7.2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型

1、7 / 5利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型不等式的證明是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，它一般出現(xiàn)的壓軸題的位置，解決起來比較困難。本文給出這一類問題常見的證明方法，給將要參加高考的學(xué)子一些啟示和幫助。只要大家認(rèn)真領(lǐng)會(huì)和掌握本文的內(nèi)容，定會(huì)增強(qiáng)解決對(duì)這一類問題的辦法。下面聽我慢慢道來。題型一構(gòu)造函數(shù)法，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證明不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。例1 (人教版選修2-2第32頁B組1題)利用函數(shù)的單調(diào)性，證明不列不等式(1) sinx；x, x (0,二)(2) x x2 . 0,x (0,1) (3) ex

2、. 1 x, x = 0 (4) lnx；x；ex,x .0這四道題比較簡(jiǎn)單，證明的過程分三個(gè)步驟，一是構(gòu)造函數(shù)，二是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論。1例 2.當(dāng) x A1 時(shí)，求證：1_ < ln( x +1) < xx 11x證明：令 f (x) = ln(x+1)x ,則 f(x)=-1=-x 1 x 1當(dāng)一1<x<0 時(shí)，f (x) >0,當(dāng) x A0 時(shí)，f'(x)<0, f (x)在(1,y)上的最大值為f (x)max = f (0) =0 ,因此，f (x) < f (0) = 0 ,即 ln( x

3、+1) x M 0 . . ln(x +1) < x (右面得證)，1x-2 -2(x 1) (x 1)函數(shù)g (x)在(一1,十整)上的最小值為1.1再證左面，令 g(x) = ln(x+1) +-1,則g (x)=x 1x 1當(dāng) x w ( 1,0)時(shí),g (x) <0；當(dāng) x w (0,y )時(shí),g'(x) A 0 ,，、c c，、c c，/、1， Cg(x)min =g(0)=0, ： g(x)之 g(0)=0,即 ln(x+1)+-1 >0x 11一 1-ln(x +1) >1 (左面得證)，綜上，當(dāng) xa1 時(shí)，有-1Mln(x+1)Mxx 1x 1

4、啟示：證明分三個(gè)步驟，一是構(gòu)造函數(shù)，二是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，三是求此函數(shù)的最值，得出結(jié)論。題型二通過對(duì)函數(shù)的變形，利用分析法，證明不等式例.h(x) =ln x+bx有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1 ,x2求b的取值范圍；求證：二岸 A1.e解析：h(x) =lnx +bx ,其定義域?yàn)?0, +g).由h(x) =0得bu-ln),記 刊x)=膽，則 津(x)=x二 xxxln xln x1所以cp(x)=在(0,e)單調(diào)減,在(e,收)單調(diào)增，所以當(dāng)x =e時(shí)中(x)=取得最小值一一.xxe1又中(1)=0 ,所以xW(0,1)時(shí)學(xué)(x) >0 ,而xW(1,F)時(shí)學(xué)(x) <

5、0,所以b的取值范圍是(一，0). e由題意得 ln xbx1 =0,lnx2 bx2 =0,ln x1x2x1x2所以 lnXix2b(xx2)=0,lnx2-ln Xib(x2-Xi)=0 ,所以=，不妨設(shè)x1 <x2,2(X2 -為)2 xln X2 -In XiX2 f1要證 x1x2 >e2,需證 ln X|X2 =x2(ln x2 -ln x1) >2 .即證 ln x2 -ln x1 >2 - X|設(shè) t =x2(t >1),則 F(t) =lnt _2(t T)=巾 +- -2 ,X1t 1t 114 (t -1)2所以f (t)=1_4=(t 1

6、)>0,所以函數(shù)F(t)在(1, +°0)上單調(diào)增,t (t 1)2 t(t 1)2而 F (1)=0,所以 F(t) >0 即 lnt>2(t 1),所以 x1x2 >e2.t 1啟示：第一問用的是分離參數(shù)法，第二問用的是分析法，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)的變形能力要求較高，大家記住下面的變形:ln X1X2X1 2.2(2 -Xi), ,2(t -1) /t ,、=-2 = ln 2 -lnxi、2 ?=lntz(t 1)ln x2 Tn x1 x2 -x1x2 x1Li題型三 不等式左右兩邊的變量不一樣，分別為x1,x2，可以分別求出左右兩邊的最值而證明。如：VX

