第三章有限元基本理論

1、第3章 有限元基本理論摘要：從一般的邊值問(wèn)題數(shù)值解理論出發(fā)，講解了有限元法的基本過(guò)程和基本理論。有限元法基本過(guò)程包括問(wèn)題幾何區(qū)域的離散、近似解待定參數(shù)的確定、方程的建立等；基本理論包括單元的分類(lèi)、單元形函數(shù)的性質(zhì)、等參單元、單元積分和節(jié)點(diǎn)等。本章講述的內(nèi)容不受應(yīng)用領(lǐng)域的限制。有限元法是為了解決結(jié)構(gòu)分析而發(fā)展起來(lái)的一種新的數(shù)值方法。經(jīng)過(guò)近50年發(fā)展，它不但是結(jié)構(gòu)分析強(qiáng)有力的工具，而且，在結(jié)構(gòu)分析獲得重大成功后，其理論也已日趨成熟，商務(wù)化軟件系統(tǒng)也已有一定規(guī)模和數(shù)量，在其它領(lǐng)域邊值問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方面同樣獲得巨大成功。設(shè)由邊界圍成區(qū)域，其基本解為未知函數(shù)的某一連續(xù)介質(zhì)邊值問(wèn)題。在第一章中我們將此問(wèn)題

2、轉(zhuǎn)化成等效積分形式，并用加權(quán)殘數(shù)法進(jìn)行數(shù)值解；第二章中對(duì)具有泛函極值形式的問(wèn)題采用Litz進(jìn)行數(shù)值解。但是以上兩章并沒(méi)有解決數(shù)值解中的試探函數(shù)（有限元中稱(chēng)形函數(shù)）的選取問(wèn)題。有限元方法的關(guān)鍵是待定參數(shù)和形函數(shù)的選取及計(jì)算，那么采用有限元數(shù)值解法，需要經(jīng)過(guò)哪些基本理論和過(guò)程呢？§3.1 有限元法概述3.1.1 區(qū)域的離散化將區(qū)域近似地離散成有限數(shù)量的，基本形狀有一定限制的，尺寸遠(yuǎn)小于和的子區(qū)域集，稱(chēng)為有限單元（Element）集，它的元素稱(chēng)單元，記為或，對(duì)每個(gè)單元給予編號(hào)，即(3.1.1)單元e節(jié)點(diǎn)單元邊界1e11e3e42e2ei2圖1.2單元位置與形狀由結(jié)點(diǎn)控制圖1.3單元協(xié)調(diào)性圖

3、1.1區(qū)域離散成單元單元的基本形狀可根據(jù)的幾何維數(shù)選擇，例如一維幾何區(qū)域?yàn)榫€單元；二維區(qū)域可選擇三角形或四邊形單元；而三維區(qū)域選擇四面體、五面體和六面體單元等。圖1.1的平面區(qū)域被離散成有限個(gè)三角形單元，詳細(xì)的單元分類(lèi)和性質(zhì)請(qǐng)見(jiàn)3.3的討論?？刂茊卧螤詈臀恢玫狞c(diǎn)稱(chēng)為單元節(jié)點(diǎn)（element node,也有稱(chēng)結(jié)點(diǎn)或接點(diǎn)），簡(jiǎn)稱(chēng)節(jié)點(diǎn)（Node），例如圖1.2。節(jié)點(diǎn)的集合記為，稱(chēng)節(jié)點(diǎn)集，并給予編號(hào)，即(3.1.2)圍成單元的幾何元素稱(chēng)為單元邊界，例如圖1.2中四邊形單元的四條邊（edge）、四個(gè)頂點(diǎn)節(jié)點(diǎn)和四個(gè)中間節(jié)點(diǎn)都屬于單元邊界。單元邊界比之單元在幾何維數(shù)上要低，根據(jù)幾何維數(shù)不同，單元邊界又可以

