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文檔簡介

1、第三講 線性方程組例11設(shè)A是mn矩陣,r(A)=r則方程組AX = b (A)在r=m時有解. (B)在m=n時有唯一解.(C)在rn時有無窮多解.(D)在r=n時有唯一解. (B) A是nn矩陣,缺A可逆的條件.(C) 缺r(A)=r(A|b)的條件.(D) 缺r(A)=r(A|b)的條件.(A) m=r(A)r(A|b)m,則m=r(A)=r(A|b)=m.例14的一個基礎(chǔ)解系為(A)(0,-1,0,2)T. (B) (0,-1,0,2)T, (0,1/2,0,1)T.(C) (1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T.(D) (0,-1,0,2)T, (1,0,-1,0)T.例13

2、當A=( )時,(0,1,-1)和(1,0,2)構(gòu)成齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系 (92)(A) . (B). (C) (D). 例15 已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T構(gòu)成次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,求a,b,s,t.方法一:把兩個解(1,a,2)T和(-1,4,b)T代入方程得 解出abst212-1-4-28方法二:s=2,n=3,則r(A)=1 于是 S=2,t=-1 例 AX=0和BX=0都是n元方程組,判斷下列斷言的正確性.(1)AX=0和BX=0同解 r(A)=r(B).(2)r(A)=r(B) AX=0和BX=0同解.(3) AX=0的解都是BX=0的解 r(A)r(B

3、). (4) AX=0的解都是BX=0的解 r(A)r(B). (5) r(A)r(B) AX=0的解都是BX=0的解.AX=0的解都是BX=0的解J AJB.r(JA)r(JB)即n-r(A)n-r(B).推論 如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.證記B=(b1, b2, bs),則AB=(Ab1, Ab2, Abs),于是AB=0Abi=0,i=1,2, ,s,即每個bi都是齊次方程組AX=0的解.即b1, b2, bs是J的部分組。則r(B)= r(b1, b2, bs) r(J)=n-r(A),即r(A)+r(B)n.例1求此齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系和通解.

4、 A=取定自由未知量寫出同解方程組對自由未知量賦值(輪流地取值1),得基礎(chǔ)解系 寫出通解:任意2007考題已知方程組和 x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解.有公共解聯(lián)立方程組有解當a=1時,有公共解當a=2時,有公共解當a1,2時,無公共解當a=1時,聯(lián)立方程組是齊次方程組,有非零解,基礎(chǔ)解系:通解(即公共解的一般形式):,任意a=2時,唯一解:求出解為:(0,1,-1)T例16 線性方程組的通解可以表示為 (A) (1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T, c任意. (B) (0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任

5、意.(C) (1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意. (D) (1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.例12 設(shè)x1,x2是非齊次方程組AX=b的兩個不同的解,h1,h2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個基礎(chǔ)解系,則它的通解為()(A)k1h1+k2h2+(x1-x2)/2. (B)k1h1+k2(h1-h2)+(x1+x2)/2.(C) k1h1+k2(x1-x2)+(x1-x2)/2. (D) k1h1+k2(x1-x2)+(x1+x2)/2.2009年考題, 求滿足Aa2=a1和A

6、2a3=a1的所有向量 a2和a3. 證明:在滿足的情況下,任意一對a2和a3與a1放在一起線性無關(guān) 即求AX=a1和A2X=a1的通解解 AX=a1:同解方程組:令求得特解AX=0的同解方程組:基礎(chǔ)解系由構(gòu)成的一般形式為,c任意A2X=a1:同解方程組 求出特解A2X=0的同解方程組 基礎(chǔ)解系 的一般形式:,任意例4 線性方程組的增廣矩陣為,又已知(1,-1,1,-1)T是它的一個解.(1) 用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.(2) 寫出滿足x2=x3的全部解.(04四)以(1,-1,1,-1)T代入,得a=b(1) 已有了特解,只用再求AX=0的基礎(chǔ)解系 當時得AX=0的同解方程組求出基礎(chǔ)解系:

