彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變

1、第八章 彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變學(xué)時安排：3課時教學(xué)目的與要求：1、掌握應(yīng)力和應(yīng)變的相互關(guān)系、拉伸形變的胡克定律及其適用范圍；2、了解楊氏模量、泊松比、剪切模量、固體的彈性形變勢能、彈性形變勢能密度等概念；3、了解梁的彎曲、桿的扭轉(zhuǎn)的基本知識和結(jié)論。教學(xué)重點：彈性體的拉伸和壓縮。教學(xué)難點：應(yīng)力、楊氏模量、剪切模量、泊松比等概念的物理意義。習(xí)題：8.1.2 8.1.3 8.1.6Chapter8 彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變形變的分類：塑性形變：外力撤消后，形變不完全消失；彈性形變：外力撤消后，形變完全消失，此類物體為彈性體理想模型；本章的研究范圍：各向同性的均勻彈性體的彈性形變，均勻彈性體：體內(nèi)各點的彈性相同

2、。各向同性的彈性體：體內(nèi)各點的彈性與方向無關(guān)。彈性形變的種類：伸長、縮短、切變、扭轉(zhuǎn)、彎曲；彈性形變的基本種類：長應(yīng)變、切應(yīng)變。§81 彈性體的拉伸和壓縮一、外力、內(nèi)力與應(yīng)力1外力：對于給定物體，外界（其它物體）對它的作用力2內(nèi)力：物體內(nèi)部各部分之間的相互作用力。內(nèi)力的求法：外力物體形變內(nèi)力，為了研究內(nèi)力，用一假想的平面S將物體分為兩個部分：則S面的兩側(cè)的相互作用力內(nèi)力、求內(nèi)力的方法：隔離體法，S面的兩側(cè)分別為一個隔離體。物體處于平衡時，列出左側(cè)（或右側(cè)）隔離體的平衡方程式，由外力求內(nèi)力。S面上受力不均勻時，在S面上任一點（O點）處取面元，自受力一側(cè)指向施力物一側(cè)，是的外法向，確定了

3、即可確定的受力（內(nèi)力）。3應(yīng)力：描述物體內(nèi)部各點處內(nèi)力強度的物理量（1）定義：平均應(yīng)力： 應(yīng)力： 物理意義：作用于物體某點處某有向面元的平均應(yīng)力，當(dāng)面元時的極限該無限小有向面元上的應(yīng)力。正應(yīng)力：正應(yīng)力為在無窮小有向面元的外法向上的投影，取“+”有向面元的某一側(cè)受到另一側(cè)的拉力取“”有向面元的某一側(cè)受到另一側(cè)的壓力剪切應(yīng)力：，在無窮小有向面元的外法線垂直方向上的投影。單位：N/m2Pa （dyn/cm2）量綱式：dimp=L-1MT-2(2)直桿的正應(yīng)力： 如圖所示：對整個直桿而言，、為一對內(nèi)力，設(shè)桿的自重遠(yuǎn)小于外力，則有：，設(shè)應(yīng)力均勻分布，正應(yīng)力： 壓縮： 拉伸：二、直桿的線應(yīng)變絕對伸長量：

4、1絕對伸長（壓縮）量不能反映物體的形變程度2線應(yīng)變（相對伸長量）（1）整個直桿： 為一純數(shù)，無量綱（2）橫向形變：橫向應(yīng)變：3泊松系數(shù) 描寫物質(zhì)彈性特征的物理量常見材料的泊松系數(shù)的值：教材P242表81。三、胡克定律（Hooks Law）1、定律：對于拉伸（或壓縮）形變的彈性體，當(dāng)形變較小時（定律適用的條件）： （或） Y楊氏模量，單位： Pa2、楊氏模量（描寫材料本身彈性的物理量），Y：反映了材料對拉伸（或壓縮）形變的抵抗能力。對于一定的材料：拉伸和壓縮時，Y的值一般不同，計算時可近似認(rèn)為相等。常見材料的Y值：見教材P243表82四、拉伸和壓縮的形變勢能1、勢能彈簧形變所產(chǎn)生的力保守力勢能，