4、分單元面、單元邊、單元節(jié)點(diǎn)。在離散區(qū)域時(shí)，為了保證問(wèn)題解的唯一性和連續(xù)性，兩相鄰單元的邊界必須保持完全重合，即單元邊界的節(jié)點(diǎn)被相鄰單元完全共享。例如圖1.3中的節(jié)點(diǎn)1被單元與共享，而節(jié)點(diǎn)2被與四個(gè)單元共享。如何保證單元之間的問(wèn)題解的連續(xù)性將在3.3、3.4節(jié)中討論。3.1.2 確定待定參數(shù)集在第一章中已經(jīng)指出，邊值問(wèn)題的數(shù)值解是待定參數(shù)矢量集的線性組合(3.1.3)設(shè)節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題解的值為，組成的集合記為，即(3.1.4)雖然還不能完全等同近似解的待定參數(shù)集，但如果試探函數(shù)看成是對(duì)插值函數(shù)，從矢量運(yùn)算角度考慮，()可以改寫(xiě)成和(3.1.5)其中試探函數(shù)（插值函數(shù)）在有限元中稱(chēng)為形函數(shù)（shape

5、function），所以在得到后，就獲得了問(wèn)題的近似解，只是選定合適的形函數(shù)。例如，圖1.4由四個(gè)四邊形單元組成固體力學(xué)平面應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題，則由所有單元節(jié)點(diǎn)位移矢量所組成，簡(jiǎn)稱(chēng)位移矢量。所以問(wèn)題的單元集、節(jié)點(diǎn)集和位移矢量分別為在中，并不是所有參數(shù)是待定的。在本質(zhì)邊界上，節(jié)點(diǎn)的值是確定，在混合邊界上，節(jié)點(diǎn)的受到邊界條件方程的約束。例如固體力學(xué)問(wèn)題位移解法中，位移邊界上節(jié)點(diǎn)的位移值屬于已知，混合邊界上節(jié)點(diǎn)的位移受混合邊界條件方程約束。但是不管節(jié)點(diǎn)的值如何獲得，(3.1.5)的近似式仍然成立。所以在有限元方法對(duì)單元討論，暫時(shí)把看成待定參數(shù)集，只是在后面求界待定參數(shù)方程組時(shí)，把已知的參數(shù)和約束方程代入方

6、程組，從而減少方程組的數(shù)量，詳細(xì)討論見(jiàn)下章討論。3.1.3 單元形函數(shù)的基本要求在單元中，設(shè)有個(gè)節(jié)點(diǎn)。為了分析方便，節(jié)點(diǎn)的編號(hào)仍然采用1至，稱(chēng)之為局部編號(hào)以區(qū)別節(jié)點(diǎn)的整體編號(hào)。記第個(gè)單元局部節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題解在有限元法中采用以下假定：1） 單元內(nèi)的問(wèn)題解近似值只是該單元節(jié)點(diǎn)問(wèn)題解的值所決定，與其他單元問(wèn)題解的值無(wú)關(guān)。2） 問(wèn)題解的每個(gè)分量都采用相同的形函數(shù)。所以單元內(nèi)近似解的插值的矢量形式和分量形式為(3.1.6)其中為單元內(nèi)問(wèn)題解的第個(gè)分量，為單元的第個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)，是第個(gè)節(jié)點(diǎn)的的第個(gè)分量。以上插值顯然是Langrange插值法，只保證了近似解的階連續(xù)。如果要提高問(wèn)題解連續(xù)性階數(shù)，則需采用Herm

7、ite插值法，這時(shí)以上第一條假定得取消。為了保證問(wèn)題解的唯一性和單元之間問(wèn)題解的連續(xù)，（3.1.6）式形函數(shù)必須滿足以下性質(zhì)：2019181615151413121017115654321897圖1.5六面體20結(jié)點(diǎn)單元1）唯一性：在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上插值函數(shù)的值有 (3.1.7)2）連續(xù)性：?jiǎn)卧吔纾ɑ蚴菃卧妫蚴菃卧?，或是單元?jié)點(diǎn)）上的形函數(shù)值，除了此邊界上節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)外，其他節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)必須為0，即 (3.1.8)單元邊界可以是。例如圖1.5三維20節(jié)點(diǎn)的六面體單元，節(jié)點(diǎn)1、2、6和5圍成一個(gè)單元面，此面上的形函數(shù)值除了1、2、5、6、9、10、13和17節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)外，其他節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)必須

