第八章疊加法求變形(3,4,5)

1、8-3 8-3 用疊加法計算梁的變形及用疊加法計算梁的變形及梁的剛度計算梁的剛度計算一、用疊加法計算梁的變形一、用疊加法計算梁的變形簡捷方法簡捷方法 疊加法應(yīng)用的條件疊加法應(yīng)用的條件即撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如即撓度、轉(zhuǎn)角與載荷（如P、q、M）均為一次線性關(guān)系）均為一次線性關(guān)系 在材料服從胡克定律、且變形很小的前在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下提下, ,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 計算梁變形時須記住梁在簡單荷載作用下計算梁變形時須記住梁在簡單荷載作用下的變形的變形轉(zhuǎn)角、撓度計算公式（見附錄轉(zhuǎn)角、撓度計算公式（見附錄）。）。疊加法的兩種處理方法：疊加法的兩種

2、處理方法：（1 1）荷載疊加：）荷載疊加： 疊加原理：疊加原理： 當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，當(dāng)梁上同時作用幾個載荷時，各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影各個載荷所引起的變形是各自獨立的，互不影響。若計算幾個載荷響。若計算幾個載荷共同作用共同作用下在某截面上引下在某截面上引起的變形（撓度、轉(zhuǎn)角），則可起的變形（撓度、轉(zhuǎn)角），則可分別計算分別計算各個各個載荷單獨作用下的變形（撓度、轉(zhuǎn)角），然后載荷單獨作用下的變形（撓度、轉(zhuǎn)角），然后疊加（代數(shù)和）疊加（代數(shù)和）。例例1 1 如圖用疊加法求如圖用疊加法求Cw384EI5qL448EIPL3BACw、解：解：1.求各載荷產(chǎn)生的位移求各載荷產(chǎn)生的位

3、移2.將同點的位移疊加將同點的位移疊加16EIML2A24EIqL316EIPL23EIMLB24EIqL316EIPL26EIML=+例例2 2 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示簡支梁的跨中截面所示簡支梁的跨中截面的撓度的撓度 wC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A 及及 B。已知。已知EI為常量。為常量。為了能利用簡單荷載作用為了能利用簡單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖將圖a所示荷載視為與跨所示荷載視為與跨中截面中截面C正對稱和反對稱正對稱和反對稱荷載的疊加荷載的疊加(圖圖b)。例題例題 2解解: 在集度為在集度為q/2的正對稱均的正對稱均布荷載作用下，

4、查有關(guān)梁的布荷載作用下，查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式，得撓度和轉(zhuǎn)角的公式，得 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqA C A1 B1wC例題例題 2注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，注意到反對稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁因此可將左半跨梁 AC 和右半跨梁和右半跨梁 CB分別視為分別視為受集度為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長為的均布荷載作用而跨長為 l/2 的簡的簡支梁。查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的

5、公式得支梁。查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式得 384242/2/3322EIqlEIlqBA 在集度為在集度為q/2的反對稱均布的反對稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對稱的，故有與跨中截面反對稱的，故有02 CwC A2 B2例題例題 2按疊加原理得按疊加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA 例題例題 2 在材料力學(xué)中在材料力學(xué)中,計算梁的彎曲變形有許多方法計算梁的彎曲變形有許多方法,如積分法、如積分法、載荷疊加法、

6、有限差分法和能量法等。當(dāng)受彎桿件是變截面載荷疊加法、有限差分法和能量法等。當(dāng)受彎桿件是變截面梁或梁上載荷比較復(fù)雜時梁或梁上載荷比較復(fù)雜時,用積分法、載荷疊加法求彎曲變形用積分法、載荷疊加法求彎曲變形,計算相當(dāng)困難。逐段剛化法不失為一種有效的方法計算相當(dāng)困難。逐段剛化法不失為一種有效的方法,逐段剛化逐段剛化法是與上述幾種方法既有所不同法是與上述幾種方法既有所不同,又有所相聯(lián)系的一種簡易有又有所相聯(lián)系的一種簡易有效的方法。效的方法。逐段剛化法逐段剛化法的基本原理在材料服從虎克定律而且的基本原理在材料服從虎克定律而且彎曲變形微小的條件下彎曲變形微小的條件下,梁上所有載荷對梁某一段所引起的彎梁上所有載

