考前自我保持狀態(tài)參考題

1、考前自我保持狀態(tài)參考題1 考前10天1（本小題共14分）設(shè)aR，函數(shù)f(x)=e-x(a+ax-x2) （e是自然對數(shù)的底數(shù)） .若a=1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1)處的切線方程.判斷f(x)在R上的單調(diào)性解：Qf(x)=e-x(a+ax-x2)f'(x)=-e-x(a+ax-x2)+e-x(a-2x)=e-xxx-(a+2)_3分（1）當(dāng)a=1時f'(x)=e-xx(x-3)，f'(-1)=4e，f(-1)=-e_5分切線方程為y+e=4e(x+1)即4ex-y+3e=0，_7分（2）令f'(x)=0得x=0，x=a+2當(dāng)a+2>0即a&g

2、t;-2時，f'(x)>0f(x)在(-,0)，(a+2,+)單調(diào)遞增 在(0,a+2)單調(diào)遞減_10分當(dāng)a+2<0即a<-2時，f'(x)<0f(x)在(-,a+2)，(0,+)單調(diào)遞增在(a+2,0)單調(diào)遞減_12分-x2當(dāng)a+2=0，即a=-2時，f'(x)=ex0，f(x)在R上單調(diào)遞增_14分2（本小題共14分）uuuruuuruuuruuur已知兩點(diǎn)M(0,1)N(0,-1)，平面上動點(diǎn)P(x,y)滿足|NM|MP|+MNNP=0.求動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程；.設(shè)Q(0,m)，R(0,-m)（m0）是y軸上兩點(diǎn)，過Q作直線與曲線

3、C交于A、B兩點(diǎn)，試證：直線RA、RB與y軸所成的銳角相等；.在的條件中，若m<0，直線AB的斜率為1，求VRAB面積的最大值.uuuuruuuuruuuruuur解：.Q|NM|MP|+MNNP=0，(0,-2)(x,y+1)=0_2分化簡整理得x2=4y動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C為拋物線，其方程為：x2=4y_4分. Q過Q作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，l的斜率k存在y=kx+m2l設(shè)直線：y=kx+m與x=4y聯(lián)立，2 x=4y消去y得x-4kx-4m=0 _6分則此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，V=16k+16m>0，*設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=4k

4、，x1x2-4m _7分要證直線RA、RB與y軸所成的銳角相等，只要證明kRA+kRB=0, _8分 2x12x2Qy1=，y2= 442x12x2+m+mxmxmy1+my2+m=+=1+2+ =+x1x24x14x2x1x222kRA+kRBm(x1+x2)1m1=(x1+x2)+=(x1+x2) +=0，命題成立. _10分 4x1x24-4m2.若直線AB的斜率k=1，直線x-y+m=0，由.知消去y得x-4x-4m=0，由*式>0得m>-1，-1<m<0，且x1+x2=4，x1x2-4m|AB|=記點(diǎn)R到AB的距離為d，dR-ABm|, _12分SVRAB=1

5、|AB|d=m|=f(m)=m3+m2 222f'(m)=3m2+2m 令f'(x)>0知f(m)在 -1,-遞增，在 -,0遞減， 332._14分 當(dāng)m=-時f(m)有最大值，故SRAB最大值為392 考前9天1已知函數(shù)f(x)=lnx+a-x,其中a為大于零的常數(shù). x（I）若曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與直線y=1-2x平行，求a的值； （II）求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上的最小值. 解：f'(x)=1-x-(a-x)1ax-a+=-2=2(x>0) .4分 xx2xxx（I）因為曲線y=f(x)在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線與直線y=

6、1-2x平行， 所以f'(1)=-2，即1-a=-2,解得a=3.6分 (II)當(dāng)0<a1時，f'(x)>0在（1，2）上恒成立，這時f(x)在1，2上為增函數(shù)f(x)min=f(1)=a-1.8分 當(dāng)1<a<2時，由f'(x)=0得，x=a(1,2)對于x(1,a)有f'(x)<0,f(x)在1，a上為減函數(shù)，對于x(a,2)有f'(x)>0,f(x)在a，2上為增函數(shù)，f(x)min=f(a)=lna.11分 當(dāng)a2時，f'(x)<0在（1，2）上恒成立，這時f(x)在1，2上為減函數(shù)， f(x)mi

7、n=f(2)=ln2+a-1. 2綜上，f(x)在1，2上的最小值為 當(dāng)0<a1時，f(x)min=a-1, 當(dāng)1<a<2時，f(x)min=lna， 當(dāng)a2時，f(x)min=ln2+a-1 .13分 2x2y222已知橢圓C:2+2=1(a>b>0)的長軸長為e=. ab2（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若過點(diǎn)B（2，0）的直線l（斜率不等于零）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），且OBE與OBF的面積之比為1，求直線l的方程. 2ce=a22xy解：（I）橢圓C的方程為2+2=1(a>b>0)，由已知得2a= .3分 aba2=b2

