=0 ，討論fx在x=0的高階導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)閘imx0f0+x-f(0)x=limx0x2sin1xx=0故fx在x=0可微且f'0=0。于是 f'x=2x2sin1x-cos1x,x00, x=0又 limx0f'x=limx0(2x2sin1x-cos1x)不存在，則f'x在x=0不連續(xù)，于是f'x在x=0不可導(dǎo)，即fx在x=0沒有二階導(dǎo)

9、數(shù)，也就更沒有高階導(dǎo)數(shù)。四、復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的積分從積分的定義來看，實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的積分都是分割、求和、取極限等步驟，相同之處是：兩種函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及積分公式。不同之處是：實(shí)函數(shù)的積分有明確的、易理解的幾何意義，而復(fù)函數(shù)的積分實(shí)質(zhì)上是一種線積分，積分路徑C是區(qū)域D內(nèi)以A為起點(diǎn)B為終點(diǎn)的一條有向光滑的曲線，沒有通俗明了的幾何意義。而且積分的值不僅和起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，一般情況下也與積分路徑有關(guān)。對于牛頓萊布尼茨公式，在形式上對兩者來說都是一致的，但又有明顯的區(qū)別：對一元實(shí)函數(shù)fx而言，只要fx在a,b上連續(xù)，就可應(yīng)用牛頓萊布尼茨公式，即abfxdx=Fb-F(a)而對復(fù)變函數(shù)來說，fz連續(xù)，積分c

10、fzdz存在，但不一定就可以使用牛頓萊布尼茨公式來計(jì)算。要想使用該公式，fz必須在單連通區(qū)域D內(nèi)處處解析，才有z0z1fzdz=Fz1-F(z0)同時(shí)，式中的上下積分限z1, z0必須都在單連通區(qū)域D內(nèi)。例4.計(jì)算積分I=C(e2+2z)dz，其中C為(x-1)2+y2=1的上半圓周，取逆時(shí)針方向。解：因?yàn)閑2和2z在復(fù)平面上處處解析，則I=C(e2+2z)dz=e2+z2|20=-e2-3五、復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的級數(shù)復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的關(guān)于級數(shù)的不同之處主要體現(xiàn)在將函數(shù)展開成冪級數(shù)時(shí)，具體表現(xiàn)為：復(fù)變函數(shù)展成冪級數(shù)時(shí)要求要弱些，僅求fz在z0的領(lǐng)域內(nèi)解析即可，并且不需證明余項(xiàng)趨于零；而實(shí)變函數(shù)fx要展成冪級數(shù)，除要求fx在z0存在任意階導(dǎo)數(shù)外，還需