7、荷對梁某一段所引起的彎曲變形曲變形,不會改變這些載荷對梁的其他部分的影響。因此不會改變這些載荷對梁的其他部分的影響。因此,計算計算梁的變曲變形時梁的變曲變形時,可以把梁分為若干部分可以把梁分為若干部分:首先計算其中一段的首先計算其中一段的變形變形,將其余部分仍然將其余部分仍然“剛化剛化”（視為剛體）（視為剛體）,其次再計算另一其次再計算另一段段,其余部分仍然剛化其余部分仍然剛化,不過值得注意的是不過值得注意的是,應(yīng)當(dāng)把變形段末端轉(zhuǎn)應(yīng)當(dāng)把變形段末端轉(zhuǎn)角所引起角所引起“剛化段剛化段”的剛體位移考慮進(jìn)去的剛體位移考慮進(jìn)去,最后最后,逐次將各段變逐次將各段變形所引起的整個梁的變形代數(shù)相加形所引起的整個

8、梁的變形代數(shù)相加,即得全梁的總變形即得全梁的總變形,其中也其中也包括附加的剛體的位移。包括附加的剛體的位移。 （2 2）逐段剛化法：）逐段剛化法：21CCC)2(222lBBC逐段變剛體逐段變剛體分別算變形分別算變形最后再疊加最后再疊加 （直接查表不好查時用）（直接查表不好查時用）例題例題1:1:試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端試用疊加法求圖示階梯形變截面懸臂梁自由端C C 的撓的撓度。度。由于梁的抗彎剛度由于梁的抗彎剛度EI 在在B 處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積處不連續(xù)，若由撓曲線微分方程積分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大。可用疊加法求解。分求解，須分段進(jìn)行，工作量較大?？捎茂B加法求

9、解。假定假定AB段剛化，研究自由端段剛化，研究自由端C 對截對截面面B的相對撓度的相對撓度;2. 解除解除AB段的剛化，并令段的剛化，并令BC段剛化。段剛化。ABC2EIEIl/2l/2ppcBwc1c)(243)2(331EIPlEIlPwcPMB=Pl/2ABCwc2wBBBC 懸臂梁懸臂梁BCBC)(96522)2(2123)2(323BEIPlEIlPlEIlPwEIPlEIlPlEIlP163222122)2(22B由梁的變形連續(xù)條件，直線由梁的變形連續(xù)條件，直線BC因因AB段的彎曲變形而移位到段的彎曲變形而移位到 的位置，使的位置，使C點有相應(yīng)的撓度點有相應(yīng)的撓度CB 將將1和和2

10、兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端兩種情況的變形疊加后，即可求得自由端 C 的撓度的撓度 EIplEIplEIplwwwccc1634872433321 EIpllwwBBc487232APMB=Pl/2BCwc2BBC pcBwc1cwBpEwE 1pwE 2pBPPplEIlp323EAlp2EIlpl22EAplEIpl2323WB2=CCWB3=BB 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角角 B，以及，以及A端和端和BC段中點段中點D的撓度的撓度wA和和wD。已。已知知EI為常量。為常量。例題例題 5-5解解:用逐段剛化法解用逐段剛化法解：（1

11、）將）將BC視為剛體，視為剛體，AB則變?yōu)橐粋€懸臂梁，如則變?yōu)橐粋€懸臂梁，如圖圖(b)示。示。A點的撓度為點的撓度為 EIqawA8241（2）將）將AB視為剛體，將均布荷載視為剛體，將均布荷載2q合成力合成力2qa向向B點平移點平移得到一個集中力和力偶矩：得到一個集中力和力偶矩： ，如圖，如圖(c)示。示。2B,2qaMqa 圖圖(c)中所示簡支梁中所示簡支梁BC的受力情況以及約束情況的受力情況以及約束情況與原外伸梁與原外伸梁BC段完全相同，簡支梁段完全相同，簡支梁BC，由，由q產(chǎn)生的產(chǎn)生的 Bq 、wDq(圖圖d)，由，由MB產(chǎn)生的產(chǎn)生的 BM 、wDM (圖圖e)?？伞？刹橛嘘P(guān)式，將它們

