解析幾何的認(rèn)知及其在代數(shù)中的一些應(yīng)用

1、解析幾何的認(rèn)知及其在代數(shù)中的一些應(yīng)用摘要：解析幾何是代數(shù)的工具，同時(shí)，解析幾何也為代數(shù)提供具體的實(shí)例模型，因此它們是不可分割、緊密聯(lián)系的。代數(shù)中的某些問(wèn)題,如果使用常規(guī)的解題方法，其過(guò)程可能相當(dāng)復(fù)雜，但如果巧用解析幾何的方法，則問(wèn)題的解決會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。而通過(guò)幾何學(xué)習(xí)，我們可以養(yǎng)成一種用幾何圖形來(lái)看待一些代數(shù)問(wèn)題的思維習(xí)慣，這樣是把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成具體、形象的幾何想象，或者如平常人們所說(shuō)的幾何直覺(jué)，這是我們學(xué)好數(shù)學(xué)甚至是各個(gè)分科的重要方法，也是對(duì)所有數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至對(duì)于最抽象的工作，有著重大的意義。文章將巧用解析幾何方法理解代數(shù)中的某些問(wèn)題。關(guān)鍵詞：解析幾何  代數(shù)

2、  行列式 矩陣  向量  關(guān)系理論Abstract: Analytic geometry is algebraic tools, algebra, analytic geometry also provides a concrete example model, so they are inseparable, closely linked. Some algebra problem, if you use a conventional problem-solving methods, the process can be quite complex, but

3、if the clever use of analytic geometry, the solution of the problem will become very simple. By geometry learning, we can develop the habit of thinking of a geometry to look at some algebra problems, such is the complexity of the problem is converted into a specific image geometry imagine, or as nor

4、mal people call 'geometric intuition', we even learn math in various branches of the method is also a of all mathematical branch of research, even the most abstract work of great significance. Article Using analytic geometry method to understand some of the problems in algebra.Keywords: Anal

5、ytic Geometry Algebra Determinant Matrix Vector Relations theory目錄一 解析幾何的產(chǎn)生11 代數(shù)的產(chǎn)生12 幾何的產(chǎn)生13 解析幾何的產(chǎn)生14 代數(shù)與解析幾何的關(guān)系1二 解析幾何的基本認(rèn)知及其作用21 代數(shù)一些概念的引入22代數(shù)的一些概念的幾何解析33 解析幾何的基本作用5三 解析幾何在代數(shù)中的一些運(yùn)用6四 總結(jié)9參考文獻(xiàn)9解析幾何的認(rèn)知及其在代數(shù)中的一些應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學(xué)世界中擁有100多個(gè)主要分支學(xué)科的龐大的“共和國(guó)”。大體說(shuō)來(lái)，數(shù)學(xué)中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學(xué)的范疇；研究形的部分，屬于幾何學(xué)的范疇；這兩大類(lèi)數(shù)學(xué)是整

6、個(gè)數(shù)學(xué)的本體與核心。文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問(wèn)題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門(mén)科學(xué)的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法”。 在他的幾何學(xué)一書(shū)中，提出了解析幾何學(xué)的基本思想和方法，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，使幾何曲線(xiàn)與代數(shù)方程相結(jié)合，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見(jiàn)，在近代微積分的創(chuàng)立中有著不可估量的作用。一、解析幾何的產(chǎn)生1、代數(shù)的產(chǎn)生在歷史長(zhǎng)河中，產(chǎn)生了古老的算術(shù)，然而，隨著社會(huì)的發(fā)展，越來(lái)越多的問(wèn)題擺在了數(shù)學(xué)家面前。為了

7、尋找較為普遍的方法來(lái)解決在算術(shù)里積累的大量數(shù)量問(wèn)題，古老的算術(shù)就必須進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展。在這個(gè)緩慢的過(guò)程中，便產(chǎn)生了代數(shù)學(xué)。至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，如果認(rèn)為“代數(shù)學(xué)”是指解bx+k=0這類(lèi)用符號(hào)表示的方程的技巧。那么,這種“代數(shù)學(xué)”是在十六世紀(jì)才發(fā)展起來(lái)的。如果我們對(duì)代數(shù)符號(hào)不是要求像現(xiàn)在這樣簡(jiǎn)練，那么，代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家刁藩都看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖。而在中國(guó)，用文字來(lái)表達(dá)的代數(shù)問(wèn)題出現(xiàn)的就更早了，比如九章算術(shù)中就有方程問(wèn)題。2、幾何的產(chǎn)生幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長(zhǎng)，內(nèi)容豐富。幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析

