93三重積分的計(jì)算

1、第三節(jié)三重的計(jì)算（2）一、利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重二、利用球坐標(biāo)計(jì)算三重三、三重的變量替換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九章一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重設(shè) M(y ,z 為) 空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn) M 在x,xoy 面上的投影 P 的極坐標(biāo)為rq,，則這樣的三個(gè)數(shù)r ,qz , 就叫點(diǎn)M的柱面坐標(biāo),z£ r < +¥規(guī)定： 00-M(x, y ,z)£ q £2po¥< z < +¥.yP(r ,q)x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(, q, z)(x, y, z)柱面坐標(biāo)x = r cosq y = r sinq z = z0 

2、3; r < +¥,0 £ q £ 2p,®zzM(,q, z)z- ¥ <.z < +¥.y.0qyxNx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束zz柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面動(dòng)點(diǎn)M(, q, z)zP =常數(shù)：柱面Sz =常數(shù)： 平面PS0yx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束z柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面動(dòng)點(diǎn)M(r, q, z)PzM =常數(shù)：柱面Sz =常數(shù)：平面Pq =常數(shù):半平面PSP0qy.x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柱面坐標(biāo)下的體積元素z元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面q及q+dq ;半徑為及 +d 的園柱面；平面 z及 z+dz；平面z0qdqyx

3、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柱面坐標(biāo)下的體積元素z元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面q及q+dq ;半徑為及 +d的平面 z及 z+dz；平面z+dzdzz0qdqy.x底面積 d dq機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柱面坐標(biāo)下的體積元素z元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面q及q+dq ;半徑為及 +d 的園柱面；平面 z及 z+dz；dV = dxdydz = r dr dq dzòòò f ( x, y, z)dxdydzWdVdzz= òòò f (r cosq , r sinq , z)0qdqyWr dr dq dzx.底面積 d dq機(jī)動(dòng)

4、目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò z例 1 ：計(jì)算x2+ y2dv其中W由球面x2+ y2z+ z2 = 2W與拋物面2 - r 2z = 1z = r 2z =z = x2+ y2圍成。ì x = r cosqï y = r sinq解: 在柱面坐標(biāo)系下íïîz = zoyxìr 2 + z2 = 2r = 1,知交線為Þz = 1,íîr 2= z0 £ r £ 1,0 £ q £ 2pr 22 - r 2 ,£ z £

5、;W :34 p2- r 22p01òòòr 2òòòWqrzrr dz=x2+ y dv2ddz1050機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束dxd yz d, 其中W由拋物面òòòW 1+例2. 計(jì)算三重x 2h> 0+ y2z2+y 2= 4與z平面 z =h(x所) 圍成 .£ z £ hr 2h4解: 在柱面坐標(biāo)系下 W :£ r ££ q £002 hp2oyhrxh2ò2p0ò2 dr原式 = òd zdq2r

6、1 + r04drr 22hòpdr= 2-)41 + r 2h(0p(=1+ h)+1h4 - h)4ln(44機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束v = rd rdqzzòòòyd其中zW為由例3. 計(jì)算三重2+yd2xxda >0W平面0 z ,=z= a(y),=柱面x2+2=2及x所圍0y成位于第一卦限部分的半圓柱體.za£ r 2£cqos0在柱面坐標(biāo)系下 W :£p0£q解:20 £ z £ azdoòòòyrrqcoqs原式=2z ddW2r =q2cos

7、pax2ò z dò= òr2rddqz20002= 4ap89òq3q3dd2d=cosa30機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束v = rd rdqzòxòòW=4 ：計(jì)算2+ y2+4z2d中v其W 由錐面例2+y2z面2平與z =h(h> 0z。)成圍x解1: 在柱面坐標(biāo)系下£ z £ h0 £ r £ hW :oy£ q £p20x2phh=òòòòòòq d rr dr+z4+ y+4z22222dz

8、xdvr00W此很難求！機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò4 ：計(jì)算x2+ y2 + 4z2dv其中W由錐面例W+ y2 = z2x2與平面z = h (h > 0)圍成。z解2: 用截面法：先固定 z，0 £ z £ h ,òòòD = ( x, y) | x2+ y2£ z2 zx2+ y2+ 4z2dvDzyoWhxòòò=x2+ y2+ 4z2dxdydz0Dz= p極坐標(biāo)2phzòòòdqr 2+ 4z2 r dr=dz- 8)h4(