12、分別疊加后可得查有關(guān)式，將它們分別疊加后可得 B、wD，它們也，它們也是外伸梁的是外伸梁的 B和和wD。 )(241162238454224 EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB 圖圖( (b)所示懸臂梁所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁的受力情況與原外伸梁AB段相同，圖段相同，圖(c)(c)中外伸梁的中外伸梁的B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B，因，因為假設(shè)為假設(shè)AB為剛體，為剛體，由此引起的由此引起的A端撓度端撓度w1=| B|a，應(yīng)疊加到圖應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的所示懸臂梁的A端撓度端撓度w2上去上去, ,才是原才是原外伸梁的外伸梁

13、的A端撓度端撓度wA EIqaaEIqaEIaqwwwA43421127 318)2(例題例題5：求外伸梁：求外伸梁C點的位移。點的位移。LaCABP解：將梁各部分分別將梁各部分分別引起的位移疊加引起的位移疊加ABCP剛化EI=PCfc11）BC部分引起的位移fc1、 c1c1EIpafc331EIpac2212）AB部分引起的位移fc2、 c2CABP剛化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIPaLB3221cccfff21BccEIPac22EIPaL3EIpafc33aEIPaL3例題例題6 欲使欲使AD梁梁C點撓度為零，求點撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。解：解：

14、EIaqwC384)2(54EIaPa16)2(2 0Pqa56例題例題7 用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。CBqaEIqaEI3364順時針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時針 EIqaEIqaawBC245844解解:例題例題9 求圖示梁求圖示梁B、D兩兩處的撓度處的撓度 wB、 wD 。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243例例10 10 求圖示梁求圖示梁C C點的撓度點的撓度 w wC C。解：解：二二. . 梁的剛度條件梁的剛度條件 例例8-88-

15、8圖示工字鋼梁，圖示工字鋼梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3， w/l = 1500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷的剛度條件，確定梁的許可載荷 PP，并校核強度。，并校核強度。剛度條件：剛度條件：;maxlwlww、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時的要求。件正常工作時的要求。max機(jī)械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000機(jī)械：0.0050.001radP解：由剛度條件解：由剛度條件500483maxlwEIPlw250048lEIP 得所以 .P

16、711kNmaxmaxMWz所以滿足強度條件。PlWz460MPa 711.kN 圖圖a所示簡支梁由兩根槽鋼組成所示簡支梁由兩根槽鋼組成( (圖圖b) )，試按，試按強度條件和剛度條件選擇槽鋼型號。已知強度條件和剛度條件選擇槽鋼型號。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。4001 lw例題例題 5-7 一般情況下，梁的強度由正應(yīng)力控制，選擇梁一般情況下，梁的強度由正應(yīng)力控制，選擇梁橫截面的尺寸時，先按正應(yīng)力強度條件選擇截面尺橫截面的尺寸時，先按正應(yīng)力強度條件選擇截面尺寸，再按切應(yīng)力強度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度寸，再按切應(yīng)力強度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度條件進(jìn)行校

17、核。如果切應(yīng)力強度條件不滿足，或剛條件進(jìn)行校核。如果切應(yīng)力強度條件不滿足，或剛度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。例題例題 5-7解解:1. 按正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號按正應(yīng)力強度條件選擇槽鋼型號 梁的剪力圖和彎矩梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖圖分別如圖c和圖和圖e所所示。最大彎矩為示。最大彎矩為Mmax=62.4 kNm。梁。梁所需的彎曲截面系數(shù)所需的彎曲截面系數(shù)為為 3663maxm10367Pa10170mN104 .62 MWz例題例題 5-7 而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù)而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù) Wz36710-6 m3/2=183.510-6

