qc七大手法_直方圖(Histogram)

1、 第八章 直方圖 115第八章 直方圖(Histogram)一、前 言 現(xiàn)場工作人員經(jīng)常都要面對許多的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)均來自于生產(chǎn)過程中抽樣或檢查所得的某項產(chǎn)品的質(zhì)量特性。如果我們應(yīng)用統(tǒng)計繪圖的方法，將這些數(shù)據(jù)加以整理，則生產(chǎn)過程中的質(zhì)量散布的情形與問題點所在與過程、能力等，均可呈現(xiàn)在我們的眼前；我們即可利用這些信息來掌握問題點以采取改善對策。通常在生產(chǎn)現(xiàn)場最常利用的圖表即為直方圖。二、直方圖的定義什么是直方圖：即使諸如長度、重量、硬度、時間等計量值的數(shù)值分配情形能容易地看出的圖形。直方圖是將所收集的測定值特性值或結(jié)果值，分為幾個相等的區(qū)間作為橫軸，并將各區(qū)間所測定值依所出現(xiàn)的次數(shù)累積而成的面積

2、，用柱子排起來的圖形。因此，也叫做柱狀圖。使用直方圖的目的：了解分配的形態(tài)。研究制程能力或計算制程能力。過程分析與控制。觀察數(shù)據(jù)的真?zhèn)?。計算產(chǎn)品的不合格率。求分配的平均值與標準差。用以制定規(guī)格界限。與規(guī)格或標準值比較。調(diào)查是否混入兩個以上的不同群體。了解設(shè)計控制是否合乎過程控制。116 品管七大手法3.解釋名詞：次數(shù)分配將許多的復雜數(shù)據(jù)按其差異的大小分成若干組，在各組填入測定值的出現(xiàn)次數(shù)，即為次數(shù)分配。相對次數(shù)在各組出現(xiàn)的次數(shù)除以全部的次數(shù)，即為相對次數(shù)。累積次數(shù)(f)自次數(shù)分配的測定值較小的一端將其次數(shù)累積計算，即為累積次數(shù)。極差(R)在所有數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差，即為極差。組距(h)極差

3、/組數(shù)=組距算數(shù)平均數(shù)(X)=X=X1+X2+ +Xnn數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)總數(shù)，通常一X（X-bar）表示。X=SfnX0+h中位數(shù)(X)將數(shù)據(jù)由大至小按順序排列，居于中央的數(shù)據(jù)為中位數(shù)。若遇偶位數(shù)時，則取中間兩數(shù)據(jù)的平均值。各組中點的簡化值()= , Xi - X0組距(h)X0=次數(shù)最多一組的組中點Xi=各組組中點眾數(shù)(M)次數(shù)分配中出現(xiàn)次數(shù)最多組的值。第八章 直方圖 117例：不合格數(shù)35791011次 數(shù)111518241316次數(shù)最多為24，不合格數(shù)是9，故眾數(shù)為9。組中點(m)一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的平均值，（上組界+下組界）÷ 2=組中點標準差（）s=n-1 = h&

4、#215;=0 = h×樣本標準差(S)三、直方圖的制作直方圖的制作方法步驟1：收集數(shù)據(jù)并記錄收集數(shù)據(jù)時，對于抽樣分布必須特別注意，不可取部分樣品，應(yīng)全部均勻地加以隨機抽樣。所收集的數(shù)據(jù)個數(shù)應(yīng)大于50以上。118 品管七大手法例:某廠成品尺寸規(guī)格為130至160mm，今按隨機抽樣方式抽取60個樣本，其測定值如附表，試制作直方圖。1381391441311401451341351371361421401381271301411361341321311481411391381361351371321301311451381361371281311331341351391401381371

5、37138136134121135136141139137133132131132129134135步驟2：找出數(shù)據(jù)中的最大值(L)與最小值(S)先從各行（或列）求出最大值，最小值，再予比較。最大值用“”框起來，最小值用“”框起來EX:No.1No.2No.3No.4No.5No.613813914413114014513413513713614214013812713014113613413213114814113913813613513713213013114513813613712813113313413513914013813713713813613412113513614113913