8、等于0；節(jié)點(diǎn)1、2組成的單元邊，此邊上的形函數(shù)值除了1、2和13節(jié)點(diǎn)外，其他節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)必須等于0。把此原則推廣到單元的節(jié)點(diǎn)上便得到以上第一條性質(zhì)。滿足(3.1.8)式也就滿足了單元與單元的交接邊界上，問(wèn)題解的插值是連續(xù)的。3） 常數(shù)性：如果單元上每個(gè)節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題解值相同，則此單元內(nèi)每個(gè)坐標(biāo)的問(wèn)題解值也相同，即：所以有： (3.1.9)常數(shù)性在固體力學(xué)中可解釋為保證單元的插值能反映剛體位移。以上三點(diǎn)性質(zhì)是選擇單元形函數(shù)的必要條件。例1.研究圖1.6所示平面問(wèn)題節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)。對(duì)于任意一點(diǎn)坐標(biāo)，節(jié)點(diǎn)1、2、3（按逆時(shí)針?lè)较颍┑男魏瘮?shù)分別取為 (3.1.10-1) (3.1.10-2) (3

9、.1.10-3)其中為三角形面積，含義見(jiàn)圖1.6。此3個(gè)節(jié)點(diǎn)的形函數(shù)滿足了以上提出的三點(diǎn)性質(zhì)要求，顯然它們都是坐標(biāo)的線性插值函數(shù)。3.1.4 建立待定參數(shù)計(jì)算方程因?yàn)橛邢拊ㄖ袉卧獌?nèi)的問(wèn)題解近似值只取決所在單元節(jié)點(diǎn)的問(wèn)題解值，與其他節(jié)點(diǎn)的解值無(wú)關(guān)，所以對(duì)于迦遼金法，其區(qū)域和邊界的等效積分()可以變成 (3.1.11)等效“弱”積分形式()變成 (3.1.12)同理，對(duì)于最小勢(shì)能原理(2)變成(3.1.13)其他幾種變分也可以化成對(duì)區(qū)域單元的積分和對(duì)邊界上單元邊界面的積分之和。對(duì)于導(dǎo)數(shù)不超過(guò)兩階的物理問(wèn)題，不管采用哪種形式建立的數(shù)值計(jì)算方程，最終可以得到(3.1.14)這樣形式的方程。如果是對(duì)于

10、固體力學(xué)問(wèn)題，為剛度矩陣，其中的系數(shù)由單元的材料參數(shù)（例如彈性力學(xué)中的與）、物理參數(shù)（例如板結(jié)構(gòu)中的板厚度）、形函數(shù)和形函數(shù)導(dǎo)數(shù)組合而成的代數(shù)式對(duì)單元的積分，而且是若干單元的積分和，即(3.1.15)而矢量的分量由單元的體力與形函數(shù)組合代數(shù)式的積分，應(yīng)力邊界上面力與形函數(shù)組合在單元面上的積分所合成，即(3.1.16)具體如何獲得，每個(gè)量代表什么物理意義將在下章討論。雖然形函數(shù)為一般的多項(xiàng)式，但是由于形函數(shù)形式很多，對(duì)不同的類(lèi)型、不同的結(jié)構(gòu)和材料（3.1.12）和（3.1.13）表達(dá)形式都有所不同，所以對(duì)它們的單元積分也是采用數(shù)值積分方法，并以高斯積分方法為多數(shù)。詳細(xì)剛度矩陣、力矢量、高斯積分、