18、m3=183.5 cm3。由。由型鋼表查得型鋼表查得20a號槽鋼其號槽鋼其Wz=178 cm3，雖略小于所，雖略小于所需的需的Wz= 183.5 cm3，但，但所以可取所以可取20a號槽鋼。號槽鋼。%5%9 . 2%1001781785 .183 例題例題 5-72. 按切應(yīng)力強度條件校核按切應(yīng)力強度條件校核 圖圖c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽鋼承受的最。每根槽鋼承受的最大剪力為大剪力為N10692kN13823max,S F例題例題 5-7 Sz,max 為為20a號槽鋼的中性軸號槽鋼的中性軸z以下以下半個橫截面的面積對中性軸半個橫截面的面積對中性軸z的靜的靜矩。根據(jù)該

19、號槽鋼的簡化尺寸矩。根據(jù)該號槽鋼的簡化尺寸(圖圖d)可計算如下：可計算如下： 3*max,mm0001042mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73 zSz例題例題 5-7當(dāng)然，當(dāng)然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出：*max, zS 3*max,mm104000 mm211100mm7mm11100mm211100mm11mm73 zS 每根每根20a號槽鋼對中性軸的慣性矩由型鋼表查號槽鋼對中性軸的慣性矩由型鋼表查得為得為 Iz =1780.4 cm4 1780cm4例題例題 5-7 故故20a號槽鋼滿足切應(yīng)力強度條件。號槽鋼滿足切應(yīng)力強度條件。于是于是MPa

20、57.6Pa106 .57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-36-3max,max,Smax dISFzz例題例題 5-73. 校核梁的剛度條件校核梁的剛度條件 如圖如圖a，跨中點，跨中點C處的撓度為梁的最大撓度處的撓度為梁的最大撓度wmax。由疊加原理可得由疊加原理可得m1066. 4)m101780Pa)(21048(210mN101671)m6 . 04m4 . 23()m6 . 0)(N1012()m9 . 04m4 . 23()m9 . 0)(N1040()m8 . 04m4 . 23()m8 . 0)(N1030()m4 . 04m4 . 2

21、3()m4 . 0)(N10120(481)43(4834893222322232223222234122max EIblEIbFwwiiiiC例題例題 5-7梁的許可撓度為梁的許可撓度為6mmm106m4 . 240013 llww由于由于mm66. 4maxww 因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。例題例題 5-7三三. . 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛

22、度，就應(yīng)從梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EIEI；EIMwnL二、減小跨度二、減小跨度L或增加支承降低彎矩或增加支承降低彎矩M；三、改變加載方式和支承方式、位置等三、改變加載方式和支承方式、位置等( (即降低即降低M)。8-5 8-5 梁的彎曲應(yīng)變能梁的彎曲應(yīng)變能一一. .梁的彎曲應(yīng)變能梁的彎曲應(yīng)變能WV 1.純彎曲：純彎曲：2.橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2MW21IElMMV21IElM22cM cxM)( EIxxMxMV2dd )(21d2W二二. .小結(jié)小結(jié)：1 1、桿件變形

23、能在數(shù)值上等于變形過程中、桿件變形能在數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。外力所做的功。V=W2 2、線彈性范圍內(nèi)，若外力從、線彈性范圍內(nèi)，若外力從0 0緩慢的增加到緩慢的增加到最終值：最終值：PWV21則：其中：其中：P-P-廣義力廣義力 -廣義位移廣義位移拉、壓：拉、壓：軸力NNFPEALFL扭矩TPEITLP扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：彎矩MPEIMLz彎曲：彎曲：例題例題 試求圖示懸臂梁的變形能，并利試求圖示懸臂梁的變形能，并利用功能原理求自由端用功能原理求自由端B B的撓度。的撓度。Bw解：解：PxxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(P lEI2 36BPwW21得由WVEIPlw

24、B331. 1. 超靜定梁的概念超靜定梁的概念 2.2. 多余約束、超靜定梁的基本多余約束、超靜定梁的基本結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)多余約束多余約束：對維持梁的平衡而言對維持梁的平衡而言是多余的約束，相應(yīng)的反力稱為是多余的約束，相應(yīng)的反力稱為多余約束力。用多余約束力（或多余約束力。用多余約束力（或稱多余反力）代替多余約束，就稱多余反力）代替多余約束，就得到一個形式上的靜定梁，該梁得到一個形式上的靜定梁，該梁稱為原超定梁的稱為原超定梁的基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)，又稱，又稱靜定基（相當(dāng)系統(tǒng)）靜定基（相當(dāng)系統(tǒng)）。超靜定梁超靜定梁=多余約束多余約束+靜定梁靜定梁梁的約束（或約束力）個數(shù)梁的約束（或約束力）個數(shù)多于獨立靜力平衡方

