論文常用不等式的應(yīng)用

1、xxx大學(xué)學(xué) 年 論 文 題 目 常用不等式的應(yīng)用 學(xué) 生 xx 指導(dǎo)教師 xxx 副教授 年 級(jí) xx級(jí) 專 業(yè) 系 別 學(xué) 院 xx大學(xué) 年 月 論 文 提 要在數(shù)學(xué)分析中，不等式不僅僅是一個(gè)重要并且有效的工具，也是數(shù)學(xué)分析中重要的研究對(duì)象。在許多證明和分析的過程中充分的體現(xiàn)了不等式的靈活性和巧妙性，例如在解決三角函數(shù)相關(guān)問題、求函數(shù)最值、解方程等方面都有重要作用，它使得一些比較復(fù)雜的問題迎刃而解。也正因?yàn)椴坏仁降倪@種多變性，使得不等式在證明過程中不只有一種形式，只有正確的掌握了不等式的運(yùn)用方法才能使解題更簡(jiǎn)單。本文通過幾個(gè)例子來具體說明不等式在證明過程中的運(yùn)用。常用不等式的應(yīng)用Xx摘要：

2、數(shù)學(xué)分析中的不等式是一個(gè)比較常用的解題方法，同時(shí)運(yùn)用不等式也是種簡(jiǎn)便的解題方法，但運(yùn)用不等式卻是一種技巧，想要熟練的掌握不等式的應(yīng)用就要多思考、多總結(jié)，本文列舉了數(shù)分中常用的不等式，并通過幾個(gè)例子對(duì)不等式的運(yùn)用進(jìn)行了說明。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析 不等式 證明一、數(shù)學(xué)分析中常用不等式舉例：數(shù)學(xué)分析中的不等式有較高的利用率，本文列舉了八個(gè)數(shù)學(xué)分析中較常用的不等式，并對(duì)它們運(yùn)用進(jìn)行說明。1、三角函數(shù)不等式：<<（0<x<）>1- (x) x（x0）常應(yīng)用在解決三角函數(shù)的證明和分析中2、積分不等式：設(shè)函數(shù)，在上可積，則有3、積分基本性質(zhì)中得不等式：若與為上的兩個(gè)可積函數(shù)且， 常

3、應(yīng)用于判別積分的單調(diào)性和大小等方面。4、詹森不等式：若為上的凸函數(shù)，則對(duì)任意，>0有。常應(yīng)用于函數(shù)凹凸性問題的分析解答5、柯西不等式：設(shè)為，則。6、平均值不等式：設(shè)為n個(gè)正整，且，則當(dāng)且僅當(dāng)所有都相等“=”成立。常和縮放法聯(lián)合運(yùn)用7、柯西-施瓦茨不等式: 設(shè) 常應(yīng)用在無窮級(jí)數(shù)和乘積的積分中，是柯西不等式的一個(gè)推廣8、三角不等式： 二、不等式的應(yīng)用舉例了解數(shù)學(xué)分析中比較常見的不等式，更要靈活的運(yùn)用這些不等式解決數(shù)學(xué)分析中的問題，以下就是對(duì)本文介紹的不等式的應(yīng)用舉例。（1） 柯西施瓦茨不等式及其他不等式的運(yùn)用說明例1：已知f在區(qū)間上可積，則證明不等式分析：利用柯西施瓦茨不等式構(gòu)造新的等式形式

4、，并建立如下的式子 f（x）=f（x）， g（x）=1 。 證：令f（x）=f（x），g（x）=1，則有 例2：證明若級(jí)數(shù)與收斂，則級(jí)數(shù)和也收斂 。 分析:靈活運(yùn)用柯西-施瓦茨不等式及不等式的轉(zhuǎn)化形式 證:運(yùn)用不等式知識(shí)有由于收斂，則有也收斂，而 故絕對(duì)收斂，由于故收斂。例3：若和在上可積，則。 分析：根據(jù)柯西不等式構(gòu)造推廣后的不等式，并構(gòu)造積分不等，再求關(guān)于t 的判別式。證:若與可積，則、都可積，且對(duì)任何實(shí)數(shù)t,也可積，又，故即由此推得關(guān)于t的二次三項(xiàng)式的別式非正， 總結(jié)：在不等式的證明過程中，柯-瓦茨不等式有這重要的作用，在解題時(shí)柯西施瓦茨不等式會(huì)與其他不等式聯(lián)合運(yùn)用，并通過改變不等式的形

5、式或構(gòu)造輔助函數(shù)完成證明過程，如在例1、例2、例3中都對(duì)不等式進(jìn)行了合理變化，并構(gòu)造了新的等式及不等式，又結(jié)合了積分的性質(zhì)和級(jí)數(shù)的斂散性等，使證明過程簡(jiǎn)便。（二）詹森不等式的應(yīng)用舉例例4：設(shè)證明下列不等式 及等號(hào)成立的條件？分析：利用詹森不等式及三角不等式證： + =所以 當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。= 在此處運(yùn)用不等式 0=所以等式成立的充要條件是=。例5：證明不的不等式，其中a，b，c均為正整數(shù) 。 分析：利用詹森不等式， 證：設(shè)>0，由的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可見，在x>0時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)，依據(jù)詹森不等式有，從而即又因，所以 總結(jié)：詹森不等式是凸函數(shù)理論中重要的不等式，應(yīng)用它可以證明著名的霍爾德不