11、位移與約束條件的解除、方程的求解等內(nèi)容將在后面章節(jié)中討論。§3.2 節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)密切相關(guān)的一個(gè)重要的概念是自由度，所謂自由度是問(wèn)題解的維數(shù)。自由度的多少也同時(shí)決定了邊界條件維數(shù)。在固體力學(xué)中，最多自由度可達(dá)6個(gè)，三個(gè)線位移和三個(gè)角位移，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力邊界條件是線力和力矩，一般結(jié)構(gòu)是以上6這個(gè)自由度的子集。例如平面應(yīng)力應(yīng)變結(jié)構(gòu)為；平板結(jié)構(gòu)為；三維實(shí)體結(jié)構(gòu)為；平面框架結(jié)構(gòu)為；三維框架結(jié)構(gòu)為全部6個(gè)等。當(dāng)然結(jié)構(gòu)不同建立的基本微分方程也不同，從而導(dǎo)致對(duì)應(yīng)單元的計(jì)算方法不同，例如梁?jiǎn)卧?、平面?yīng)力單元、三維實(shí)體單元等等。節(jié)點(diǎn)在有限元法中承載許多模型方面信息：1）表達(dá)位置的坐標(biāo)；2）連接單元；3）在它之

12、上施加邊界條件；4）放置數(shù)值分析的計(jì)算結(jié)果。前兩點(diǎn)表達(dá)了節(jié)點(diǎn)組成有限元網(wǎng)格的幾何信息，而后兩點(diǎn)表達(dá)了節(jié)點(diǎn)模型中的物理信息。有限元法在求解方程組例如方程式（3.1.13）前，必須把任何邊界條件簡(jiǎn)化成節(jié)點(diǎn)邊界條件。例如固體力學(xué)中，設(shè)某邊界屬于某邊界條件的幾何元素，則必須由有限而且完整的單元邊界去離散。如果是位移邊界，則離散后上的根據(jù)位移邊界條件方程在上獲得上任一節(jié)點(diǎn)的位移值，是節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如果是應(yīng)力邊界條件，則離散后把作用在上的作用力，按照靜力等效原則分配到節(jié)點(diǎn)上。如果是混合邊界條件，一些自由度方向（不一定是坐標(biāo)方向）按照位移邊界條件處理，留下的自由度方向按照應(yīng)力邊界處理。例2圖2.1a為一平面應(yīng)力問(wèn)

13、題的力學(xué)模型，幾何形狀為正方形。假如單元全部采用四節(jié)點(diǎn)的四邊形單元，并有限元網(wǎng)格時(shí)在垂直方向均勻劃分，則此問(wèn)題的有限元模型為圖2.1b。節(jié)點(diǎn)除了需要接受處理后的邊界條件外，還需要保存計(jì)算后的結(jié)果。例如在固體力學(xué)問(wèn)題，對(duì)于位移是未知的節(jié)點(diǎn)保存位移（假如是位移解），位移已知的節(jié)點(diǎn)保存支座反力。而混合邊界條件上部分自由度方向位移，其余保存支座反力。所以總結(jié)地講，對(duì)于固體力學(xué)，所有節(jié)點(diǎn)（不僅僅是區(qū)域邊界上的節(jié)點(diǎn)）需要保存的信息，作為已知條件，需要保存已知或已知作用力；作為計(jì)算結(jié)果保存位移或支座反力。這種思想理解為本質(zhì)邊界條件和自然邊界條件，也可以應(yīng)用到其他領(lǐng)域問(wèn)題的處理上。§3.3 單元及其

14、幾何分類(lèi)3.3.1 單元單元是有限單元的簡(jiǎn)稱(chēng)，單元是對(duì)問(wèn)題區(qū)域的幾何離散。在有限元計(jì)算過(guò)程中，在結(jié)構(gòu)（結(jié)構(gòu)決定了基本方程和邊界條件方程的形式）確定的情況下單元還需要包含幾何、材料參數(shù)、物理參數(shù)三方面的信息。在幾何上按照求解問(wèn)題物體形狀的幾何測(cè)度（幾何維），有限單元可分為一維、二維和三維單元。一維單元是對(duì)問(wèn)題可以抽象為一維幾何形狀物體的離散，例如工程中的桿件結(jié)構(gòu)、弦等；二維單元是對(duì)問(wèn)題可以抽象為二維幾何形狀物體的離散，例如平面問(wèn)題、薄板殼結(jié)構(gòu)等；同樣的三維單元是對(duì)三維幾何形狀物體的離散。其中三維問(wèn)題最有廣泛意義。除此之外，還有一些應(yīng)用領(lǐng)域特殊的單元，例如在固a.一維線性單元b.一維拋物線單元c.