8、、代數(shù)等等具有同樣重要的地位， 并且關(guān)系極為密切。幾何產(chǎn)生于古埃及，其年代大約始于公元前3000年。早期的幾何學(xué)是關(guān)于長(zhǎng)度，角度，面積和體積的經(jīng)驗(yàn)原理，被用于滿(mǎn)足在測(cè)繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實(shí)際需要。埃及和巴比倫人都在畢達(dá)哥拉斯之前1500年就知道了畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺(tái)（截頭金字塔形）體積正確公式；而巴比倫有一個(gè)三角函數(shù)表。這被世界認(rèn)為是幾何產(chǎn)生的源頭。3、解析幾何的產(chǎn)生解析幾何產(chǎn)生于十七世紀(jì)的歐洲，當(dāng)時(shí)由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。比如，德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓

9、的一個(gè)焦點(diǎn)上；意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗(yàn)著拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線(xiàn)，要研究這些比較復(fù)雜的曲線(xiàn)，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作方法論，其中有一篇幾何學(xué)，幾何學(xué)共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線(xiàn)的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問(wèn)題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家都把笛卡爾的幾何學(xué)作為解析幾何的起點(diǎn)。4、代數(shù)與解析幾何的關(guān)系（1）、從代數(shù)與幾何的發(fā)展來(lái)看，代數(shù)與解析幾何從來(lái)就是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的。它們的關(guān)系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提

10、供直觀背景”。從內(nèi)容的聯(lián)系來(lái)看，兩門(mén)課之間存在著工具與對(duì)象的聯(lián)系。從概念的內(nèi)涵的外延來(lái)看，兩門(mén)課之間存在著特殊與一般的關(guān)系，解析幾何的一、二、三維空間是線(xiàn)性代數(shù)n維空間的特例，而線(xiàn)性空間的大量理論又是來(lái)源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）。（2）、解析幾何中的很多概念、方法都是應(yīng)用線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)、定義來(lái)刻畫(huà)、描述和表達(dá)的。例如，解析幾何中的向量的共線(xiàn)、共面的充分必要條件就是用線(xiàn)性運(yùn)算的線(xiàn)性相關(guān)來(lái)刻畫(huà)的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來(lái)表述，再如，解析幾何中的向量的向量積、混合積也是行列式工具來(lái)表示的典型事例。代數(shù)中的許多知識(shí)點(diǎn)的引入、敘述和刻畫(huà)亦用到解析幾何的概念或定義?？偟膩?lái)說(shuō)，一方面解析幾何是以

11、代數(shù)為主要研究工具的幾何學(xué)，沒(méi)有代數(shù)這個(gè)主要工具，就沒(méi)有解析幾何，而解析幾何又反過(guò)來(lái)為代數(shù)提供了幾何背景、解釋和研究課題，促進(jìn)代數(shù)的發(fā)展，因此，把它們結(jié)合起來(lái)是十分有必要的，另一方面兩門(mén)課的合并又有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合，從數(shù)學(xué)思想方法來(lái)看，兩知識(shí)點(diǎn)也具有統(tǒng)一性。拉格朗日說(shuō)過(guò)：“如果代數(shù)與幾何各自分開(kāi)發(fā)展，那它的進(jìn)步十分緩慢，而且應(yīng)用范圍也很有限，但若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則就會(huì)相互加強(qiáng)，并以快速的步伐向著完善化的方向猛進(jìn)。” 華羅庚先生也說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難細(xì)微”，可看出數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效策略，化數(shù)為形是理解代數(shù)題的常用技巧之一。那么，用解析幾何的方法研