6、7133132131132129134135得知：No.1No.2No.3No.4No.5No.6L1=145L2=142L3=148L4=145L5=140L6=141S1=131S2=127S3=130S4=128S5=121S6=129求得L=148 S=121第八章 直方圖 119步驟3：求極差(R)數(shù)據(jù)最大值(L)減最小值(S)=極差(R)例：R=148-121=27步驟4：決定組數(shù) 組數(shù)過少，雖然可得到相當簡單的表格，卻失去次數(shù)分配的本質(zhì)與意義；組數(shù)過多，雖然表格詳盡，但無法達到簡化的目的。通常，應(yīng)先將異常值剔除再進行分組。 一般可用數(shù)學家史特吉斯(Sturges)提出的公式，根據(jù)

7、測定次數(shù)n來計算組數(shù)k，公式為：k=1+3.32 log n例：n=60 則k=1+3.32 log 60=1+3.32(1.78)=6.9即約可分為6組或7組 一般對數(shù)據(jù)的分組可參照下表：數(shù)據(jù)數(shù)組 數(shù)5057511006101012507122501020例：取7組277Rk步驟5：求組距(h)組距=極差÷組數(shù)(h= )為便于計算平均數(shù)與標準差，組距常取為2，5或10的倍數(shù)。例：h= =3.86，組距取4步驟6：求各組上限，下限(由小而大順序)最小測量單位2第一組下限=最小值120 品管七大手法第一組上限=第一組下限+組界第二組下限=第一組上限最小測定單位整數(shù)位的最小測量單位為0.

8、1小數(shù)點1位的最小測量單位為0.1小數(shù)點2位的最小測量單位為0.01最小數(shù)應(yīng)在最小一組，最大數(shù)應(yīng)在最大一組；若有數(shù)字小于最小一組下限或大于最大一組上限值時，應(yīng)自動加一組。例：第一組=121-1/2=120.6124.5第二組=124.5128.5第三組=128.5132.5第四組=132.5136.5第五組=136.5140.5第六組=140.5144.5第七組=144.5148.5步驟7：求組中點該組上限+該組下限2組中點(值)=例：第一組=(120.5+124.5)÷2=122.5第二組=(124.5+128.5)÷2=126.5第三組=(128.5+132.5)

9、47;2=130.5第四組=(132.5+136.5)÷2=134.5第五組=(136.5+140.5)÷2=138.5第六組=(140.5+144.5)÷2=142.5第七組=(144.5+148.5)÷2=146.5第八章 直方圖 121步驟8：作次數(shù)分配表將所有數(shù)據(jù)，按其數(shù)值大小記在各組的組界，并計算其次數(shù)。將次數(shù)相加，并與測定值的個數(shù)相比較；表示的次數(shù)總和應(yīng)與測定值的總數(shù)一樣。次數(shù)分配表組號組 界組中點劃 記次數(shù)f2f1234567120.5124.5124.5128.5128.5132.5132.5136.5136.5140.5140.5144

10、.5144.5148.5122.5126.5130.5134.5138.5142.5146.51212181953-4-3-2-10+1+2-4-6-24-180+5+6161848180512合 計60f=-7f =-412f=1172f（f）2 / n 117（-41）2 / 60= h * - = 4 * - = 4.871 n 602f（f）2 / n117（-41）2 / 60S = h * - = 4 *- = 4.91n 1 60 1步驟9：制作直方圖將次數(shù)分配表圖表化，以橫軸表示數(shù)值的變化，縱軸表示次數(shù)。橫軸與縱軸各取適當?shù)膯挝婚L度。再將各組的組界分別標在橫軸上，各組界應(yīng)為等距

11、分布。以各組的次數(shù)為高，組距為寬；在每一組上畫成矩形，則完成直方圖。在圖的右上角記入相關(guān)數(shù)據(jù)履歷（數(shù)據(jù)總數(shù)n，平均值x，標準差），并劃出規(guī)格的上、下限。填入必要事項：產(chǎn)品名稱、工序名稱、時間、制作日期、制作者。2015105SL=130S=160n=60=135.8=4.87s =n-1=4.91120.5 124.5 128.5 132.5 136.5 140.5 144.5 148.5122 品管七大手法說明：1.分組后再計算的，s為近似值2.如直接以原始數(shù)據(jù)60個，依公式計算，可得真值。n=60 =135.8=4.87 s =4.722.用計算機計算統(tǒng)計量若手邊有函數(shù)型計算機，可使用次數(shù)