15、一維三次拋物線單元圖3.1一維單元(a) (b) (c) (d) (e)(f) (g) (h) (i) (j)a 線性三角形單元b拋物線三角形單元c含中間結(jié)點(diǎn)的拋物線三角形單元d三階拋物線三角形單元e含中間結(jié)點(diǎn)三階拋物線三角形單元f線性四邊形單元 g拋物線四邊形單元 h含中間結(jié)點(diǎn)的拋物線四邊形單元i三階拋物線四邊形單元j含中間結(jié)點(diǎn)三階拋物線四邊形單元圖3.2二維單元(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)a 線性四面體單元b拋物線四面體單元c三次拋物線四面體單元d線性五面體單元e拋物線五面體單元f三次拋物線五面體單元g線性六面體單元h拋物線六面體單元i三次拋物線六面體單元圖3.4

16、三維單元體力學(xué)有限元方法中，存在質(zhì)點(diǎn)單元、剛體單元、彈簧單元、阻尼單元、粘彈性單元和偽單元等一些特殊的單元?；镜挠邢迒卧税凑諑缀螠y(cè)度分類(lèi)外，根據(jù)單元的插值函數(shù)多項(xiàng)式階數(shù)的需求，在單元的邊界線（見(jiàn)圖3.1）上，可以有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)、三個(gè)節(jié)點(diǎn)甚至四個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別稱(chēng)線性單元、拋物線單元和三次拋物線單元。邊界上的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量越多，插值函數(shù)多項(xiàng)式的階數(shù)也越高，問(wèn)題求解的精度也越高，但是求解問(wèn)題的未知數(shù)數(shù)量也隨之增加。對(duì)于特殊情況，除了單元邊界上存在節(jié)點(diǎn)外，單元內(nèi)部也可能存在節(jié)點(diǎn)（見(jiàn)圖3.2）。每一個(gè)單元必須選擇一種材料（一種材料可以有多個(gè)單元），在固體力學(xué)中，材料參數(shù)是根據(jù)材料本構(gòu)關(guān)系需要而確定需要什么參數(shù)

17、，與問(wèn)題結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。材料性質(zhì)可以分線彈性材料、彈塑性材料、蠕變材料等。不同材料有不同的材料選擇模式。對(duì)于各向異性材料需要輸入不同方向的材料參數(shù)。材料性質(zhì)是由材料參數(shù)表描述，材料的參數(shù)可以獨(dú)立與單元存在，可以在單元生成之前建立。c物理參數(shù)是對(duì)單元幾何特性的補(bǔ)充，例如二維單元的厚度、梁?jiǎn)卧獧M截面的性質(zhì)等。單元厚度是二維單元向第三個(gè)幾何方向的幾何補(bǔ)充，梁橫截面是一維單元向第二、第三個(gè)幾何方向的幾何補(bǔ)充。與材料特性一樣，物理參數(shù)也是單元計(jì)算中需要的參數(shù)，可以在網(wǎng)格生成前建立。但并不是所有單元都需要物理參數(shù)，是否需要取決求解的問(wèn)題結(jié)構(gòu)，對(duì)于平面應(yīng)變、板殼單元，需要參考單元厚度物理參數(shù)，對(duì)于梁?jiǎn)卧?，需要參?/p>

18、梁橫截面物理參數(shù)，而對(duì)于平面應(yīng)力、軸對(duì)稱(chēng)、三維等問(wèn)題，則不需要物理參數(shù)。3.3.2 單元幾何分類(lèi)一、一維基本有限單元在固體力學(xué)有限單元方法中，一維單元主要用來(lái)解決桿件與繩結(jié)構(gòu)問(wèn)題，像桁架、框架、網(wǎng)架和懸索等結(jié)構(gòu)，所以一維單元在土建工程中有著廣泛的應(yīng)用。一維線性單元、拋物線單元和三次拋物線單元（見(jiàn)圖3.1）。二、 二維基本有限單元二維基本有限單元分三角形和四邊形兩種基本幾何形狀，平面單元適應(yīng)平面問(wèn)題和空間曲面的幾何區(qū)域離散。在固體力學(xué)中，平面單元用在平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、軸對(duì)稱(chēng)、板殼等結(jié)構(gòu)等的有限元方法中。三角形和四邊形型單元又分線性單元、拋物線單元和三次拋物線單元（見(jiàn)圖3.2）。三、三維基本有限

