含參變量的積分

1、含參變量的積分1含參變量的正常積分2.求F F(x)COSX x e sin xdy; F(x)b xsin(xy),dya xx2t2f (t,s)ds dt.求以下極限：limx2a2dx ；a 012limx2 cosax dx ；a 001 adxlim2 21.(X)，其中:x aX22 F(x) x e xy dy ;3.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù),1xxF(x)h2 00f (x)d d求 F"(x).4.研究函數(shù)F(y)1 yf(xdx0 x y的連續(xù)性，其中f (x)是0, 1上連續(xù)且為正的函數(shù).5應(yīng)用積分號(hào)下求導(dǎo)法求以下積分：52(1)0 ln(a2sin x)dx (

2、a 1);(2) 0 ln(122acosx a )dx (|a | 1);"22(3)0 ln(a2 2 2sin x b cos x)dx (a,b0)；p arctan(atanx), 八,1).(4) 02tanx dx (|a 16應(yīng)用積分交換次序求以下積分:0,b0)1 xb(1) 0韋axdx (ax1 0sinIn1xbxIn xax dx (a0,b 0).7設(shè)f為可微函數(shù)，試求以下函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):(1) F(x)x0 (x y)f (y)dy; F(x)ba f(y)|xy dy (ab)；&證明:00(x21 1 2 211 x ydy 2 ydx.00

3、 (x2 y2)2y2dx，問是否成立9設(shè) F(y)F(0)01加廠小曲10.設(shè)2F(x) 0xcosecos(xsin )d求證F(x) 2 .11設(shè)f (x)為兩次可微函數(shù)，(x)為可微函數(shù)，證明函數(shù)1 u(x,t) - f (x2滿足弦振動(dòng)方程1x atat)f(xat)2a at (z)dz22u2u丄2a -2tx及初始條件u(x,0)f (x),ut(x,0)(x).2含參變量的廣義積分1證明以下積分在指定的區(qū)間內(nèi)一致收斂：cos(xy)0 2dy (x a 0)；0 x y(2) 0$dy ( x )；01 y(3) 1 yxe ydy (a x b)；(4) 1 e xy C0

4、孚dy (p 0,x 0)；1 y2sin x , z c、(5) 0 pdx (p 0).0 1 x2 討論以下積分在指定區(qū)間上的一致收斂性：(1) 0 、e "dx (0)；(2) 0 xe xydy ,ix a,b (a 0) , ii x 0, b；(3) e (x )dx ,ia b ,ii;(4) o e x (1 此 sin xdy (0 x ).3.設(shè)f(t)在t 0連續(xù)，o t f (t)dt當(dāng) a, b皆收斂，且a b。 求證： t f(t)dt關(guān)于在a,b 致收斂04討論以下函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性：x(1) F(x) 0 dy，x (,)；0 x y2(2)

5、F(x) 0 y xdy，x F(x) 0sinydy , x (°,2).0 y ( y) ；0 1 y5假設(shè)f(x,y)在a,b c,)上連續(xù)，含參變量廣義積分I(x) c f(x, y)dy在a,b)收斂，在xb時(shí)發(fā)散，證明I (x)在a,b)不一致收斂6 .含參變量的廣義積分I(x)f (x, y)dy在a,b一致收斂的充要條件是：對(duì)任趨于的遞增數(shù)列An其中A c，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)An iA f (x,y)dyUn(x)n 1在a,b上一致收斂7用上題的結(jié)論證明含參變量廣義積分I(x) f(x,y)dy在a,bc&利用微分交換次序計(jì)算以下積分：dx(1) In(a)02 市

6、n為正整數(shù)，a 0；0 (x a)axbx0,b0;e esin mxdxxx2(3)o xe sinbxdx (0).9用對(duì)參數(shù)的積分法計(jì)算以下積分:(1)ax2bx2e edxx0,b0丨；axbx 0esinmxdxa10利用0,b0.y(1 x2)dy計(jì)算拉普拉斯積分cos xdx1 xL1xsin x ,2 dx.1 x211.利用1"xxy2dy (x 0)計(jì)算傅倫涅爾積分0 sin x2dxFio cosx2dxsin xcosxdxdx .12.利用積分sin x , dxx2x dx計(jì)算以下積分:(1).4 sin xdx;xsin ycosyx , dy ;Xdx

7、 (a 0)；2(ax bx c)dx (a 0)2(x2 a_)x dx (a0).13求以下積分：1 et(1)costdt ;0 tln(11x2)2xdx.14.證明：11(1)0ln(xy)dy在,b (b 1)上一致收斂;0b1 dx-在(，b (b 1)上一致收斂.0 xy3 歐拉積分1利用歐拉積分計(jì)算以下積分:(1)dx ；1 x400 Cdx ；0 ,x02ta nnxdx ；(1. x)dx；0 x2、a2 x2)dx (a 0)；sin6 x cos4 xdx ；dx1 x4 'x2ne x dx n為正整數(shù)；(8)dx一 3 cosx(9)02sin2n xdxn為正整數(shù)；(10)1xm In10 x1dx n為正整數(shù).ln -pdx ；2將以下積分用