12、分配表中，輸入組中點與次數(shù)，迅速求得各統(tǒng)計量n,與s。如目前使用最普遍的CASIO fx-3600PV,其計算步驟如下：按 鍵 功 能 說 明 熒幕顯示MODE 3SHIFT KAC122.5×1 DATA136.5×2 DATA130.5×12 DATA134.5×18 DATA138.5×19 DATA142.5×5 DATA146.5×3 DATAKOUT 3SHIFT xSHIFT xnSHIFT xn-1KONT 2KNOT 1進入統(tǒng)計計算系統(tǒng)清除記憶輸入組中點與次數(shù)數(shù)據(jù) " " "

13、" " "輸出統(tǒng)計量n " X " " s " X " X2SD0122.5126.5130.5134.5138.5142.5146.560135.7664.8714.91281461107379第八章 直方圖 1233.常見的直方圖形態(tài)正常型說明：中間高，兩邊低，有集中趨勢。結(jié)論：左右對稱分布（正態(tài)分配），顯示過程運轉(zhuǎn)正常。缺齒型（凸凹不平型）說明：高低不一，有缺齒情形。不正常的分配，由于測定值或換算方法有偏差，次數(shù)分配不妥當所形成。結(jié)論：檢驗員對測定值有偏好現(xiàn)象，如對5，10之數(shù)字偏好；或是假造數(shù)據(jù)。測量儀器不

14、精密或組數(shù)的寬度不是倍數(shù)時，也有此情況。切邊型（斷裂型）說明：有一端被切斷。結(jié)論：原因為數(shù)據(jù)經(jīng)過全檢，或過程本身經(jīng)過全檢，會出現(xiàn)的形狀。若剔除某規(guī)格以上時，則切邊在靠近右邊形成。124 品管七大手法離島型說明：在右端或左端形成小島。結(jié)論：測量有錯誤，工序調(diào)節(jié)錯誤或使用不同原料所引起。一定有異常原因存在，只要去除，就可滿足過程要求，生產(chǎn)出符合規(guī)格的產(chǎn)品。高原型說明:形狀似高原狀。結(jié)論:不同平均值的分配混在一起，應(yīng)分層后再做直方圖比較。雙峰型說明：有兩個高峰出現(xiàn)。結(jié)論：有兩種分配相混合，例如兩臺機器或兩家不同供應(yīng)商，第八章 直方圖 125有差異時，會出現(xiàn)這種形狀，因測量值不同的原因影響，應(yīng)先分層后

15、再作直方圖。偏態(tài)型（偏態(tài)分配）說 明：高處偏向一邊，另一邊低，拖長尾巴?？煞制倚?、偏左型。偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值時，所出現(xiàn)的形狀。偏左型：例如，成分含有高純度的含有率等，不能取到某值以上的值時，就會出現(xiàn)的形狀。結(jié) 論：尾巴拖長時，應(yīng)檢查是否在技術(shù)上能夠接受，工具磨損或松動時，也有此種現(xiàn)象發(fā)生。4.直方圖使用的注意事項異常值應(yīng)去除后再分組。從樣本測量值推測群體形態(tài)，直方圖是最簡單有效的方法。應(yīng)取得詳細的數(shù)據(jù)資料（例如：時間、原料、測量者、設(shè)備、環(huán)境條件等）。126 品管七大手法進行過程管理與分析改善時，可利用層別方法，將更容易找出問題的癥結(jié)點，對于質(zhì)量的改善，有

16、事半功倍的效果。四、直方圖的應(yīng)用計算過程能力，作為改善制程的依據(jù)從過程中所收集的數(shù)據(jù)，經(jīng)整理成為次數(shù)分配表，再繪成直方圖后，就可由其集中或分散的情形來看出過程的好壞。直方圖的重點在于平均值（X），經(jīng)整理后的分配如為正態(tài)分配，則自拐點中引起一橫軸的平行線，可得到表現(xiàn)差異性的標準差（）。良好的過程，平均數(shù)應(yīng)接近規(guī)格中心，標準差則越小越好。計算產(chǎn)品不合格率質(zhì)量改善循環(huán)活動中，常需計算改善活動前、中、后的不合格率，用以比較有無改善效果。其不合格率可直接從次數(shù)分配表中求得；也可從直方圖中計算出來。504030201081215203040503830282010629303132333435363738