12、究問(wèn)題的思路是什么？   上述流程圖是解析幾何最核心的部分，理應(yīng)沉淀下來(lái)并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)認(rèn)識(shí)的螺旋上升。二、解析幾何的基本認(rèn)知及其作用解析幾何的核心計(jì)算工具就是代數(shù)。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，代數(shù)有著一些重要的特點(diǎn)：邏輯推理的嚴(yán)密性，研究方法的公理性，代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性。而在學(xué)習(xí)中，其教學(xué)內(nèi)容主要有：多項(xiàng)式、行列式、線(xiàn)性方程組、矩陣、線(xiàn)性空間、線(xiàn)性變換等。另一方面，解析幾何主要研究二維實(shí)空間中的直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)、三維實(shí)空間中的平面與二次曲面、空間曲線(xiàn)和空間曲面的位置關(guān)系、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換。由此可以看出，兩門(mén)課程的內(nèi)容重復(fù)之處較多，而這種重復(fù)基本上是一般與特殊的關(guān)系

13、。因此從學(xué)生的認(rèn)知角度來(lái)看，兩門(mén)課程合并理解能讓學(xué)生在具體的幾何背景下更直觀地接受數(shù)學(xué)思想與方法，能充分地發(fā)揮兩門(mén)課內(nèi)容的互補(bǔ)作用，符合“數(shù)”與“形”結(jié)合的認(rèn)知規(guī)律，幾何的討論給代數(shù)提出了相關(guān)問(wèn)題，而代數(shù)研究的結(jié)果又可應(yīng)用到幾何中去，它們互為問(wèn)題、互為方法、相互交融，根據(jù)代數(shù)與解析幾何的密切關(guān)系，我們認(rèn)為在進(jìn)行代數(shù)與解析幾何的一體化學(xué)習(xí)中，首先應(yīng)介紹解析幾何方法，然后用它去解決一些問(wèn)題，這樣既可以輕松地完成解決代數(shù)的學(xué)習(xí)，同時(shí)學(xué)生也體會(huì)了幾何的妙處，加深了對(duì)代數(shù)的理解。1、代數(shù)一些概念的引入大多數(shù)學(xué)生都難以適應(yīng)代數(shù)的抽象概念的引入、推導(dǎo)和應(yīng)用。下面我通過(guò)一些實(shí)例，特別是幾何實(shí)例，引入代數(shù)的相關(guān)

14、概念，一方面可以讓學(xué)生了解抽象概念的來(lái)龍去脈，另一方面可以讓學(xué)生找到理解抽象概念的思維立足點(diǎn)。序號(hào) 實(shí)例代數(shù)的相關(guān)概念及理論1中學(xué)代數(shù)的多項(xiàng)式四則運(yùn)算多項(xiàng)式及其加、乘運(yùn)算的嚴(yán)格定義，并在此基礎(chǔ)上，介紹多項(xiàng)式的整除理論和最大公因式理論2中學(xué)代數(shù)的多項(xiàng)式因式分解方法用不可約多項(xiàng)式的嚴(yán)格定義解釋“不可再分解”的含義，給出了不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)、唯一分解定理及不可約多項(xiàng)式在三種常見(jiàn)數(shù)域上的判定3中學(xué)代數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的解法以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系給出了一元n次方程根的定義、復(fù)數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的個(gè)數(shù)、實(shí)系數(shù)一元n次方程根的特點(diǎn)、有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)以及

15、求法4中學(xué)代數(shù)的二元一次方程組、三元一次方程組的消元解法引入行列式的定義，進(jìn)一步介紹了線(xiàn)性方程組的行列式解法和矩陣消元解法，給出了線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)5中學(xué)幾何中的、及其向量對(duì)加法和數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足8條運(yùn)算規(guī)律，、中過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)、平面推廣為n維向量空間，通過(guò)8條運(yùn)算規(guī)律抽象出一般線(xiàn)性空間的概念，引入線(xiàn)性空間的子空間6中學(xué)幾何中的、的直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)線(xiàn)性空間的基，向量的坐標(biāo)7、中有心二次曲線(xiàn)和二次曲面的分類(lèi)二次型通過(guò)正交替換化為標(biāo)準(zhǔn)形8、中向量在一個(gè)給定向量或平面上的投影，坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換2、代數(shù)的一些概念的幾何解析代數(shù)中相關(guān)概念和定理的幾何解析，可以使學(xué)生更容易把握這些概念和定