19、單元三維基本有限單元分四面體、五面體和六面體三種基本幾何形狀，原則上講，三維有限基本單元內(nèi)部也可以有中間節(jié)點(diǎn)，但是使用情況比較少，在圖3.3中沒(méi)有繪出。圖3.3中把單元邊界都繪制成線性邊界，實(shí)際擬合是可以用曲線和曲面。三維單元適應(yīng)任何能夠適用有限元方法三維問(wèn)題的幾何區(qū)域離散問(wèn)題。3.3.3 單元的幾何協(xié)調(diào)條件單元是對(duì)求解問(wèn)題幾何區(qū)域的離散，離散后，問(wèn)題的幾何區(qū)域被單元的集合所替代。為了保持所求解狀態(tài)結(jié)果的連續(xù)性和一定的精度，單元的劃分并不是隨意的，必須滿足一定的幾何協(xié)調(diào)條件和形狀要求。顯然，單元的幾何性質(zhì)是由節(jié)點(diǎn)控制的，節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)解構(gòu)成了有限元的最終解。在生成的網(wǎng)格中，單元與節(jié)點(diǎn)必須保證協(xié)調(diào)性

20、：1 對(duì)于連續(xù)的區(qū)域，在離散后，單元與單元之間不能重疊，非邊界單元的單元邊界與另外單元的邊界公享，公享部分的單元邊界包括公享單元面、單元邊和單元節(jié)點(diǎn)；2 單元的形狀不能太奇形，理想的形狀是等邊和等角度的幾何形狀。§3.4 一維Lagrange插值法與Hermite插值法插值函數(shù)，即單元的形函數(shù)，常用的有Lagrange插值法和Hermite插值法兩種。Lagrange插值法只考慮問(wèn)題解的節(jié)點(diǎn)值，只保證了近似解的階連續(xù)；而Hermite插值法在考慮問(wèn)題解的節(jié)點(diǎn)值時(shí)，同時(shí)考慮階導(dǎo)數(shù)值，所以達(dá)到了近似解的階連續(xù)，稱(chēng)為階Hermite插值。顯然Lagrange插值是屬于0階Hermite插值

21、。在有限元的一般系統(tǒng)中，為防止計(jì)算規(guī)模的急劇增加和插值函數(shù)過(guò)于復(fù)雜，大都采用Lagrange插值法。如果問(wèn)題解的本身需要考慮的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，常常其導(dǎo)數(shù)也作為問(wèn)題解的維。固體力學(xué)中的梁板結(jié)構(gòu)，把轉(zhuǎn)角也作為問(wèn)題解的維。例如空間梁結(jié)構(gòu)同時(shí)考慮了和三個(gè)角位移；平板結(jié)構(gòu)考慮了等。下面僅以一維單元圖示說(shuō)明兩種插值方法的區(qū)別，詳細(xì)討論請(qǐng)參考有關(guān)有限元書(shū)籍。對(duì)于一維單元，從圖4.1可以看出，Lagrange插值法就是簡(jiǎn)單的線性插值和拋物線，單元內(nèi)問(wèn)題的近似解可以寫(xiě)成()形式。Lagrange插值法的特點(diǎn)是形函數(shù)的數(shù)量與節(jié)點(diǎn)的數(shù)量相同，問(wèn)題解整個(gè)離散區(qū)域保持階連續(xù)，即在單元連接處只是連續(xù)但不可導(dǎo)。一階Hermit