17、39404142SLSU例如，某產(chǎn)品的重量直方圖如圖圖示，其規(guī)格為35±3(g)。由圖與規(guī)格界限比較,可知在規(guī)格下限以下的有35件,超出規(guī)格上限的有64件,合計有99件,占總數(shù)307件的32.25%,即不合格率為32.25%.觀察分配形態(tài)(參閱第三.3節(jié))由直方圖的形狀，得知過程是否異常。用以制定規(guī)格界限在未訂出規(guī)格界限之前，可依據(jù)所收集編成的次數(shù)分配表，計算 次數(shù)分配是否為正態(tài)分配；如為正態(tài)分配時，則可根據(jù)計算得到第八章 直方圖 127的平均數(shù)與標準差來訂出規(guī)格界限。一般而言，平均數(shù)減去3個標準差得規(guī)格下限，平均數(shù)加上3個標準差則得規(guī)格上限；或按實際需要而制定。與規(guī)格或標準值比較要

18、了解過程能力的好壞，必須與規(guī)格或標準值比較；一般而言，我們希望過程能力（直方圖）在規(guī)格界限，且最好過程的平均值與規(guī)格的中心相一致。滿足規(guī)格(a) 理想型下限上限規(guī)格制品范圍過程能力在規(guī)格界限，且平均值與規(guī)格中心一致，平均數(shù)加減4倍標準差為規(guī)格界限。過程稍有變大或變小都不會超過規(guī)格值，是一種最理想的直方圖。表示產(chǎn)品良好，能力足夠。(b)一側(cè)無余地下限上限規(guī)格制品范圍產(chǎn)品偏一邊，則另一邊還有很多余地，若過程再變大（或變小）很可能會有不合格發(fā)生，必需設(shè)法使產(chǎn)品中心值與規(guī)格中心值吻合才好。128 品管七大手法(c)兩側(cè)無余地產(chǎn)品的最大值與最小值均在規(guī)格，但都在規(guī)格上下限兩端，也表示其中心值與規(guī)格中心值

19、吻合，雖沒有不合格品發(fā)生，但若過程稍有變動，就會有不合格品產(chǎn)生的危險，要設(shè)法提高產(chǎn)品的精度才好。下限上限規(guī)格制品范圍(d)余地太多下限上限規(guī)格制品范圍實際制程在規(guī)格界限，但兩邊距規(guī)格界限太遠。亦即產(chǎn)品質(zhì)量均勻，變異小。如果此種情形是因增加成本而得到，對公司而言并非好現(xiàn)象，故可考慮縮小規(guī)格界限或放松質(zhì)量變異，以降低成本、減少浪費。不滿足規(guī)格(a)平均值偏左（或偏右）如果平均值偏向規(guī)格下限并伸展至規(guī)格下限左邊，或偏向規(guī)格上限并伸展至規(guī)格上限的右邊，但產(chǎn)品呈正態(tài)分配，即表示平均位置有偏差，應(yīng)針對固定的設(shè)備、機器、原料等方向去追查。第八章 直方圖 129SLSUSLSU(b)離散度過大下限上限規(guī)格制品

20、范圍實際產(chǎn)品的最大值與最小值均超過規(guī)格值，有不合格品發(fā)生（斜線部分），表示標準太大，過程能力不足，應(yīng)針對變動的人員、方法等方向去追查，要設(shè)法使產(chǎn)品的變異縮??；或是規(guī)格訂得太嚴，應(yīng)放寬規(guī)格。(c)完全在規(guī)格外規(guī)格制品范圍表示產(chǎn)品的生產(chǎn)完全沒有依照規(guī)格去考慮；或規(guī)格訂得不合理,根本無法達到規(guī)格。調(diào)查是否混入兩個以上不同群體如果直方圖呈現(xiàn)雙峰形態(tài)，可能混合了兩種不同群體，亦即過程為兩種不同群體，比如兩個不同班級、不同生產(chǎn)線、不同材料、不同操作人員、不同機臺等。生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混合在一起。此時，130 品管七大手法需將其分層，將不同班級、生產(chǎn)線、材料、操作人員、機臺、制造出來的產(chǎn)品分開堆放，以便趁早找出