8、+c2解得ab=1,c=1 x2+y2=1 5分 所求橢圓的方程為2(II)由題意知l的斜率存在且不為零，x2+y2=1，整理得 設(shè)l方程為x=my+2(m0) ，將代入2(m2+2)y2+4my+2=0，由>0得m2>2.7分-4my+y=21m2+2設(shè)E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，則 8分 2yy=12m2+2由已知， SOBE1|BE|1= =， 則|BF|2SOBF2由此可知，BF=2BE，即y2=2y1.9分 -4m3y=216m221m2+2代入得，消去y1得2 =2229(m+2)m+22y2=1m2+2解得，m=2182，滿足m>2.7即m=.12分所以

9、，所求直線l的方程為7x-14=0或7x+-14=0.13分3 考前8天x2y21已知橢圓2+2=1(a>b>0)ab直線l:y=kx+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B（）求橢圓的方程；（）若m=k，且OAOB=0，求k的值（O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線lAOB面積的最大值 c=解：（）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意a3，解得c= a=由a=b+c，得b=1. 2分 222x22所求橢圓方程為+y=1. 3分 3（） m=k,y=kx+k=k(x+1).x22+y=1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐標(biāo)滿足方程3消去y并整理得 y=k(x+1).(1+3k)x+6kx+

10、3k-3=0， 4分2 則=6k2222()2-4(1+3k2)(3k2-3)>0(*) 5分 -6k23k2-3,x1x2=.故x1+x2= 6分 1+3k21+3k2OAOB=0，x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)k(x2+1) 7分222=(1+k)xx+k(x+x)+k12123k2-3-6k22=(1+k+k 1+3k21+3k22+k2k2-32=03k+1k=.經(jīng)檢驗k=（）(*)式 . 8分3可得m2=(k2+1). 9分 4將y=kx+m代入橢圓方程，整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0. =(6km)-4(1+3k2)(3m2-3)>0(

11、*) 2-6km3m2-3x1+x2=,x1x2=. 10分 221+3k1+3k36k2m212(m2-1)AB=(1+k)(x2-x1)=(1+k)2- 22(3k+1)3k+1222212(k2+1)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)= = 11分 (3k2+1)2(3k2+1)212k21212=3+=3+3+=4(k0) 12分 19k4+6k2+123+629k+2+6k1即k=.，k2經(jīng)檢驗，k=±(*)式. 當(dāng)k=0時AB= 13分當(dāng)且僅當(dāng)9k2=綜上可知ABmax=2，1當(dāng)AB最大時，AOB的面積取最大值S=2=14分 222.p2已知函數(shù)f(x)=p

12、x-2lnx. x（）若p=2，求曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程；（）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)p的取值范圍； （）設(shè)函數(shù)g(x)=2e，若在1,e上至少存在一點(diǎn)x0，使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)x數(shù)p的取值范圍.解：（）當(dāng)p=2時，函數(shù)f(x)=2x-2-2lnx， f(1)=2-2-2ln1=0 xf'(x)=2+22-， 2xx曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的斜率為f'(1)=2+2-2=2 1分從而曲線f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為y-0=2(x-1)，即y=2x-2 2分 p2px2-2x+p（）f'(x)

13、=p+2-= 3分 2xxx令h(x)=px2-2x+p，要使f(x)在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，只需h(x)0在(0,+)內(nèi)恒成立. 4分由題意p0，h(x)=px2-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為11(0,+)，h(x)min=p-， pp1只需p-0，即p1時,h(x)0,f'(x)0， px=f(x)在(0,+)內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)p的取值范圍是1,+). 6分 （）g(x)=2e在1,e上是減函數(shù)， xx=e時，g(x)min=2； x=1時，g(x)max=2e，即g(x)2,2e， 7分當(dāng)p0時，h(x)=px2-2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸

14、x=軸的左側(cè)，且h(0)<0，所以f(x)在x1,e內(nèi)是減函數(shù)當(dāng)p=0時，h(x)=-2x，因為x1,e，所以h(x)0，f'(x)=-此時，f(x)在x1,e內(nèi)是減函數(shù)故當(dāng)p0時，f(x)在1,e上單調(diào)遞減f(x)max=f(1)=0<2，不合題意；9分當(dāng)0p1時，由x1,ex-所以f(x)=p(x-)-2lnxx-1在yp2x0， x210， x1x1-2lnx x又由（）知當(dāng)p=1時，f(x)在1,e上是增函數(shù)，x-111-2lnxe-2lne=e-22，不合題意； 11分 xee當(dāng)p1時，由（）知f(x)在1,e上是增函數(shù)，f(1)=0<2，又g(x)在1,e