7、i , VX2， f(Xi)Hg(X2)U f(Xi)max « g(X2)min122例.已知函數(shù)f(X)= aX (2a+1)x+2 In X(a=R) .( 1)當(dāng)a =時(shí)，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間； 231 . . 2_ . x 當(dāng) a a 時(shí)，設(shè) g(x) = (x -2x)e ,求證：對(duì)任意 x1 w (0,2,均存在 x2 w (0,2,使得 f (x1) < g(x2)成23、一3解：(1)增區(qū)間為(0,n, (2,收)，減區(qū)間為(-,2).22若要命題成立，只需當(dāng)XW(0,2時(shí)，f(x)max<g(x)max，由g (x) =(x111時(shí)，g(x)A0

8、,故g(x)在(0,一)單調(diào)遞減，在(一，+9)單調(diào)遞增，從而g(x)在(0,+望)的最小值為gL )=設(shè) eeee h(x)=xe ，則 h(x)=e (1 -x)e 2)ex可知，當(dāng)xw(0,2時(shí)，g(x)在區(qū)間(0,J2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(J2,2上單調(diào)遞增, g(0) =g(2)=0,故 g(x)max=0,所以只需 f(x)max <0.對(duì)函數(shù) f(x)來說，f (X) = ax-(2a +1)+2 (aX 1)(x2). XX,111 1 、，當(dāng)a 時(shí)，0<<2,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(,，2上單調(diào)遞減，2 aaa1、1f (x)max =

9、 f ()= -2ln a -2 .當(dāng)a之1時(shí)，顯然小于0 ,滿足題意； a2a.1.1.1 - 4a當(dāng)一 < a <1 時(shí)，可令 h(a) =-2 ln a -2 , h (a) =22a2a21 1 1 可知該函數(shù)在 一<a<1時(shí)單調(diào)遞減，h(a) <h() =2ln23<0,滿足題意，所以a滿足題意.2 22啟示：此類題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，常見有下面四種形式， VX1,/X2，f(X1)<g(X2)U f(X1)max E g(X2)minX1，X2 f (X1)：二 g(X2) f(X1)max M g(X2)maxX1, -X

10、2 f (X1) ； g(X2) = f(X1)min 三 g(X2)min 5x1,5x2 f(x1)<g(x2)u f(x1)min M g(x2)max ,只要分別求在右兩邊函數(shù)的最值就可以了。四 分拆成兩個(gè)函數(shù)研究，要證明 f (x) >g(x),如果能證明f (x)min之g(x)max ,便可證f (x)之g(x)。大家可以 看到不等號(hào)左右兩邊都是相同的 X ,而上一種題型不等號(hào)兩邊分別為 X1,X2。由f(x)min 2 g(x)max= f(x)2g(x), 但f (x)之g(x)推不出f (x)min之g(x)max。比如ex21+x,推不出(ex)min之(x

11、+ 1)max,因?yàn)閤 + 1就沒有最大值。f (X)min 至 g(x)max 比 f (x)之 g(x)更嚴(yán)格。xbeXJ例(2014新課標(biāo)1理)設(shè)函數(shù)f (x) =ae In x+,曲線y = f (x )在點(diǎn)(1, f(1)處的切線方程為xy =e(x T) 2(I)求 a,b ；(II)證明：f (x) >1解：(I) a =1,b =2(II)如果按題型一的方法構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)做不下去，只好半途而廢。所以需要及時(shí)調(diào)整思路，改變思考方向。f(x)>1X 2.1.1-等價(jià)于 xln x >xe 一一，設(shè) g(x) = x ln x ,則 g (x) =1 +ln x

12、 ,當(dāng) x = (0, 一)時(shí)，g (x) < 0 ,當(dāng) x=(一，-) eee1當(dāng) xw(0,1)時(shí)，h'(x) >0 當(dāng) xw (1,y)時(shí)，h'(x)<0 從而 h(x)在(0,一)最大值為 h(1)=,因 g(x)與eh(x)極值點(diǎn)不相同。綜上，當(dāng) x>0時(shí)，g(x) > h(x)即f (x) >1啟示：掌握下列八個(gè)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對(duì)我們解決不等式的證明問題很有幫助，八個(gè)函數(shù)分別為小 xexln xxxIn xx2 y=xe ,(2) y=xlnx,(3) y= ,(4) y=(5) y = ,(6) y=，(7) y=,(8) y

