圓柱齒輪跨齒數(shù)計算公式的推導

1、圓柱齒輪的跨齒數(shù)計算公式的周萬峰1標準齒輪跨齒數(shù)計算公式的推導k，然后才能計算跨 k個齒的公大家都知道，凡計公法線長度，則必須先計算跨齒數(shù) 法線長度。標準齒輪的跨齒數(shù)計算公式為：kz ：18000.5（直齒）（1）z .：jnkn-18000.5（斜齒）（1）式中z為齒數(shù)，z為假想齒數(shù)，zin仝丄（inJ之值可從手冊上查出，亦可算出）in vanin van:-為壓力角，n為斜齒輪的法面壓力角。教材、手冊上都是給出該公式，并不說明它的由來。那么公式（1）是怎么來的呢？它怎么還有個0.5呢？據(jù)筆者了解，使用公式（1）的人一般都不管公式的由來，只是拿來使 用而已。今天筆者根據(jù)自己的理解試將公式推導

2、出來。顯然公式（1）不是筆者推導出來的,書上早就有這個公式了。但始終未見哪本書上有原原本本地推導該公式的內(nèi)容。至于公式（1）原來是怎么推導的筆者不得而知。筆者現(xiàn)將公式推導如下：眾所周知，不論標準齒輪還是變位齒輪其公法線的測量點（量具卡腳與齒廓的切點） 都應在齒高的中點部位。而標準齒輪齒高的中點就是分度圓，故標準齒輪公法線的測量點 應在分度圓上。這樣標準齒輪的公法線測量點就應以分度圓為準進行推導。請看圖1公法線測量圖：AB是跨3個齒測量的公法線長度。AA1和AA是齒輪的周節(jié)（分度圓上，相1#圖1公法線長度測量2鄰兩齒同側齒廓對應點的弧長）a2b是分度圓上齒厚；而標準齒輪分度圓齒厚是周節(jié)的一半，即

3、0.5個周節(jié)。因此，當跨 3個齒測量時，2：.對應著兩個周節(jié)和一個分度圓齒厚，即一個周節(jié)對應的中心角的度數(shù)）z當跨4個齒測量時，2：.對應著3個周節(jié)和一個分度圓齒厚，360o t2:對應著（3-0.5）個周節(jié)。所以，跨 3個齒測量時，2（3-0.5）。（ 360. z是即2 .對應著（4-0.5）個周節(jié)；所以2：36004個周節(jié)和一個分度圓齒厚，即3600對應著（5-0.5）個周節(jié)；所以2（5-0.5）。依z次類推，當跨k個齒測量時，360 02 一對應著（k- 0.5）個周節(jié)，即2=（k-0.5）。整理z（4-0.5）。當跨5個齒測量時,2_二對應著此式即為公式（1）。但需說明的是：對于 a

4、 =20°的直齒輪而言，它的公法線測量點沒有一 個是能在分度圓上的，都是在分度圓附近。為什么呢？因為跨齒數(shù)k的計算值不可能是整數(shù)（見公式），而測量公法線長度時又必須是整數(shù)，所以才如此。而斜齒輪通過調整螺旋角是3可以使公法線長度的測量點正好在分度圓上的2、變位齒輪的跨齒數(shù)計算公式的推導變位齒輪的跨齒數(shù)計算公式今天可以說是形式多樣，五花八門；如將教材、手冊、科技書以及發(fā)表在刊物上的這些公式匯集起來，找出10個公式是費不了什么事的。這些公式（包括教材、手冊在內(nèi)）經(jīng)驗證有的是合理的，有的是不合理的；有的是不盡合理的，有 的是情況不良的。有的雖然情況較好，但計算很麻煩。筆者在此推薦一個情況較好

5、而又比 較簡單的公式：（直齒）(2)(2),ZZCOSa小k 0 arccos0.5180°z 2xzZ COSG n“ _k 0 arccos- 0.5(斜齒)1800z 2xn圖2這個公式是怎么來的？教材、手冊都是給出公式，并不說明它的由來。今天筆者將它 推導一遍（顯然公式不是我第一個推導出來的），請讀者指正。前面說過，不論齒輪變位與否，公法線的測量點都應在齒高的中點部位。標準齒輪齒高的中點部位就是分度圓，故推 導標準齒輪的跨齒數(shù)計算公式應以分度圓為準。而變位齒輪的分度圓已不在齒高的中點部 位了，那么推導變位齒輪的跨齒數(shù)計算公式就不能以分度圓為準了，而是直徑為“ d 2xm圓”位

6、于齒高的中點部位，所以就應以它為準了。請看圖 2：當為正變位時，公法線的測量 點應在B 點,即在“ d 2xm圓”上。那么只要算出 B點的壓力角，然后代入公式（1）， 用代替：，公式就推導出來了。請看圖2 : ON是基圓半徑，OB'd：2 xm，cosa ' = db 2/。因為 db = mzcosa， d = m乙將 mzcos。代替 db，將OB/（dg+xm）mz代替d，代入上式，整理后則= arccos（zcos：）,z *2x）1，將該式代入（1）式（用 0（"代替0（），整理后即為公式（2）。說明:上面的文章于2014年1月31日已上傳到“百度文庫”，截止到2014年5