9、556000機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò例 4 ：計(jì)算+ y2 + 4z2dv其x2zWW 由錐面 x2中+ y2 = z2與平面z = h (h > 0)圍成。Dqoy解3: 用截面法：先固定 ，x0 £ q £ 2p ,zDq= (z, r ) | 0 < z < h,0 < r < z DqòòòW2px2+ y2 + 4z2dvòòòDqhqr 2+ 4z2 r dr dz=do0= p (52pzòòòdqr 2+

10、 4z2 r dr=5 - 8)h4dz6000機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重設(shè) M(y ,z 為) 空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn) M 可用x,三個(gè)有次序的數(shù)，r jq ，來(lái)確定，其中 r 為原M間的距離，j 為有點(diǎn)O與點(diǎn)段OM 與z軸正向所夾的角， q 為從正 z 軸來(lái)看自 x 軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有段 ON 的角，這里 N 為j點(diǎn)M在 xo面y 上的投影，這樣的三個(gè)數(shù)，r，q 就叫做點(diǎn) M 的球面坐標(biāo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球面坐標(biāo)zzx = rsinj cosq y = rsinj sinq z = rcosM(r,q,j)0 £ r < +¥,r0

11、63; q £ 2p,0 £ j £ p .jy0qyx Nx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面z動(dòng)點(diǎn)M(r,q,j)r =常數(shù):j =常數(shù):球面SMjS0xy機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面zC動(dòng)點(diǎn)M(r,q,j)r =常數(shù):j =常數(shù):q =常數(shù):球面S錐面CM半平面PjSPP0q.xy機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球面坐標(biāo)下的體積元素元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：z球面r+d r圓錐面j半平面q 及q+dq ；半徑為r及r+dr的球面；圓錐面j及j+djrsinjdq圓錐面j+djrj0qydqx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束球面坐標(biāo)下的體積元素元素區(qū)域由六個(gè)

12、坐標(biāo)面圍成：z半平面q 及q+dq ；半徑為r及r+dr的球面；圓錐面j及j+djrsinjdqdVsinj drdqdjdV = r2rf ( òòxò,W=sinòòòf,y)z dx dyd zjsindqjrcoqsj,qr(sin,0qyWrcos j)2 sinj drdqdjxr.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò(y3例I 5 計(jì)算=x+z3+)3dxd，yd其z 中W 是球面W，z與錐面z2+y2+z 2=2=x2+2y所圍的.xz利用對(duì)稱(chēng)性dxdydz=0x , òò&

13、#242;解1:òòòdxdydz= 033yWW在球面坐標(biāo)系下o£py£r 2£ cjos: W0j,0£,4xq£ p20 £p2pcojs2z= òòòWdxdydz=d òòòqdjcosj3× jrs2in3r34000= 31p15機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò(y3例I 5 計(jì)算=x+)3dxd，yd其z 中W 是球面z3W，z與錐面z+y2+=2=+2y所圍的z.2z 2x2x解2: 利用對(duì)

14、稱(chēng)性z = 1òòòdxdydz=0x , òòò33dxdydz= 0yWW在柱面坐標(biāo)系下oy£r+1 r 2£ q £Wz £1£ r £- ,p2:x0z= òòòW1 0,= 31p2p01-r 2+11òòòqdrz r3dxdydz=d3dz15r0機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束計(jì)算òòò( x + y + z)2 dxdydz 其中 W是由拋物面例 6Wz = x2 + y2和球

15、面x2 + y2 + z2 = 2所圍成的空間閉區(qū)域.zQ ( x + y + z)2解= x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx)其中xy + yz是關(guān)于 y 的奇函數(shù),且W關(guān)于zox 面對(duì)稱(chēng), òòò( xy + yz)dV = 0Woyx同理Q zx 是關(guān)于x 的奇函數(shù),且W關(guān)于 yoz 面對(duì)稱(chēng), òòò xzdv = 0,W機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束zI = òòò ( x + y + z )2 dxdydzW則= òòò( x2+ y2+ z2

16、)dxdydz,W投影區(qū)域oy+ y2 £ 1,x2Dxy ：x（1）在柱面坐標(biāo)下：0 £ q £ 2p,0 £ r £ 1,r 22 - r 2 ,£ z £2- r 222p1I = ò0òòdqdrr (r+ z )dz22r0= p2 - 89).(9660機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束I = òòò( x + y + z)2 dxdydz = òòò( x2 + y2+ z2 )dxdydz,zW（2）在球面坐標(biāo)下：W2, 0 &#