5、直桿長度變化時反抗形變的彈性力保守力勢能。選擇變量，形變前 =0，形變后 =則 A= （外力之功）所以 2、彈性形變的勢能密度： 例題：一根結(jié)構(gòu)均勻的彈性桿，密度為，楊氏模量為Y，將此桿豎直懸掛，使其上端固定，下端自由，試求桿中的應(yīng)力和桿的應(yīng)變及伸長量。解：彈性體在重力作用下，長變很小可以近似認(rèn)為不變，建立圖示的坐標(biāo)系，設(shè)桿的橫截面積為S。 考慮桿子上長為的一段，其伸長量為，則整個桿子的伸長量為：（思考：若桿子下端施加一個拉力F，則：（）§82 彈性體的剪切形變一、剪切形變、剪切應(yīng)力與應(yīng)變1、剪切形變物體受到力偶作用，使物體兩個平行截面間發(fā)生相對平行移動時的形變。發(fā)生平行移動的截面剪

6、切面，平行于這個平面的外力剪切力 2、剪切應(yīng)力與應(yīng)變（1）剪切應(yīng)力 設(shè)受力面積為S，則 單位：Pa 量綱式：L-1MT-2(2) 剪切應(yīng)力互等定律（剪切應(yīng)力的重要特征之一）如圖所示，隔離體保持平衡的條件：同時受四個力、和作用，設(shè)和分別表示上、下兩個底面和左、右兩個側(cè)面所受的切應(yīng)力，則有：即物理意義：作用于相互垂直的假想平面上并垂直于該兩平面交線的剪切應(yīng)力是相等的。（3）切應(yīng)變 定義： 因為很小，所以 ：切變角，無量綱，為一純數(shù)。二、剪切形變的胡克定律1、胡克定律：實驗表明，在一定彈性限度內(nèi)，。N剪切模量，反映了材料抵抗剪切形變的能力，其大小由材料的彈性決定。單位與Y相同2、泊松系數(shù)與N、Y之間

7、的關(guān)系：泊松系數(shù)是描寫物體橫向收縮和膨脹特性的物理量的定性解釋：詳見教材P2462473、剪切形變的彈性勢能密度考察底面為S，高為h的長方體： 剪切力的功： 彈性勢能 彈性勢能密度 §83 彎曲和扭轉(zhuǎn) 本節(jié)研究形變的另外兩種形式：彎曲和扭轉(zhuǎn)一、梁的彎曲考察橫截面為矩形（高為h，寬為b）的梁梁的彎曲是由程度不同的拉伸壓縮形變組成的，服從胡克定律：分布特點：中性層以上各層為壓縮應(yīng)力越上越大 中性層以下各層為拉伸應(yīng)力越下越大 中性層對應(yīng)力無貢獻(xiàn)。在二力偶作用下。中性層的曲率公式為： 式中為加于梁的力偶矩，Y為材料的楊氏模量。討論：；一定時， ，應(yīng)用：用工字鋼做鋼梁，或做成空心的梁，將矩形梁立著放置。二、桿的扭轉(zhuǎn) 扭轉(zhuǎn)形變：圓柱體在受到作用在與其軸線垂直的兩個平面內(nèi)的大小相等、方向相反的兩個力矩，就發(fā)生扭轉(zhuǎn)形變。圓柱體的扭轉(zhuǎn)角：圓柱體的兩端面相對轉(zhuǎn)過的角度 扭轉(zhuǎn)形變的實質(zhì)：由剪切形變組成。：底面算起，位于半徑為r處的軸向纖維的傾角，即與剪彩切形變相對應(yīng)體元的切應(yīng)變。在微小形變的條件下，狹長體元： 有剪切形變剪切應(yīng)力，內(nèi)外層的不同，也不同，抵抗形變的任務(wù)主要由外層材料來承擔(dān)。所以一般情況下，桿子做成空心的，外層材料較好。產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)的力偶矩與實心圓柱體的扭轉(zhuǎn)角有如下關(guān)系：。 其中扭轉(zhuǎn)系數(shù)一定時，這表明粗而短的柱體抵抗扭轉(zhuǎn)能