16、理的幾何本質(zhì)，更容易直觀地理解這些抽象的概念和定理，從而可以提高學(xué)生運(yùn)用這些抽象的概念和定理去解題的能力。 2.1、線(xiàn)性代數(shù)中“線(xiàn)性”的幾何意義線(xiàn)性代數(shù)是代數(shù)的一個(gè)分支，有線(xiàn)性空間、線(xiàn)性映射、線(xiàn)性變換、線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性相關(guān)性等概念。那究竟這里的“線(xiàn)性”的直觀理解是什么？簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是因變量與自變量之間的關(guān)系可以描述為一條直線(xiàn)，例如線(xiàn)性函數(shù),最簡(jiǎn)單的情形就是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。而對(duì)于過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，其滿(mǎn)足加法線(xiàn)性和數(shù)乘線(xiàn)性，即，而且；或者這么概括：；一句話(huà)，線(xiàn)性組合的函數(shù)，等于函數(shù)的線(xiàn)性組合。22、行列式的幾何意義（1）二階行列式的幾何意義二階行列式是平面上以行向量和為鄰邊的平行四邊形的有向面積：若這個(gè)

17、平行四邊形是由向量沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到而得到的，面積取正值；若這個(gè)平行四邊形是由向量沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到而得到的，面積取負(fù)值。如上圖所示，,而。另外，二階行列式的另一個(gè)幾何意義就是兩個(gè)行向量或列向量的叉積的數(shù)值。（2）三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積，我們可以引用混合積這個(gè)概念來(lái)表示。向量、和的混合積。從三階行列式中，我們還可以得到一些簡(jiǎn)單的結(jié)論。推論1：三點(diǎn)、和共面的等價(jià)條件是。推論2：過(guò)平面上兩點(diǎn),的直線(xiàn)方程為。  2.3、矩陣乘積的幾何意義對(duì)于矩陣的乘積的幾何意義，我們首先要簡(jiǎn)單了解矩陣的發(fā)展歷程：1801年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高

18、斯把一個(gè)線(xiàn)性變換的全部系數(shù)作為一個(gè)整體；接著，在1844年，德國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)森斯坦討論了“變換”（矩陣）及其乘積；然后，于1850年，英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特首先使用矩陣一詞；之后，在1858年，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊發(fā)表關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄?bào)告。他首先將矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象加以研究，并在這個(gè)主題上首先發(fā)表了一系列文章，因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、兩矩陣的和、一個(gè)數(shù)與一個(gè)矩陣的數(shù)量積、兩個(gè)矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。矩陣實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)線(xiàn)性變換。矩陣乘積實(shí)質(zhì)就是線(xiàn)性變換的復(fù)合。下面來(lái)看平面中的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。例：給定一個(gè)線(xiàn)性變換，可以簡(jiǎn)單記為，

19、其中 ； 另有一個(gè)線(xiàn)性變換，簡(jiǎn)記為，其中。則通過(guò)復(fù)合，我們得到一個(gè)新的線(xiàn)性變換，即,其中 。另一方面，又有，于是我們可以定義2.4、向量組線(xiàn)性相關(guān)(無(wú)關(guān))與幾何中向量共面、共線(xiàn)之間的關(guān)系若是三維空間的向量,則:線(xiàn)性相關(guān); 線(xiàn)性相關(guān); 線(xiàn)性相關(guān)對(duì)應(yīng)幾何直觀分別為為零向量; 共線(xiàn); 共面。因此,一維空間的基是空間中任意一個(gè)非零向量;二維空間的基是空間中兩個(gè)不共線(xiàn)向量;三維空間的基是空間中3個(gè)不共面的向量組成的。2.5、向量組正交化的幾何解釋線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組可以由Schmidt正交化得到與其等價(jià)的正交組,它的幾何解釋為：如果有3個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量,則可以通過(guò)Schmidt正交化得到相應(yīng)的3個(gè)正交向量,

20、。這里,其中為在上的投影向量; 為在,所確定的平面上的垂直投影向量。3、解析幾何的基本作用前面通過(guò)一些簡(jiǎn)單的介紹，說(shuō)明了我們可以將一些抽象的代數(shù)概念直觀化、幾何化。另一方面，一些幾何問(wèn)題，我們可以通過(guò)引入坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，這個(gè)就是解析幾何的基本思想。下面舉些例子具體說(shuō)明。我們擬從直線(xiàn)與封閉曲線(xiàn)（圓、橢圓）、直線(xiàn)與非封閉曲線(xiàn)（拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)）兩方面探索直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系。例1.已知直線(xiàn)，橢圓，試判斷直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系。意圖1：體會(huì)幾何特征是怎樣轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式的；意圖2：通過(guò)實(shí)例總結(jié)判斷直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：分析：直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，實(shí)際上就是指直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)在圖像上