21、造成不合格的原因。研判設(shè)計時的控制界限可否用于過程控制計量值控制圖如XR控制圖，當未知，以X作為中心線，X + A2R作為控制上限，X-A2R作為控制下限，做為設(shè)計的控制界限。當每天計算的結(jié)果（X，R）點繪在設(shè)計控制界限，若未呈現(xiàn)任何規(guī)則，一般即可將此設(shè)計控制界限延伸為實際的過程控制界限。但是，如果產(chǎn)品本身有規(guī)格界限時，應(yīng)將所收集的數(shù)據(jù)，作次數(shù)分配表，并繪成直方圖；此直方圖如在規(guī)格界限，才可將此控制界限作為控制過程用。五、過程能力過程精密度CP(Capability of Precision)的求法：(a)雙邊規(guī)格（上限規(guī)格)（下限規(guī)格）6X（標準偏差）SU-SL6ST6SCP=T=SU-SL

22、標準差X第八章 直方圖 131(b)單邊規(guī)格（i）上限規(guī)格SU-X3S（上限規(guī)格)（平均值）3X（標準偏差）CP=（ii）X- SL3S（平均值)（下限規(guī)格）3X（標準偏差）CP=No.CP分布與規(guī)格的關(guān)系過程能力判斷處 置1CP1.67 SL SU太 佳過程能力太好，可酌情縮小規(guī)格，或考慮簡化管理與降低成本。ss21.67>CP1.33SL SU合 格理想狀態(tài)，繼續(xù)維持。s31.33>CP1.00 SL SU警 告使過程保持于控制狀態(tài)，否則產(chǎn)品隨時有發(fā)生不合格品的危險，需注意。s41.00>CP0.67 SL SU不 足產(chǎn)品有不合格品產(chǎn)生，需作全數(shù)檢驗，過程有妥善管理與改善

23、的必要。s50.67>CP SL SU非常不足應(yīng)采取緊急措施，改善質(zhì)量并追究原因，必要時規(guī)格再作檢驗。132 品管七大手法2.制程精密度(CP值)與不合格率的關(guān)系-+制程精密度（CP值）與不合格率的關(guān)系CP規(guī)格公差（T）不合格率（規(guī)格以外比率）單邊規(guī)格雙邊規(guī)格0.332(±1)15.87%31.74%-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +668.26%95.46%99.73%99.9937%99.999943%99.9999998%0.574(±2)2.27%4.54%1.006(±3)0.14%0.27%1.338(

24、77;4)31.5 PPM63 PPM1.669.6(±4.8)0.81 PPM1.62 PPM1.7610.4(±5.3)0.06 PPM0.12 PPM注：1.Ca值等于0時CP=CPk2.PPMParts Per Million3. PPBParts Per Billion2.0012.0(±6)1.0 PPB2.0 PPB六、實例演練案例1：某公司分別在兩廠（A，B）生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品；最近，兩地均發(fā)現(xiàn)有不符規(guī)格值(200275g)的異常產(chǎn)品產(chǎn)生，今公司派員分別到兩廠去實地了解生產(chǎn)過程，并分別測定60批產(chǎn)品，數(shù)據(jù)如附表；請分析并回答下列問題：作全部數(shù)據(jù)的直方圖

25、。針對兩廠分別做層別直方圖。計算全部數(shù)據(jù)，A廠、B廠的平均(X)，標準差()與過程精密度(CP)。直方圖上填入必要事項。敘述由直方圖所得的結(jié)果。第八章 直方圖 133A 廠B 廠2152382452502212592602552462382112232382312492512472031982432572602332102172602632732192412102052432372342292132312092432002562712602512372422222212012452742532382272042372332402452372432502212312482512112012602

26、61242231250261273189221241250261270229231239241201196184221237250247260263264241239227249255261270231223219215241223247258229217210201257263257253205B廠最大值273最小值184A廠最大值274最小值198解：(1)全部數(shù)據(jù)的最大值：274，最小值：184組數(shù)(k) = 1+3.32log n = 1+3.32log120 = 1+3.32(2.08) = 7.9取8組組距 = (274-184)/8 = 11.2512最小一組的下限 = 1841

27、/2 = 183.5作次數(shù)分配表No.組 界組中點全 體A 廠B 廠劃 記次數(shù)劃 記次數(shù)劃 記次數(shù)12345678183.5195.5195.5207.5207.5219.5219.5231.5231.5243.5243.5255.5255.5267.5267.5279.5189.5201.5213.5225.5237.5249.5261.5273.521113202622206688161183255121011123合 計1206060134 品管七大手法302010189.5201.5213.5237.5249.5261.5273.5225.5SL=200SU=275Xn=120x=23