7、和通解為 ,任意 當時得AX=0的同解方程組求出基礎(chǔ)解系:通解為 ,任意(2) 從原方程中找出滿足的解時: 即,得通解:當時即 得唯一解:例29 已知線性方程組有3個線性無關(guān)的解. 證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2. 求a,b的值和方程組的通解. 顯然 設(shè)是此方程組的3個線性無關(guān)的解,則是AX=0的兩個線性無關(guān)的解,于是即得由得,求出得同解方程組令,得一特解AX=0的同解方程組為求出基礎(chǔ)解系,通解為,任意例6 已知x1=(0,1,0)T和x2=(-3,2,2)T都是方程組的解,求通解.例8 設(shè)矩陣,其中線性無關(guān), 又設(shè),求的通解.(02一,二)做法一:設(shè)定 和 ,滿足條件,再求解做法二:即由得

8、特解x0=(1,1, 1, 1)T,由即,得(1,-2, 1, 0)TAX=0的一個解,構(gòu)成基礎(chǔ)解系通解:(1,1, 1, 1)T+c(1,-2, 1, 0)T,c任意例10已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0,矩陣 ,并且, 求齊次線性方程組的通解. (2005) 由得,)的3個列向量都是的解,則(1,2,3)T和(3,6,k)T 構(gòu)成基礎(chǔ)解系(注:(1,2,0)T和(0,0,1)T也構(gòu)成基礎(chǔ)解系!由于(3,6,k)T3(1,2,3)T(0,0,k-9)T是解,故(0,0,1)T也是解(1,2,0)T(1,2,3)T3(0,0,1)T也是解),則,得,則,(1,2,3)

9、T是基礎(chǔ)解系則與同解(b,-a,0)T,(c,0,-a)T都是解,取其中非零解與(1,2,3)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系(注:因為(1,2,3)T是解, a+2b+3c=0,a,b,c中不能有兩個為0所以(b,-a,0)T,(c,0,-a)T都非零解)問題:是否可以用(b,-a,0)T,(c,0,-a)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系答案:可能有危險第四講 向量組的線性關(guān)系與秩例 下列各選項中哪個成立,哪個不成立?(A) 如果ba1,a2,as,則對任意數(shù)c, cba1,a2,as.(B) 如果存在c,使得 cba1,a2,as,則ba1,a2,as.(C) 如果ba1,a2,as, ga1,a2,as,則b+ga1,a2

10、,as.(D) 如果ba1,a2,as, ga1,a2,as, 則b+ga1,a2,as.如果ba1,a2,as, ga1,a2,as,問題:b+g a1,a2,as.答: b+ga1,a2,as.例14已知b可用a1,a2,as線性表示,但不可用a1,a2,as-1線性表示證明as不可用a1,a2,as-1線性表示;as可用a1,a2,as-1,b線性表示 (2) 解:設(shè)(1)用反證法 如果則例15 a1,a2,a3,b線性無關(guān),而a1,a2,a3,g線性相關(guān),則(A) a1,a2,a3,cb+g線性相關(guān).(B) a1,a2,a3,cb+g線性無關(guān).(C) a1,a2,a3,b+cg線性相關(guān)

11、.(D) a1,a2,a3,b+cg線性無關(guān).2009年的一個題中: a10, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 證明a1,a2, a3線性無關(guān). (看題解) 證明:A 是3階矩陣,是3維非零列向量,使得,又 滿足, ,證明線性無關(guān)。證:方法一(用定義法)設(shè) (1),即,得 (1)化為A(1):,得 (1)化為 ,得方法二:,無關(guān)(否則 ,)所以 線性無關(guān)又 (否則,例14已知b可用a1,a2,as線性表示,但不可用a1,a2,as-1線性表示證明as不可用a1,a2,as-1線性表示;as可用a1,a2,as-1,b線性表示 r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2

12、,as-1,as). r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.例15中的向量組的秩:r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān),并且a1,求a. (05)秩4 得 1-2a=0 a=例3設(shè)a1=(1+a,1,1),a2=(1,1+b,1),a3=(1,1,1-b),問a,b滿足什么條件時r(a1,a2,a3)=2?1) 若 b=0 時秩)時秩為例4設(shè)a1=(1+,1,1),a2=(1,1+,1),a3=(1,1,1+),b=(0,,2)為何值時,b可用a1,a2,a3線性表示