21、交點(diǎn)個(gè)數(shù)。而直線(xiàn)或橢圓的圖像，在代數(shù)上就是其各自的方程，從而：圖像上交點(diǎn)個(gè)數(shù)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)組成的方程組解的個(gè)數(shù)。這樣，我們最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題例2.已知直線(xiàn)，橢圓  ，（1）試判斷直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系；（2）若相交，求交弦的長(zhǎng)；分析：（1）直線(xiàn)上的點(diǎn)在橢圓上，從而我們很容易知道兩者是相交的。這個(gè)問(wèn)題說(shuō)明直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系還可以利用數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)的方法來(lái)解決，體現(xiàn)銜接。（2）方法1：直接聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng)方法2：設(shè)交點(diǎn),，則有弦長(zhǎng)公式：，對(duì)聯(lián)立的方程組利用韋達(dá)定理，對(duì)交點(diǎn)設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算?；仡櫶幚韴A中弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法

22、，由于橢圓沒(méi)有圓的完美對(duì)稱(chēng)性，故在圓中利用半徑、半弦、邊心距組成的直角三角形求弦長(zhǎng)的方法失效了。需要說(shuō)明的是，上述弦長(zhǎng)公式也適用于求與圓有關(guān)的弦長(zhǎng)。例3：已知直線(xiàn)，橢圓，相交于、兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，求中點(diǎn)的軌跡方程。分析：設(shè)交點(diǎn),，中點(diǎn)，則，同上例解法，對(duì)聯(lián)立的方程組利用韋達(dá)定理，對(duì)交點(diǎn)設(shè)而不求。以上一些例子就是把幾何問(wèn)題，引入坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。其解決問(wèn)題的方法就是運(yùn)用解析幾何處理具體問(wèn)題的基本方法。三、解析幾何在代數(shù)中的一些運(yùn)用著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾通過(guò)坐標(biāo)系，將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)的方程，從而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究。這種處理方法推動(dòng)了近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。既然通過(guò)坐標(biāo)系可以把圖形

23、和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，那么，我們也可以把代數(shù)方程看成是某種圖形來(lái)加以研究，也就是我們常說(shuō)的笛卡爾方法。例1. 解方程。分析：我們知道要去根號(hào)，需經(jīng)兩平方才行，我們不妨試一試從幾何上進(jìn)行分析。先將方程左端根號(hào)下的二次三項(xiàng)式配方，得到。再將方程左端有根號(hào)的兩項(xiàng)表示成兩個(gè)距離，即 。后面這個(gè)方程組具有明顯的幾何意義：方程組中第一個(gè)方程表示到兩個(gè)定點(diǎn)及距離之和為定數(shù)20的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即半長(zhǎng)軸,半焦距 (因而短半軸)的橢圓；組中第二個(gè)方程表示平行于x軸的兩條平行線(xiàn)。上述橢圓與兩條平行線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，就是方程組的解，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是原方程的解。由方程組可得，解得,此即原方程的解。例2. 已知，適合,求函數(shù)的

24、最大值和最小值？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們同樣從幾何上加以分析：方程表示一個(gè)圓，圓心,半徑為1。，適合方程，表示點(diǎn)在圓上。而所求函數(shù)表示長(zhǎng)的平方的3倍，即,此處為坐標(biāo)原點(diǎn)。于是本題轉(zhuǎn)化為求當(dāng)點(diǎn)在已知圓上變動(dòng)時(shí)，的最大值和最小值。為此，需先求出的最大值和最小值，即求坐標(biāo)原點(diǎn)與已知圓上的點(diǎn)的距離的最大值和最小值。連結(jié)與圓心，線(xiàn)段及其延長(zhǎng)線(xiàn)分別交圓于及,則及即為的最大值和最小值（這是因?yàn)?，?duì)于圓上任意一點(diǎn)，,).由, ,得, .所以的最大值, 的最大值。以上都是些簡(jiǎn)單的例子，那么對(duì)于復(fù)雜些的例子，我們要怎么來(lái)入手解決呢？下面我們就來(lái)介紹解三次和四次代數(shù)方程的笛卡兒方法，看一看笛卡兒又是如何創(chuàng)造性地把解析幾何

