復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)提要

1、復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)提要中央電大數(shù)理教研室第7章：殘數(shù)及其應(yīng)用理解殘數(shù)的定義；熟練掌握計(jì)算殘數(shù)的方法； 理解殘數(shù)基本定理，熟練掌握用殘數(shù)理論計(jì)算積分。定義7.1 設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，為圓周：，若在上解析，則稱為在點(diǎn)的殘數(shù)（或留數(shù)），記作或，即 （7.1）例1 設(shè)，求解法1 由（7.1）式得 注意：這里的積分路徑的半徑并非只能取，只須使半徑小于1即可滿足定義7.1的條件解法2 因點(diǎn) 為的孤立奇點(diǎn)，所以，在內(nèi)有 由此得，依（7.2）式得解法3 因點(diǎn)為的一級(jí)極點(diǎn)，所以，依（7.3）式得 解法4 因點(diǎn)為的一級(jí)極點(diǎn)，所以，由（7.4）式得 定義7.2設(shè)為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，為圓周：，若在內(nèi)解析，則稱為

2、函數(shù)在點(diǎn)的殘數(shù)（或留數(shù)），記作或，即 （7.6）例2 設(shè)，求解 取圓周，由（7.6）式得定理7.1 設(shè)區(qū)域是由圍線的內(nèi)部構(gòu)成（如圖），若函數(shù)在內(nèi)除含有限個(gè)奇點(diǎn)外解析，且在上除點(diǎn)外連續(xù)，則 （7.8） a1c1 a2c2 a3c3 ancnGc例3計(jì)算積分解 首先，弄清被積函數(shù)在積分路徑內(nèi)部有無(wú)奇點(diǎn)由求出被積函數(shù)的奇點(diǎn)有 與 因，所以，又因，故，即在積分路徑內(nèi)部只有被積函數(shù)的一個(gè)奇點(diǎn)其次，經(jīng)檢驗(yàn)，由（7.8）式得 殘數(shù)在計(jì)算某些實(shí)積分上的應(yīng)用 （7.10） 例4 計(jì)算積分解 經(jīng)驗(yàn)證，此積分可用（7.10）式計(jì)算首先，求出在上半平面的全部奇點(diǎn)令即 于是，在上半平面的全部奇點(diǎn)只有兩個(gè)： 與 且知道，與均為的一級(jí)極點(diǎn)其次，算殘數(shù)，有 最后，將所得殘數(shù)代入（7.10）式得 (7.11)例5 計(jì)算積分解 經(jīng)驗(yàn)證，該積分可用（7.11）式計(jì)算首先，求出輔助函數(shù)在上半平面的全部奇點(diǎn)由解得與為的奇點(diǎn)，而，所以，在上半平面只有一個(gè)奇點(diǎn) ， 且為的一級(jí)極點(diǎn)其次，計(jì)算殘數(shù)有 最后，