最短距離問題將軍飲馬

1、、線段和、差牧童放?！眴栴}是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典題目，主要轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短問題 ”在最近幾年的中招試題及競賽中，該問題經(jīng)過不同的轉(zhuǎn)化及演變，一一浮現(xiàn)在我們的眼前，使我們目不暇接，顧此失彼。因此，我們有必要作一下總結(jié)，找出其中的規(guī)律，以做到屢戰(zhàn)屢勝的 效果。原題：如圖，一位小牧童，從 A 地出發(fā)，趕著牛群到河邊飲水，然后再到B 地，問怎樣選擇飲水的地點，才能使牛群所走的路程最短?延伸一：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線 L 上連接一個分支線路，分支點為 M，同時向新落 成的 A、B兩個居民小區(qū)送電。已知兩個居民小區(qū) A、B 分別到主干線的距離 AA 仁 2 千米, BB1=1 千米，且A1B1=4

2、千米。（1） 如果居民小區(qū) A、B 位于主干線 L 的兩旁，如圖（1）所示，那么分支點 M 在什么地 方時總路線最短？最短線路的長度是多少千米？（2） 如果居民小區(qū) A、B 位于主干線 L 的同旁，如圖（2）所示，那么分支點 M 在什么地 方時總路線最短？此時分支點M 與 A1 的距離是多少千米？第一講轉(zhuǎn)化思想x延伸二：如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8, M 在 DC 上，且 DM=2 , N 是 AC 上一動點，則DN+MN 的最小值是多少？OO 的半徑為 1，求 AP+BP 的最小值。延伸四：如圖所示，在邊長為 6 的菱形 ABCD 中，/DAB=600 , E 為 AB 的中點，F(xiàn)

3、是 AC 上一動點，則 EF+BF 的最小值是多少？延伸五： 在直角坐標(biāo)系 XOY 中 x 軸上的動點 M (x,0)到定點 P (5, 5), Q (2, 1)的距離分別為 MP 和 MQ,那么當(dāng) MP+MQ 取最小值時，點 M 的橫坐標(biāo) x=?延伸三：如圖，A 是半圓上一個三等分點,B 是弧 AN 的中點，P 是直徑 MN 上一動點,例，如圖，在梯形 ABCD 中，AB II CD，/ A +ZB = 90, E、F 分別是 AB、CD 的中 點，求證 EF =1(AB CD)2二、面積問題例，如圖，ABC中，BC = 4,AC2j3,ACB 60，P 為 BC 上一點，過點P 作 PD/

4、AB，交 AC 于 D。連結(jié) AP，問點 P 在 BC 上何處時，APD 面積最大？x、中考題 如圖，已知RtAABC,D1是斜邊AB的中點，過Dj作D1E1丄AC于Ei,連結(jié)BE1交CD1于D2;過D2作D2E2丄AC于E2， 連結(jié)BE2交CDi于D3;過D3作D3E3丄AC于E3， , 如此繼續(xù)，可以依次得到點D4,D5，Dn,分別記BD1E1?ABD2E2,ABD3E3,，BDnEn的面積為S1,S2,S3，Sn則Sn=_SAABC（用含n的代數(shù)式表示）EiE2E3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 OABC 的邊 0A 在 y 軸的正半軸上，0C 在 x 的正半軸上，0A=2, 0C=3

5、,過原點 0 作/AOC 的平分線交 AB 與點 D,連接 DC過點 D 作DE 丄 DC 交 0A 與點 E.1求過點 E,D,C 的拋物線的解析式.2將/ DEC 繞點 D 按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與 y 軸的正半軸交于點 F,另 一邊與線段 0C 交于點 G.如果 DF 與第（1）題中的拋物線交于另一點M, 點M的橫坐標(biāo)為 6/5,那么 EF=2G0 是否成立？請說明理由.3對于第（2）題中的點 G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點 Q,使 得直線 GQ 與 AB 的交點 P 與點 C, G 構(gòu)成的 PCG 是等腰三角形？若存在，請 求出點Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.BD

6、如圖，在 ABD 和厶 ACE 中，AB=AD , AC=AE，/ BAD= / CAE，連結(jié) BC、 DE相交于點 F，BC 與 AD 相交于點 G(1) 試判斷線段 BC、DE 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(2) 如果/ ABC= / CBD，那么線段 FD 是線段 FG 和 FB 的比例中項嗎？為什 么？如圖 10,四邊形 ABCD、DEFG 都是正方形，連接M , CG 與 AD 相交于點 N.求證：(1) AE CG ;(2) AN ?DN CN ?MN.AE、CGAE 與 CG 相交于點GF如圖，四邊形 ABCD 和四邊形 ACED 都是平行四邊形，點 R 為 DE 的中點，BR 分 別交 AC, CD 于點P,Q.(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為 1 除外);(2)求BP: PQ:QR.k如圖，已知反比例函數(shù)y的圖象與一次函數(shù)y k2x b的圖象交于A、B