28、6.8=20.74s=20.83直方圖（全數(shù)）(2)針對A、B廠的層別直方圖249.52015105SL=200SU=275Xn=60x=236.3=19.80s=19.97201.5226.5213.5273.5237.5261.5237.52015105SL=200SU=275Xn=60x=237.3=21.63s=21.81189.5213.5201.5261.5225.5249.5273.5 A廠直方圖 B廠直方圖(3)全數(shù)，A廠、B廠的平均值(X)，標準差()與過程精密度(CP)(a)全數(shù)數(shù)據(jù)中心值X次數(shù)ff2f12345678189.5201.5213.5225.5237.5249

29、.5261.5273.521113202622206-4-3-2-10123-8-33-26-200224018329952200228054f=120f=-72f=359第八章 直方圖 135平均數(shù) 樣本標準差工序能力指數(shù)(b)A廠數(shù)據(jù)中心值X次數(shù)f12345678189.5201.5213.5225.5237.5249.5261.5273.50688161183-4-3-2-101230-18-16-80111690543280113227 平均值 樣本標準差工序能力指數(shù)科建顧問136 品管七大手法(c)B廠數(shù)據(jù)中心值X次數(shù)f12345678189.5201.5213.5225.5237.

30、5249.5261.5273.5255121011123-3-2-101234-6-10-5010223612182050104410848平均數(shù)樣本標準差 工序能力指數(shù) (4)將n， ，s，規(guī)格上下界限，平均數(shù)，記入直方圖。第八章 直方圖 137 (5)項 目全 體A廠B廠 S Cp =236.8 S =20.76 Cp=0.60 =236.3 =19.97 =0.626 =237.3 =21.81 =0.573形 狀1. 稍為偏左2. 分散程度過大1.稍為偏左2.分散程度過大1.稍為偏左2.分散程度過大與規(guī)格比較分布中心與規(guī)格中心相較,稍為偏左,且出現(xiàn)不良品,超出規(guī)格下限。(同左)(同左)

31、綜合評斷1. A廠、B廠均發(fā)生超出規(guī)格下限的情形，有必要加以改善，使平均值右移至規(guī)格中心。2. 兩廠之過程變差甚大，均有不良品發(fā)生，需做全數(shù)檢驗，過程必須妥善管理與改善。138 品管七大手法案例2: 某國校五年乙班學生之身高、體重，做抽樣調(diào)查。 期望目標:身高125150 體重: 2540kg,其結(jié)果如下:男 生女 生身高(cm)體重(kg)身高(cm)體重(kg)123 131 135118 125 132127 144 141124 124 131132 127 140138 129 149139 130 121137 151 123131 142 125123 128 12927 28

32、2723 30 2828 31 3829 30 2635 29 4034 29 3940 38 3535 51 3633 31 4640 46 33131 129 117130 128 125119 145 140122 136 148125 131 141132 134 120135 128 118138 119 127130 120 130124 123 13525 31 2128 28 2420 32 3825 34 4824 30 3530 25 2532 47 2246 18 2531 21 2929 23 32(1) 計算直方圖表達其分布。 (包含全數(shù)、男、女生)(2) 計算平均身

33、高、體重。(包含全數(shù)、男、女生)(3) 計算身高、體重之標準差。(包含全數(shù)、男、女生)(4) 計算評論其結(jié)果。解: 身高全數(shù)數(shù)據(jù)之最大值: 151cm,最小值為: 117cm 組數(shù)(k)=1+3.32logn-1+3.32log60=1+3.32(1.78) =6.91 取7組 組距=(151-117)/7=4.86à5cm 最小一組的下限=117-0.5=116.5cm 體重全部數(shù)據(jù)最大值: 48kg, 最小值: 20kg 組數(shù)(k)=1+3.32 log 60=6.91 以7組 組距=(51-18)/7=4.71à5kg 最小一組的下限=18-0.5=17.5第八章 直方圖 139 (1)身高的次數(shù)分配表組 界組中點全 班男 生女 生劃記次數(shù)劃記次數(shù)劃記次數(shù)1234567116.5121.5121.5126.5126.5131.5131.5136.5136.5141.5141.5146.5146.5151.51