17、163; j £ p 4 ,W1: 0 £ r £: 0 £ r £0 £ q £ 2pcosj ,p£ j £ pW, 0 £ q £ 2poysin2 j422xp2p2r 2òòòdqdj× r 2 sinj drcosj=4I000p2p+ òdq ò dòjr× r 2 sinj dr22sin j2p400= p(962 - 89).60機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò

18、;(計(jì)算 =x+dxdy，dz其中W是錐面y22 )例 I7W與平面z = a+=，z2a > 0 所) 圍的.2y2x(z采用球面坐標(biāo)解 1=az = aÞr,QxWcosjp2+y20 £r=Þz2j=,oy4p4xaj£ ,q£ p £, £2£:00p,cosj2 )a2pdx=dyddzòòòòòò(W=x+q djr43jy2cosjsindrI4000p4pa51òj=5=psin3j ( ×-a .20d)5j10

19、5cos0機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束òòò(計(jì)算 =x+dxdy，dz其中W是錐面y22 )例 7IW與平面z = a+解 2=，z2a > 0所) 圍的z.2y2x(采用柱面坐標(biāo)Þz2z =a+x2=2y£2y2+,Qx,2D:W=x:roy£ r £0£ q £pa£z, a 0£,a2dr,x2paòòòòòò(qrr=2+y22 )dxdydzddzr00Wp4a5aaòp= rr3r-=2 pa

20、5;-=52a(d)a .45100機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束= òòò|W例 8 算I計(jì)x2+2z1 -d| xdydz ，其中Wy2是錐面x+= 3z2與平面 z = 1 所圍的。2y2z把區(qū)域分成兩部分：球坐標(biāo)解z = 1p 0W£:£0q£p2j, £ 0, ££1r2W13p1p3£ 1:£0q£p2j, £ 0,£ 1£ory2cosqdxdydz3xòxòò(W1= I-1+z 2+)2y 2ò

21、òò(xW2+d-)xdydz2y2z21機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束W : 0 £ q £ 2p ,0 £ j £ p ,0 £ r £ 1z13z = 1: 0 £ q £ 2p ,0 £ j £ p ,1 £ r £1cosqW2WW123p3I = òòò(1 -x2+ y2 + z2 )dxdydzoyxW1+ òòò(W2px2+ y2 + z2 - 1)dxdydz2p1= ò

22、òòqj(1 - r )r 2 sinjdrdd3000p31cosj2p+ òòòqj(r - 1)r sinjdr2dd001= p3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.求曲x面2(y+2+z)22=a ( 3 z>0a 所) 圍體積.解: 由曲面方程可知,位于xoy面上部, 且關(guān)于 xozyoz面對(duì)稱(chēng), 并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍為£p 2 ,0j£a3 cos j0£,£ q £p2zaW:0£r利用對(duì)稱(chēng)性, 所求體積為cosj=ra3= òò&#

23、242;W dpVVpacosj3òòòdqjjr=422sind2rdr000ypp= 2= d1 pòxjasinjj32cos3a330d機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束v=sri2njd rj dq三、三重的變量替換y ,z 在) 有界閉區(qū)域 W 上連續(xù)，變換設(shè) (fx,定理u (v, = ,w=y(, v) =w,z (滿(mǎn),z足,x), yu,u)¢uvw中的 W¢ 一對(duì)一的變?yōu)?oxyz 中的 W ;1 o將)(y (u v ,w , z u) v, w (在 W, ¢ 上,具)有, x ,u v )w ,一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

24、；=(¶x,y ,z¹)3 在)W¢ 上雅可比式J( u ,v,w)0;(u¶, v ,w)則f 有x òòòy(W,z,)dxdydz=, òyòò,W¢w(u ),v(w, z),u(v,w,J)u(,v,w機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x2y2z20 例 計(jì)1算橢球面 +2+1=所圍的體積cqos sin：22abcjj=sinar=sibnrxìï做廣義球坐標(biāo)變換解qyízïî=crcosjJ =(¶x,rj,y ,zq,)

25、= abcr 2 sinj則(¶)= òòòWdv= òòò abcr 2 sinjdvWV2pp= 4pabc1òòòqdjab2csrinjdr=d3000機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、小結(jié)ì 柱面坐標(biāo)í三重?fù)Q元法î 球面坐標(biāo)（1） 柱面坐標(biāo)的體積元素dxdydz =d rrd qdz（2） 球面坐標(biāo)的體積元素=2 rsinjqjdrddxdydz（3）三重d的換元公式廣義球坐標(biāo)（4） 對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化運(yùn)算機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)習(xí)題8-3(P182) 3(1)(3