25、用于研究解決代數(shù)問(wèn)題的。首先，我們指出，任意一個(gè)三次和四次代數(shù)方程，都可以化成解如下形式的四次方程： （1）這是因?yàn)?，?duì)于任意一個(gè)三次方程,只要令，就可以得到把上式展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，由于項(xiàng)的系數(shù)互相抵消，我們得到。這個(gè)方程各項(xiàng)乘以，使它增加一個(gè)根,我們就得到形如（1）的方程，其中。對(duì)于四次方程，只要令,可得同理，由于項(xiàng)的系數(shù)互相抵消，我們就得到形如（1）的方程。那又如何來(lái)解形如（1）的四次方程呢？笛卡兒考慮以為中心，為半徑的圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，即解方程組。將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程，得到的四次方程。如果適當(dāng)選取使，即只需取則我們得到的正是方程（1），為此只須取 ,， (2)在方程（1）有實(shí)根的情

26、形下，上述是正數(shù)。這時(shí)方程 表示圓，且方程（1）的全部實(shí)根都是上述圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。特別地，當(dāng)時(shí)，上述圓通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，因此它與拋物線(xiàn)的諸交點(diǎn)中，有一個(gè)交點(diǎn)是原點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零，即當(dāng)時(shí)，方程（1）的諸根中有一個(gè)根為零。我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子。例. 用笛卡兒方法解四次方程：。分析：這里 , , 。 由公式（2）得到 ， ，畫(huà)出以為中心，2為半徑的圓及拋物線(xiàn)y=x的圖形，可知圖中四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo), ,即為上述四次方程的四個(gè)實(shí)根。我們?cè)賮?lái)看看以下兩個(gè)例子，就更能清楚直接的體會(huì)到用解析幾何怎樣巧解一些代數(shù)問(wèn)題了。例1：已知實(shí)數(shù)， 滿(mǎn)足,求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù),有 。 （1）分析：本題若通過(guò)代數(shù)一般運(yùn)算來(lái)解

27、，要經(jīng)過(guò)兩次平方才能去掉根號(hào)，過(guò)程很繁瑣，但如果我們轉(zhuǎn)而從幾何上來(lái)分析，也就是用解析幾何的眼光來(lái)看待式（1）。那就是把此式放到坐標(biāo)系中考察，看其是否具有某種幾何意義。通過(guò)坐標(biāo)系我們?nèi)菀卓闯?，式?）所包含的三個(gè)根式各表示一個(gè)兩點(diǎn)間的距離。只要把,及分別為設(shè)為三個(gè)點(diǎn),的坐標(biāo)，則代數(shù)不等式（1）就轉(zhuǎn)化成幾何不等式 ( 2 )已知條件說(shuō)明，即和兩點(diǎn)不重合。從幾何可知，當(dāng)點(diǎn)不在線(xiàn)段上時(shí)，式（2）中的大于號(hào)成立；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，式（2）中的等號(hào)成立。于是對(duì)于所有的點(diǎn)P，式（2）成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù),，式（1）成立。例2：若0, ,求證 ， （1）并求等式成立的條件。分析：從幾何上來(lái)分析，也就是將式（1）放在坐標(biāo)系中考察其是否具有某種幾何意義。式（1）左端各項(xiàng)皆表示兩點(diǎn)間的距離，我們只要設(shè),，就可將代數(shù)不等式（1）轉(zhuǎn)化為幾何不等式 (2)由幾何知, ,于是不等式（2）成立，因而不等式（1）成立。 特別地，僅且當(dāng)且點(diǎn)在上又在上，即為正方形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，式（2）中的等號(hào)成立，而點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此僅且當(dāng)且， 時(shí)，不等式（1）中的等號(hào)成立。在上述兩例中，由于式（1）的幾何意義比較明顯，一眼就能看出，因此只要我們想到從幾何上來(lái)分析，也就是只要我們想到用解析幾何的眼光來(lái)