第14講彎曲正應(yīng)力

1、第14講 教學方案彎曲正應(yīng)力基本內(nèi)容梁純彎曲和橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力。教學目的1、 掌握梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)過程，理解推導(dǎo)中所作的基本假設(shè)。2、 理解橫力彎曲正應(yīng)力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。3、 掌握中性層、中性軸和翹曲等基本概念和含義。重點、難點本節(jié)重點：純彎曲時橫截面上正應(yīng)力公式的推導(dǎo)和計算。本節(jié)難點：橫力彎曲正應(yīng)力計算仍用純彎曲公式的條件和近似程度。第五章 彎曲應(yīng)力§5-1純彎曲正應(yīng)力梁的橫截面上同時存在剪力和彎矩時，這種彎曲稱為橫彎曲。剪力Q是橫截面切向分布內(nèi)力的合力；彎矩M是橫截面法向分布內(nèi)力的合力偶矩。所以橫彎梁橫截面上將同時存在剪應(yīng)力和正

2、應(yīng)力。實踐和理論都證明，其中彎矩是影響梁的強度和變形的主要因素。因此，我們先討論Q = 0，M = 常數(shù)的彎曲問題，這種彎曲稱為純彎曲。圖6-1所示梁的CD段為純彎曲；其余部分則為橫彎曲。與扭轉(zhuǎn)相似，分析純彎梁橫截面上的正應(yīng)力，同樣需要綜合考慮變形、物理和靜力三方面的關(guān)系。1變形關(guān)系平面假設(shè)考察等截面直梁。加載前在梁表面上畫上與軸線垂直的橫線，和與軸線平行的縱線，如圖6-2a所示。然后在梁的兩端縱向?qū)ΨQ面內(nèi)施加一對力偶，使梁發(fā)生彎曲變形，如圖圖6-2b所示?？梢园l(fā)現(xiàn)梁表面變形具有如下特征：（1）橫線（m-m和n-n）仍是曲線，只是發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，但仍與縱線（如a-a，b-b）正交。（2）縱線（a

3、-a和b-b）彎曲成曲線，且梁的一側(cè)伸長，另一側(cè)縮短。根據(jù)上述梁表面變形的特征，可以作出以下假設(shè)：梁變形后，其橫截面仍保持平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著梁上某一軸轉(zhuǎn)過一個角度。與扭轉(zhuǎn)時相同，這一假設(shè)也稱平面假設(shè)。此外，還假設(shè)：梁的各縱向?qū)踊ゲ粩D壓，即梁的縱截面上無正應(yīng)力作用。根據(jù)上述假設(shè)，梁彎曲后，其縱向?qū)右徊糠之a(chǎn)生伸長變形，另一部分則產(chǎn)生縮短變形，二者交界處存在既不伸長也不縮短的一層，這一層稱為中性層。如圖6-3所示。中性層與橫截面的交線為截面的中性軸。橫截面上位于中性軸兩側(cè)的各點分別承受拉應(yīng)力或壓應(yīng)力；中性軸上各點的應(yīng)力為零。下面根據(jù)平面假設(shè)找出縱向線應(yīng)變沿截面高度的變化規(guī)律?？疾?/p>

4、梁上相距為dx的微段（圖6-4a），其變形如圖6-4b所示。其中x軸沿梁的軸線，y軸與橫截面的對稱軸重合，z軸為中性軸。則距中性軸為y處的縱向?qū)觓-a彎曲后的長度為，其縱向正應(yīng)變?yōu)?（a）式（a）表明：純彎曲時梁橫截面上各點的縱向線應(yīng)變沿截面高度線性分布。2物理關(guān)系根據(jù)以上分析，梁橫截面上各點只受正應(yīng)力作用。再考慮到縱向?qū)又g互不擠壓的假設(shè)，所以純彎梁各點處于單向應(yīng)力狀態(tài)。對于線彈性材料，根據(jù)胡克定律于是有 （b）式中、均為常數(shù)，上式表明：純彎梁橫截面上任一點處的正應(yīng)力與該點到中性軸的垂直距離y成正比。即正應(yīng)力沿著截面高度按線性分布，如圖6-4d所示。式（b）還不能直接用以計算應(yīng)力，因為中性層

5、的曲率半徑 以及中性軸的位置尚未確定。這要利用靜力關(guān)系來解決。3靜力關(guān)系彎矩M作用在x-y平面內(nèi)。截面上坐標為y、z的微面積dA上有作用力。橫截面上所有微面積上的這些力將組成軸力N以及對y、z軸的力矩My和Mz： （c） （d） （e）在純彎情況下，梁橫截面上只有彎矩，而軸力 和 皆為零。將式（b）代入式（c），因為 ，故有其中 稱為截面對z軸的靜矩。因為，故有。這表明中性軸z通過截面形心。將式（b）代入式（d），有其中稱為截面對y、z軸的慣性積。使的一對互相垂直的軸稱為主軸。由于y軸為橫截面的對稱軸，對稱軸必為主軸，而z軸又通過橫截面形心，所以y、z軸為形心主軸。將式（b）代入式（e），有得

6、到 （6-1）其中 稱為截面對z軸的慣性矩；稱為截面的抗彎剛度。式（6-1）表明，梁彎曲的曲率與彎矩成正比，而與抗彎剛度成反比。將式（6-1）代入（b），得到純彎情況下的正應(yīng)力計算公式 （6-2）上式中正應(yīng)力的正負號與彎矩 及點的坐標y的正負號有關(guān)。實際計算中，可根據(jù)截面上彎矩的方向，直接判斷中性軸的哪一側(cè)產(chǎn)生拉應(yīng)力，哪一側(cè)產(chǎn)生壓應(yīng)力，而不必計及和y的正負。§5-2 橫彎曲正應(yīng)力梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有剪應(yīng)力。由于存在剪應(yīng)力，橫截面不再保持平面，而發(fā)生“翹曲”現(xiàn)象。進一步的分析表明，對于細長梁（例如矩形截面梁，為梁長，為截面高度），剪應(yīng)力對正應(yīng)力和彎曲變形的影響很小，可以忽略不計，式（6-1）和（6-2）仍然適用。當然式（6-1）和（6-2）只適用于材料在線彈性范圍，并且要求外力滿足平面彎曲的加力條件：對于橫截面具有對稱軸的梁，只要外力作用在對稱平面內(nèi)，梁便產(chǎn)生平面彎曲；對于橫截面無對稱軸的梁，只要外力作用在形心主軸平