13、=要求 xx eIn xxln x會(huì)畫它們的圖像，以后見到這種類型的函數(shù)，就能想到它們的性質(zhì)。題型五 函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))不確定，可以先設(shè)出來，只設(shè)不解，把極值點(diǎn)代入求出最值的表達(dá)式而證明。例(2015新課標(biāo)1卷文)設(shè)函數(shù) f (x )= e2x-aln x.(i)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);2(ii)證明：當(dāng) a >0時(shí)，f (x )之2a +aln .a解析：(i) f(x)的定義域?yàn)?0,y), f'(x) =2e2xa(x>0).當(dāng) aE0 時(shí)，f'(x) >0, f'(x)沒有零點(diǎn); x2xa._. a當(dāng)a>0

14、時(shí)，因?yàn)閑 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以f'(x)在(0,y)單調(diào)遞增.又f (a) >0,當(dāng)b滿足0<b<一且 x41a 1 a 1一.b <一時(shí)，2e -<2e2 = 2(e22) <0，: f (b) <0。4ba4故當(dāng)a >0時(shí)，f (x)存在唯一零點(diǎn)，(關(guān)鍵是放縮技巧，對(duì) x范圍的限制)(II)由(I)知，可設(shè)f (x)在(0,十大)的唯一零點(diǎn)為x0,當(dāng)xw (0,x0)時(shí)，f'(x) <0 ,當(dāng)xw (x0,z)時(shí)，f (x) A0 ,故f (x)在(0,x0)單調(diào)遞減，在(x0, y )單調(diào)遞增，所以當(dāng) x=x0時(shí)

15、，f(x)取得最小值，最小值為2x0f (Xo),由于 2e2"亙=0,得 e2x0x。.2x0 = ln a - ln 2x0,2ax0 = alna ,一a ln 2x0 = aln - - ln x0 =22 ln x0 =2ax0+aln 一 ,所以 af (x0) = -a- 2ax0 a ln -2xoa,2 .-aln- - ln x0, a一.2一，八一2a + aln,故當(dāng)a > 0時(shí)， af (x) - 2a aln a啟示：只設(shè)不解，整體代換是一種常用的方法，在解析幾何中體現(xiàn)很多。在本例(2)中，只設(shè)出了零點(diǎn)而沒有求出零點(diǎn),這是多么好的一種方法啊，同學(xué)們一

16、定認(rèn)真體會(huì)，把這種方法拿來我用。題型六估值法，極值點(diǎn)不確定，先把極值點(diǎn)設(shè)出來，再估計(jì)極值點(diǎn)的取范范圍(限制得越小越好)，進(jìn)行證明不等式 例.已知函數(shù) f (x )=ex,g (x )=ln x+m .,，,、一 “f X(1)當(dāng)m = -1時(shí)，求函數(shù)F(x)=-x g(x )在(0,2)上的極值； x1若 m=2,求證：當(dāng) x= 0," 時(shí)，f (x) a g(x)+一.(參考數(shù)據(jù)：ln 2 = 0.693,ln 3 = 1.099 )10解：(1)極小值為F(1) =e1 ,無極大值；x ,-.x 1(2)構(gòu)造函數(shù) h(x) = f (x) g(x) = e ln x 2 ,h (

17、x) = e 在(0,十厘)單調(diào)增， x1 1 = h (一)=/e 2 <0, h(ln2)=2>0,(此處需要估計(jì)x。的范圍，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，把x。的范圍控制2 ln 212好，也可以限制為一( x。m )23 一.1 .xn/. h (x)在(0,+°o)上有唯一專點(diǎn) xo ( , ln 2), a e 211,-)即 x0 = ln x0)xo且當(dāng)x W (0,Xo)時(shí)h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x W (Xo，十五)時(shí)h(x)單調(diào)遞增，一Xc1c故有 h(x) A h(x0) = e -ln x0 -2 =一 + x02,Xo 1一構(gòu)造函數(shù)cp(t)=t+,_2在(0