6、等式，并可以用它來構(gòu)造其他形式的不等式對(duì)數(shù)學(xué)分析中的問題進(jìn)行解答，以上例題合理的將詹森不等式與其他不等式結(jié)合，充分的運(yùn)用了不等式的靈活性。（3） 絕對(duì)值與三角不等式的運(yùn)用舉例例6：證明在區(qū)間上一致連 。 分析：運(yùn)用三角函數(shù)不等式和利普希茨條件即可。 證：任意有，任意>0取，則，且<，有=<因此在上一致連續(xù)。例7：設(shè)x與y是中兩個(gè)不同的量，=，證明：U= 。 分析：利用三角不等式，構(gòu)造相應(yīng)的區(qū)間。 證：假設(shè)U，則存在，即<<，從而有=<=產(chǎn)生矛盾,于是=.例8：證明若=a則=當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)反之也成立。 分析：巧妙的運(yùn)用絕對(duì)值不等式證明絕對(duì)值的極限問題。 證:

7、可知>0存在>0，當(dāng)>時(shí)<而<故<因此= 總結(jié)：絕對(duì)值和三角不等式靈活多變技巧性強(qiáng)，在解決三角函數(shù)的證明和分析中有較高應(yīng)用，它們通過和函數(shù)單調(diào)性的和有界性的結(jié)合，能構(gòu)造出類似的不等式。也可將不含絕對(duì)值的等式轉(zhuǎn)化成含絕對(duì)值的等式，又可以直接運(yùn)用絕對(duì)值不等式的幾何意義，判定兩個(gè)不等式的大小關(guān)系。（4） 積分、平均值等不等式的舉例例9：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，證明級(jí)數(shù)也收斂 。 分析：運(yùn)用不等式 ab<，將其化為型 證：對(duì)>0，及任意正整數(shù)n有，0因級(jí)數(shù)收斂，由比較原則知級(jí)數(shù)收斂。例10：比較下列定積分與的大小。 分析：根據(jù)積分不等式，比較兩個(gè)積分區(qū)間相同的積

8、分大小，只要比較該積分區(qū)間上兩 個(gè)被積函數(shù)的大小 。 證：顯然在區(qū)間上，根據(jù)積分不等式得有因除外處處滿足>0，即>，已知，從而例11:設(shè)函數(shù)f（x）定義在區(qū)間I上，如果對(duì)于任何、及恒有 證明區(qū)間I的任意閉子區(qū)間上有界 。 分析：通過夠造出類似的不等式及結(jié)合有界性的性質(zhì)加以證明. 證：，則存在，使得，有，由已知不等式得： 其中；任意，令那么，所以，由，兩式知，再由m定義知，若令，則，則在區(qū)間上有界。例12證明為遞減數(shù)列，并由此推出為有界數(shù)列 。 分析：根據(jù)不等式>，（b>a>0)令， 證：由>整理得，>令，代入上式得>=>因此為遞減數(shù)列，因&

9、lt;=4 故<=<4于是為有界數(shù)列。 總結(jié)：積分不等式可以判斷函數(shù)是否可積，并能求出分段函數(shù)的定積分范圍，以的上不等式根據(jù)各自題型，可選取不同的形式，運(yùn)用定積分理論、函數(shù)的有界性及和萊布尼茨公式等，結(jié)合已知的條件證明不等式，還可以運(yùn)用它們的幾何意義求積分函數(shù)面積等。參考文獻(xiàn)：1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)），高等教育出版社 2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)），高等教育出版社3徐利治，數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講，高等教育出版社4鄭步南，數(shù)學(xué)分析典型題選講，廣西師范大學(xué)出版社5張帆，不等式證明的常見方法，高等函授學(xué)報(bào)學(xué)年論文成績(jī)表論文題目常用不等式的應(yīng)用作者指導(dǎo)教師職稱 指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ) 本文研究的主要問題是數(shù)學(xué)分析中常用不等式的應(yīng)用，這是一個(gè)在數(shù)學(xué)分析中比較常見的問題，本文引用了比較多的例題，對(duì)不等式的運(yùn)用方法進(jìn)行總結(jié)和分類。 本文能熟練地綜合運(yùn)用所學(xué)基本理論、基本知識(shí)，很好地獨(dú)立完學(xué)年成論文設(shè)計(jì)所規(guī)定的各項(xiàng)任務(wù)，并表現(xiàn)出較強(qiáng)的分析問題和解決問題的能力。有分析整理各類信息