13、,并且表示方式唯一?為何值時,b可用a1,a2,a3線性表示,并且表示方式不唯一?為何值時,b不可用a1,a2,a3線性表示? 當時,,當時,當,例7 設(shè)a1=(1,2,-3),a2=(3,0,1),a3=(9,6,-7),b1=(0,1,-1),b2=(a,2,1),b3=(b,1,0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3線性表示,求a,b.(00二)思路:先用這個條件求出b則例6設(shè)a1=(1,2,0,1),a2=(1,1,-1,0),a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值時, g1+kg2可

14、用a1,a2,a3線性表示?寫出表示式.解:得k= -1,例10 設(shè) a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).問a為什么數(shù)時a1,a2,a3,a4線性相關(guān)?在a1,a2,a3,a4線性相關(guān)時求其一個極大線性無關(guān)組,并且把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.解:顯然 a=0時,線性相關(guān),并且秩為1可得為極大無關(guān)組,若則當時,線性相關(guān),秩為3,取為極大無關(guān)組,例11設(shè) a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它們的下列

15、部分組中,是極大無關(guān)組的有哪幾個?(1) a1,a2,a3. (2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.解:a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5g1g2g3g4g5 是極大無關(guān)組的有(2),(4)例28 設(shè)A是mn矩陣,證明r(A)=1存在m維非零列向量a=(a1,a2,,a m)T和n維非零列向量b=(b1,b2,bn)T,使得A=ab T.證明: 設(shè),其中.則 得設(shè),由得中的每個非零向量構(gòu)成極大無關(guān)組。此時,每個,證,證,則 08年的一個考題 設(shè)a,b都是3為列向量, A=aaT+bb T. 證明 (1) r(A)2. (2) 如果a,b現(xiàn)性相關(guān)

16、,則r(A)n時, |AB |0. (B) 當mn 時, |AB |=0.(C) 當nm 時, |AB|0.(D) 當nm 時, |AB |=0. (99)是m階矩陣,問時:, 選(B)時 例26AB =0, A,B是兩個非零矩陣,則(A)A的列向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān).(B) A的列向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān).(C) A的行向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān). (04)AB =0,則r(A)+r(B)n,n為A的列數(shù),B的行數(shù).又r(A)0,r(B)0,得r(A) n,r(B)n.例16 已知n維向量組a1,a2,

17、as線性無關(guān),則n維向量組b1, b2, bs 也線性無關(guān)的充分必要條件為(A) a1,a2,as 可用b1, b2, bs線性表示.(B) b1, b2, bs可用a1,a2,as線性表示.(C) a1,a2,as 與b1, b2, bs等價.(D) 矩陣(a1,a2,as )和(b1, b2, bs)等價.解:矩陣等價,即可用初等變換互化 A與B等價A與B行,列數(shù)對應(yīng)相等,且(A) 是充分條件,不必要(B) 既不充分,又不必要(C) 是充分條件,不必要選(D)矩陣的等價 兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價. 矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.例17 設(shè)a1,a2

18、,as 都是n維向量,A是mn矩陣,下列選項中正確的是( ).(A) 若a1,a2,as線性相關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性相關(guān).(B) 若a1,a2,as線性相關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性無關(guān).(C) 若a1,a2,as線性無關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性相關(guān).(D) 若a1,a2,as線性無關(guān),則Aa1,Aa2,Aas線性無關(guān). (06)設(shè)c1,c2,cs不全為0使得 c1a1+c2a2+csas=0,則c1Aa1+c2Aa2+csAas=0.(Aa1,Aa2,Aas)= A(a1,a2,as) r(Aa1,Aa2,Aas)r(a1,a2,as)07年考題設(shè) a1,a2,a3 線性無關(guān),則( )線性相關(guān):(A) a1-a2,a2-a3,a3-a1;(B)a1+a2,a2+a3, a3+a1;(c) a1-2a2,a2-2a3,a3-2a1; (D) a1+2a2, a2+2a3,a3+2a1例22 設(shè) a1,a2,a3 線性無關(guān),則( )線性無關(guān):(A) a1+a2,a2+a3,a3-a1;(B) a1+a2,a2+a3, a1+2a2+a3;(C) a1+2a2,2a2+3a3,3a3+a1; (D) a1+a2+a3,2a1-3a2+22a3,3a1+5a2-5a3 (97三)看出(A),

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