18、,1)上單調(diào)減,，1、”，丁 xo w (一 ,ln 2),(或者為21一:二 xo21:(x0) . (ln 2) =ln2 -2 0.13 ln2題型七利用圖象的特點(diǎn)，證明不等式，x 1例已知函數(shù)f(x)=qL(xGR). e>而即 h(x0)>-,f(x)>g(x)1+ 10(1)已知函數(shù)y = g(x)對(duì)任意x滿足g(x) =f (4 x),證明：當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>g(x)； (2)如果 x1，x2,且 f ( x1) =f (x2),證明 xix2>4.證明：(1)因?yàn)?g(x) =f (4 x),所以 g( x)則 F' (x)2-x

19、 2-x 2一xp3-e-x+ 2 e3 x=丁.令 Rx)=f(x)g(x),即 F(x) e2x- 1x-1 3x當(dāng) x>2 時(shí)，2 x<0,2 x1>3,從而 e3e2xT<0,則函數(shù) F' (x)>0, F( x)在(2,十)是增函數(shù).1 1所以 F(x) >F(2)=0,故當(dāng) x>2 時(shí)，f(x) >g(x)成立. e ey(2)因?yàn)閒(x)在(00, 2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2,十)內(nèi)是減函數(shù).X1，x2,且f(X1) =f(x2),所以X1,X2不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，不妨設(shè)X1<2<X2,由(1)可知f( X2)

20、> g(X2),又g(X2) =f (4 X2),所以f(X2)>f(4 xz),因?yàn)?f(x1)=f(xz),所以 f ( xi) >f (4 xz),因?yàn)?X2>2,4-X2<2, xi<2, f ( x)在區(qū)間(一0°, 2)內(nèi)為增函數(shù)，故 xi>4 一X2,即 X1 + x2>4.啟示：第(2)的證明也是一種常規(guī)方法，因?yàn)楹瘮?shù)在兩個(gè)單調(diào)區(qū)間上增減的速度不一樣，導(dǎo)致出現(xiàn)了2X1 + x2>4,如果 TE 一次函數(shù)f(x)=(x2)+1,f (x1)= f (x2),則可得到x1+x2= 4 ,x(+x2正好是對(duì)稱軸的 2倍。

21、此題的證明思路是要證x1 +x2 > 4 ,需證：X1>4 X2,需證：f( X1) >f (4 -X2),題型八證明數(shù)列不等式_ 11、例：根據(jù)不等式ln x M (x ),2 x11、證明：由ln x M-(x)，可得x2x彳1 1證明：13 511ln(2n 1)2n-1 22n 1得Q2n -12n -1 O1 2n 12ln 一2n 1所以2n -11ln 22n -12n 1 132n -11-(12n 1=>1 , n = N *2n -12 、2n 1)2ln -2n 1 2n-1上式中1 13題型九n=1, 2, 3, (一2n -1 2 2n-1 2

22、n 1n,然后n個(gè)不等式相加得到2n -11-ln(2n 1)2n 1放縮法證明不等式xe例：設(shè)函數(shù)f (x)=(常數(shù)a = R),在x = 0處取得極小值，g( x)=x a(1)求f(x)在(1, f(1)處的切線方程(2)對(duì)任意x亡(1,十無)，求證f (x) >g (x)x -1e - 2+(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))ln x 2e ,解：(1)易得a=1, f (x)在(1, f (1)處的切線方程為y =-(x+1)4(2)用構(gòu)造函數(shù)法證不出來，又試著分開兩個(gè)函數(shù)還不行，正當(dāng)我一籌莫展時(shí)，忽然想到與第一問題的切線聯(lián)系，如果左 邊的函數(shù)的圖像在切線的上方，右邊函數(shù)的圖像在切線的下方，這樣不就證明了呢。心里非常高興，馬上付諸行動(dòng)。令xe eh(x) =-(x+1)，x 1 4h(x)a( 2 1。-e-_e, h-(x) =(-11->0, h'(x)遞增，h'(x) >h'=0, h(x)遞增，h(x)>h(1) = 0,故(x 1)4(x 1)t(x)>e(x +1).再令 t(x) = e(x + 1) -1 _£-244 lnx 2,1,，、2”1,、lnx-1e(lnx)-4(lnx-1)exx一24(lnx)一24 (l