22、e插值法可以寫(xiě)成 ()或 ()Hermite多項(xiàng)式具有以下性質(zhì) ()一階Hermite插值形函數(shù)具有三階多項(xiàng)式。而二階Hermite插值形函數(shù)具有五階多項(xiàng)式，形式可以寫(xiě)成 ()Hermite插值法不但形函數(shù)的階數(shù)高，而且形函數(shù)的數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量也不同。§3.5 等參單元所謂等參單元就是單元形函數(shù)的數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量一致，而且同一類(lèi)單元（例如面單元的8節(jié)點(diǎn)四邊形單元），則采用相同的形函數(shù)，單元的幾何形狀采用等參變換。例如上面例舉的三節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)是以面積比（）為參數(shù)的等參單元，與具體的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。等參單元屬于Lagrange插值法，所以它符合小節(jié)提出的形函數(shù)三點(diǎn)基本要求。3.5.1

23、 坐標(biāo)變換對(duì)單元的形函數(shù)，不是取整體坐標(biāo)的函數(shù)，而是統(tǒng)一取局部等參數(shù)坐標(biāo)的函數(shù)，即 ()避免了因坐標(biāo)不同而形函數(shù)不同的困難。局部參數(shù)坐標(biāo)更多的是采用正則坐標(biāo)，其含義可見(jiàn)圖5.1，面積參數(shù)坐標(biāo)一般用在三角形單元和四面體單元上。在單元的局部參數(shù)坐標(biāo)上，問(wèn)題解可表達(dá)為 ()整體坐標(biāo)與局部等參數(shù)坐標(biāo)的變換關(guān)系為 ()3.5.2 導(dǎo)數(shù)變換對(duì)可表示成 ()根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可以寫(xiě)出其他兩局部參數(shù)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，并寫(xiě)成矩陣形式 () 式中為Jacobi矩陣，記為，利用()可以計(jì)算出Jacobi矩陣。求(3.5.5)逆得 ()3.5.3 積分變換在形成近似解的計(jì)算方程時(shí)，常常用到對(duì)單元體的體積分、單元面的面積

24、分和單元邊的邊積分。例如固體力學(xué)中的單元?jiǎng)偠染仃囅禂?shù)是由單元體積分形成（見(jiàn)3.1.4式），右端的力矢量元素由單元體力的體積分、單元面上面分布力的面積分和單元邊上線分布力的線積分形成（見(jiàn)3.1.5式）。對(duì)于單元體局部參數(shù)坐標(biāo)的體積微元()而局部參數(shù)坐標(biāo)矢量微分()所以()對(duì)單元面積分，取某參數(shù)坐標(biāo)為常數(shù)，例如在面上面微元為 ()把()的第二和第三子式代入可計(jì)算得 (1)對(duì)于單元邊積分，取兩參數(shù)坐標(biāo)為常數(shù)，例如在邊上 ()把()的第三子式代入可計(jì)算得 ()有了以上的單元體、面和邊積分變換，可以把對(duì)整體坐標(biāo)的積分變換成局部參數(shù)坐標(biāo)的積分 () () ()以上推導(dǎo)是建立在三維坐標(biāo)系之上，如果是二維、一

25、維問(wèn)題，以上公式需要進(jìn)行退化處理，例如二維問(wèn)題Jacobi矩陣為 ()對(duì)() 、(3.5.16) 和(3.5.17)這樣的數(shù)值積分，雖然許多領(lǐng)域問(wèn)題的被積函數(shù)也可常常寫(xiě)出其解析形式，但是因?yàn)閱卧问胶皖I(lǐng)域問(wèn)題的多樣性，加上數(shù)值積分仍然能保持極高的精度，所以對(duì)這些積分也采用數(shù)值解，一般采用高斯積分法。具體計(jì)算方法請(qǐng)參考有關(guān)有限元書(shū)籍。§3.6 等參單元形函數(shù)的構(gòu)造技巧前面講了等參單元的坐標(biāo)變換、形函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解和積分計(jì)算，但是還沒(méi)有構(gòu)造出等參單元的形函數(shù)。等參單元的形函數(shù)需要一定技巧，非常有規(guī)律，很容易掌握。3.6.1 三節(jié)點(diǎn)三角形等參單元的形函數(shù)圖6.1所示，對(duì)于節(jié)點(diǎn)1，有單元邊沒(méi)有通過(guò)它，所以取