25、程的個多于獨立靜力平衡方程的個數(shù)。數(shù)。8-4 8-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁一、基本概念一、基本概念二. 超靜定梁的解法思路超靜定梁的解法思路 和拉壓、扭轉(zhuǎn)超靜定問題一樣，解超靜定梁的思路也要考慮平和拉壓、扭轉(zhuǎn)超靜定問題一樣，解超靜定梁的思路也要考慮平衡方程（靜力平衡方面）、變形相容方程（幾何變形方面）和物衡方程（靜力平衡方面）、變形相容方程（幾何變形方面）和物理方程（物理關(guān)系）。關(guān)鍵在于尋找變形協(xié)調(diào)關(guān)系作為補充方程。理方程（物理關(guān)系）。關(guān)鍵在于尋找變形協(xié)調(diào)關(guān)系作為補充方程。平衡方程平衡方程物理方程物理方程幾何方程幾何方程聯(lián)立求解聯(lián)立求解3.超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)超靜定次數(shù)=多余約束

26、（或多余約束力）個數(shù)多余約束（或多余約束力）個數(shù)=超靜定結(jié)構(gòu)全部超靜定結(jié)構(gòu)全部未知力個數(shù)結(jié)構(gòu)的獨立靜力平衡方程個數(shù)未知力個數(shù)結(jié)構(gòu)的獨立靜力平衡方程個數(shù)=解超靜定結(jié)構(gòu)所需解超靜定結(jié)構(gòu)所需要建立的補充方程個數(shù)。要建立的補充方程個數(shù)。注意：基本結(jié)構(gòu)的選取不是唯一的。注意：基本結(jié)構(gòu)的選取不是唯一的。三、比較變形法解簡單超靜定梁三、比較變形法解簡單超靜定梁 步驟步驟: (1)選取靜定基本結(jié)構(gòu)選取靜定基本結(jié)構(gòu)(靜定基靜定基):即去掉超靜定結(jié)即去掉超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束構(gòu)的多余約束,用多余約束力來代替用多余約束力來代替,得到超靜得到超靜定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。定結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。 （2）計算靜定基在原有外力和多余約束

27、力作）計算靜定基在原有外力和多余約束力作用下在解除約束處的位移（變形）。用下在解除約束處的位移（變形）。 （3）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即多余約束處的位移（變形）必須滿足該件，即多余約束處的位移（變形）必須滿足該處的實際情況。處的實際情況。 （4）將算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補）將算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補充方程。充方程。 （5）聯(lián)立靜力平衡方程和補充方程最后求出）聯(lián)立靜力平衡方程和補充方程最后求出全部未知力。全部未知力。例例1 1 解超靜定梁，并畫梁的內(nèi)力圖。解超靜定梁，并畫梁的內(nèi)力圖。解解（1 1）選超靜定梁的）選超靜定梁的基本結(jié)

28、構(gòu)：如圖基本結(jié)構(gòu)：如圖(b)(b)示。示。（2 2）計算基本結(jié)構(gòu)在）計算基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余反力共同作荷載和多余反力共同作用下在多余約束處用下在多余約束處B B 的的位移：位移：由疊加法：由疊加法：EIlFEIqlwwwBBFBqB3834(a)（3 3）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即）根據(jù)變形與約束相協(xié)調(diào)列出變形協(xié)調(diào)條件，即多余約束處的位移（變形）必須滿足該處的實際情況：多余約束處的位移（變形）必須滿足該處的實際情況：0Bw(b)(4)(4)將算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補充方程：將算得的位移代入變形協(xié)調(diào)條件得到補充方程：將將 (a) 、(b)得到得到03834EIlFEIqlw