26、)(5)(7)，4(1)(3)(4)；5(1)(3)(5)(7)，6(2)(4)習(xí)題8-5(P210) :3第四節(jié) 目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考題若 W 為 R3 中關(guān)于 xy 面對(duì)稱(chēng)的有界閉區(qū)域，f ( x, y, z) 為W 上的連續(xù)函數(shù),則當(dāng) f ( x, y, z) 關(guān)于 z 為奇函數(shù)時(shí) ,òòò f ( x, y, z)dv = 0 ;當(dāng) f ( x, y, z) 關(guān)于 z 為偶函數(shù)時(shí),òòò f ( x, y, z)dv = 2 òòò f ( x, y, z)dvWWW1其中W1 為W 在 x

27、面上方的部分.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x 2y 2=f (òòòx,及 z=W=zxcy >區(qū)域。c0+2 )=1.計(jì)I,y) z dx dy d :z(2,算abW所0 圍成的在第一卦限的用哪種坐標(biāo)？直角坐標(biāo) xy c=yz =z = 0W是y上頂：下底：柱體y 2x 2D=:002+ 1圍= 成xyx, 2abb=f( òòòx,WI, y )zdxdydzxycfdx= òòdyDò(x ,y,)zd zDxy0baxycfa22- x0aòòò=adxdy(x

28、,y,)zx000機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x 2y 2計(jì)算 I = òòò f ( x, y, z)dxdydz1.W : cz = xy (c > 0) ,a 2+= 1b 2W及 z = 0所圍成的在第一卦限的z區(qū)域。x 2y 2+= 1a 2b2ycz=xyboa.x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x 2y 2計(jì)算 I = òòò f ( x, y, z)dxdydz1.W : cz = xy (c > 0) ,a 2+= 1b 2W及 z = 0所圍成的在第一卦限的z區(qū)域。x 2y 2+= 1a 2b2ycz=xyboa.

29、x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束x 2y 2計(jì)算 I = òòò f ( x, y, z)dxdydz1.W : cz = xy (c > 0) ,a 2+= 1b 2W及 z = 0所圍成的在第一卦限的z區(qū)域。ycz=xyWboa.b a0xyxf ( x, y, z)dzxyca2 - x2aòòò0I = òòdxdyò=dxdyf ( x, y, z)dzc00D機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束+2=2y dW> az與)=02. :曲面xya(z2a-2x+2所y 圍區(qū)域=f (ò

30、42;òx,W,y) z dx dz用哪種坐標(biāo)？柱面坐標(biāo)r 2下底： z = 2 a- rìW是上頂： z柱體ar 2ìr = a= az2 a -ríL：í聯(lián)立解得交線îz =îzayìr £ aD:íz = 0xyî2a - rd rI rd= òqòq(òrr2qfcosr,szinz,ax0DxyaDxy2p2a-raq ò=rd ròrq( rr2ò qf cosd,zsinz00a機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束W : 曲

31、面x 2+ y 2= az (a > 0) 與x 2+ y 2 所圍區(qū)域z = 2a -2.I = òòò f ( x, y, z)dxdydzWz2a柱面坐標(biāo)ìr 2= azíz = 2a - r聯(lián)立îz = 2a - rìr = aL：í z = a解得交線îLar= az2.y2a0x機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束W : 曲面x 2+ y 2 = az (a > 0) 與x 2+ y 2 所圍區(qū)域z = 2a -2.2a - r= òò rdrdq ò r 2I

32、= òòò f ( x, y, z)dxdydzWf (rcosq , rsinq , z)dzzaqD2p2a-ra柱面坐標(biāo)= ò dòòrrf (rcosq, rsinq, z)dz2adr2ìr= az20aíz = 2a - r聯(lián)立îz = 2a - rìr = aL：í z = a解得交線îLar= az2D : ìz = 0.yír £ aD0îx機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束W :球體x 2+ y 2+ z 2£ 2azx 2+ y 2+ z 2£ b 2(a > b > 0)與球體3.的公共部分。zab0xyW :球體x 2+ y 2 + z 2 £ 2azx 2+ y 2+ z 2 £ b 2 (a > b > 0)問(wèn)題：1用哪種坐標(biāo)？（球面坐標(biāo)）3