29、BBqlFB83所得所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向為正值表示原來假設(shè)的指向( (向上向上) )正確。正確。(5)(5)聯(lián)立靜力平衡方程和補充方程最后求出全部未知力聯(lián)立靜力平衡方程和補充方程最后求出全部未知力: : 固定端的兩個約束力利用基本結(jié)構(gòu)由靜力平衡條件固定端的兩個約束力利用基本結(jié)構(gòu)由靜力平衡條件求得為求得為 28185qlMqlFAA ，(6)(6)畫梁的內(nèi)力圖畫梁的內(nèi)力圖 思考：思考： 該超靜定梁可否取簡支梁為基本結(jié)構(gòu)該超靜定梁可否取簡支梁為基本結(jié)構(gòu)求解？如何求解？求解？如何求解？例例2 2 為了提高懸臂梁為了提高懸臂梁ABAB的強度和剛度，用短梁的強度和剛度，用短梁CD加加固。設(shè)二

30、梁固。設(shè)二梁EI相同，試求：相同，試求：二梁接觸處的壓力二梁接觸處的壓力解：解除約束代之以解：解除約束代之以約束反力，得到基本約束反力，得到基本結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)。DCDDABwwEIaREIaREIPaDD3365333即RPD54變形協(xié)調(diào)條件為變形協(xié)調(diào)條件為：例例3 3 梁梁ABC由由AB、BC兩段組成，兩段梁的兩段組成，兩段梁的EI相同。試相同。試?yán)L制剪力圖與彎矩圖。繪制剪力圖與彎矩圖。解：變形協(xié)調(diào)解：變形協(xié)調(diào)條件為：條件為：BBCBABwwEIaREIaREIqaBB338334即qaRB163例例4 試求圖試求圖a所示結(jié)構(gòu)中所示結(jié)構(gòu)中AD桿內(nèi)的拉力桿內(nèi)的拉力FN。梁。梁AC和桿和桿AD的材料

31、相同，彈性模量為的材料相同，彈性模量為E； AD桿的橫截桿的橫截面積為面積為A，AC梁的橫截面對中性軸的慣性矩為梁的橫截面對中性軸的慣性矩為I 。1.梁梁AC共有三個未知力共有三個未知力( (圖圖b) )FN，F(xiàn)B，F(xiàn)C ，但平面，但平面僅有兩個平衡方程，故為一次超靜定問題。僅有兩個平衡方程，故為一次超靜定問題。解：解： 2. 把把AD桿視為梁桿視為梁AC的的“多余多余”約束，相應(yīng)的約束，相應(yīng)的“多余多余”未知力為未知力為FN。位移。位移(變形變形)相容條件為梁的相容條件為梁的A截面的撓度截面的撓度wA等于桿的伸長量等于桿的伸長量 lDA(圖圖b)，即，即wA= lDA。3. 求求wA和和 l

32、DA wA是由荷載產(chǎn)生的是由荷載產(chǎn)生的wAq(圖圖c)和和FN產(chǎn)生的產(chǎn)生的wAF (圖圖d)兩部分組成，兩部分組成，EIqawAq1274 把圖把圖d所示外伸梁，所示外伸梁，A處的位移可由逐段處的位移可由逐段剛化法來求：分成剛化法來求：分成兩部分，即兩部分，即(e)圖和圖和(f)圖圖)(332,)(3)(32,323)2)(3N3N3N3N23N12NN EIaFEIaFEIaFwEIaFwEIaFawEIaFEIaaFAFABABM EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127 ，4. 把把wA和和 lDA代入代入位移位移( (變形變形) )相容條件得補充方程：相容條件得補

33、充方程：由此求得由此求得EAlFEIaFEIqaN3N4127 34N 127AalIAqaF 例例5 5 試求圖試求圖a所示等截面連續(xù)梁的所示等截面連續(xù)梁的約束反力約束反力FA , FB , FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度曲剛度EI=5106 Nm2。1. 該梁有三個未知力該梁有三個未知力FA、 FB 、 FC ，僅有兩個平，僅有兩個平衡方程。故為一次超靜定問題。衡方程。故為一次超靜定問題。解：解： 2. 若取中間支座若取中間支座B處阻止其左、右兩側(cè)截面相對處阻止其左、右兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)動的約束為轉(zhuǎn)動的約束為“多余多余”約束，則約束，則

34、B截面上的一對彎截面上的一對彎矩矩MB為為“多余多余”未知力，基本結(jié)構(gòu)如圖未知力，基本結(jié)構(gòu)如圖b。BB 基本結(jié)構(gòu)的位移條件是基本結(jié)構(gòu)的位移條件是B處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角處兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角等于零，即等于零，即3. 查關(guān)于梁位移公式的附錄查關(guān)于梁位移公式的附錄可得可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 4. 將將 B B代入位移相容條件補充方程，從代入位移相容條件補充方程，從而解得而解得 這里的負(fù)號表示這里的負(fù)號表示MB的實際轉(zhuǎn)向與圖的實際轉(zhuǎn)向與圖b中所設(shè)相中所設(shè)相反，即為反，即為MB負(fù)彎矩。負(fù)彎矩。mkN80.31 BM5.

35、利用圖利用圖b可得可得約束力分別為約束力分別為 kN64.11kN66kN05.32CBAFFF繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖c,d所示。所示。(c)(d)FS 超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，若以支座若以支座B為多余約束，為多余約束，F(xiàn)B為多余未知力，位移條件為多余未知力，位移條件為為wB=0，基本結(jié)構(gòu)如圖，基本結(jié)構(gòu)如圖(e)所示。有如以支座所示。有如以支座C為多為多余約束，余約束，F(xiàn)C為多余未知，位移條件為為多余未知，位移條件為wC=0，基本結(jié)，基本結(jié)構(gòu)如圖構(gòu)如圖(f)所示。所示。 位移條件容易計算的基本結(jié)構(gòu)就是最適

36、宜的。位移條件容易計算的基本結(jié)構(gòu)就是最適宜的。(f)FC(e)FB* *II. II. 支座沉陷和溫度變化對超靜定梁的影響支座沉陷和溫度變化對超靜定梁的影響 超靜定梁由于有超靜定梁由于有“多余多余”約束存在，因而支約束存在，因而支座的不均勻沉陷和梁的上座的不均勻沉陷和梁的上, ,下表面溫度的差異會下表面溫度的差異會對梁的對梁的約束力約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實踐和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實踐中這是一個重要問題。中這是一個重要問題。(1) (1) 支座不均勻沉陷的影響支座不均勻沉陷的影響 圖圖a所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個支所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個支座若發(fā)生沉陷座若發(fā)生沉陷

37、 A 、 B 、 C，而沉陷后的支點，而沉陷后的支點A1 、B1 、C1不在同一直線上時不在同一直線上時( (即沉陷不均勻時即沉陷不均勻時) )，支座，支座約束力約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時的值。和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時的值。210CABBBBw 現(xiàn)按如圖現(xiàn)按如圖a中所示各支點沉陷中所示各支點沉陷 B C A的情的情況進(jìn)行分析。此時，支座況進(jìn)行分析。此時，支座B相對于支座相對于支座A 、C 沉陷沉陷后的點后的點A1 、C1 的連線有位移的連線有位移于是，如以支座于是，如以支座B1作為作為“多余多余”約束，以約束力約束，以約束力FB為為“多余多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支

38、未知力，則作為基本靜定系的簡支梁梁A1C1(參見圖參見圖b)在荷載在荷載 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是210CABBBBw 于是得補充方程于是得補充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413CABBlEIqlF其中的其中的wB按疊加原理有按疊加原理有( (參見圖參見圖c、d):):再由靜力平衡方程可得再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF(2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面溫度差異的影響下表面溫度差異的影響 圖圖a所示兩端固定的梁所示兩端固定的梁AB在溫度為在溫度為 t0 時時安裝安裝就位，其后，由于梁的就位，其后，由于梁的頂頂面溫度升高至面溫度升高至 t1，底，底面面溫度升高至溫度升高至 t2，且，且 t2t1，從而產(chǎn)生，從而產(chǎn)生約束力約束力如圖如圖中所示。中所示。