15、上是減函數(shù)，故只需f(x)maxg(x)min，x1,e， 而f(x)max=f(e)=p(e-)-2lne，g(x)min=2， 1e1e4e解得p2 ， e-1即 p(e-)-2lne>2，所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是(4e，+). 13分 2e-14 考前7天321已知x0,1，函數(shù)f(x)=x-ln(x+)，g(x)=x-3ax-4a 212（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；（）設(shè)a-1,若x10,1，總存在x00,1，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范圍解：（）f/(x)=2x-11x+2 1分令f'(x)=0 解得：x=列表：1,2x=-1（舍去） 2分2可知f

16、(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,)，增區(qū)間是(,1)； 5分 2因為 13<1-ln=ln2-(ln3-1)<ln2， 42所以 當(dāng)x0,1時，f(x)的值域為,ln2 6分 （）g/(x)=3(x2-a2)因為a-1，x(0,1)所以g/(x)<0， 8分 14g(x)為0，1上的減函數(shù)，g(1)g(x)g(0)所以g(x)1-4a-3a2,-4a 9分因為 當(dāng)x0,1時，f(x)的值域為,ln2 由題意知：,ln21-4a-3a,-4a 所以1414211-4a-3a24 11分-4aln23又a-1，得a- 13分 22已知F,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，A、B為

17、過F1的直線與橢圓的交點(diǎn)，且1(-1F2AB的周長為4（）求橢圓C的方程； （）判斷11是否為定值，若是求出這個值，若不是說明理由. +F1AF1B解：（）由橢圓定義可知，4a=，c=1 2分所以a=b=x2y2+=1 5分 所以橢圓方程為32（）設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)（1） 當(dāng)直線斜率不存在時，有x1=x2=-1，y1=，y2=- 3311+= 6分 F1AF1B（2） 當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x+1)代入橢圓方程，并整理得： (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0 7分 6k23k2-6,x1x2=所以x1+x2=-（或求出x1,x2的值）2+3k22+3

18、k2所以11 +F1AF1Bx1-x211 +)=x1+x2+1x1x2+x1+x2+1=12分所以11+=13分 F1AF1B5 考前6天1（本小題滿分14分）已知x=3是函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x-10x的一個極值點(diǎn). 2（）求a；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點(diǎn)，求b的取值范圍.'解：（）因為f(x)= a+2x-10 2分 1+xa' 所以f(3)=+6-10=0 4因此a=16. 4分 （）由（）知，fn(x)=16l(+1xxx,(-1,+)+2x-10) f'(x)=2(x2-4x+3)1+x. 6分

19、'當(dāng)x(-1,1) (3,+)時，f當(dāng)x(1,3)時，f'(x)>0; (x)<0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-1,1),(3,+);f(x)的單調(diào)減區(qū)間是.(1,3) 9分 （）由（）知，f(x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)增加，在(1,3)內(nèi)單調(diào)減少，在(3,+)上單調(diào)增加，且當(dāng)x=1或x=3時，f'(x)=0. 10分 所以f(x)的極大值為f(1)=16ln2-9，極小值為f(3)=32ln2-21.12分 所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(-1,1),(1,3),(3,+)直線y=b有y=f(x)的圖象各有一個交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)

20、.因此，b的取值范圍為(32ln2-21,16ln2-9). 14分2. (本題滿分14分)x2y2在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：2+2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.其ab5中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=. 3（1）求C1的方程； （2）平面上的點(diǎn)N滿足MN=MF1+MF2，直線lMN，且與C1交于A、B兩點(diǎn)，若 OA·OB=0，求直線l的方程.解：（）由C2：y=4x知F2(1，0)1分 設(shè)M(x1，y1)，M在C2上，因為MF2=得x1=255，所以x1+1=， 332，y1= 3分 384

21、2+2=1，M在C1上，且橢圓C1的半焦距c=1，于是9a5分 3bb2=a2-1.消去b2并整理得 9a4-37a2+4=0， 解得a=2（a=1不合題意，舍去） 3x2y2+=1 7分 故橢圓C1的方程為43O， （）由MF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)1+MF2=MN知四邊形MF因為lMN，所以l與OM的斜率相同，故l的斜率k= 3設(shè)l的方程為y=x-m) 8分223x+4y=12，由 9分 y=x-m)，22消去y并化簡得 9x-16mx+8m-4=0 10分8m2-416m設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1+x2=，x1x2=.11分 99因為OAOB，所以x1x2+

22、y1y2=0x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m28m2-416m1=7-6m+6m2=(14m2-28)=0 12分99922所以m=此時=(16m)-49(8m-4)>0，故所求直線l的方程為y=-y=+ 14分6 考前5天(本題滿分14分)已知數(shù)列an中，a1=2，a2=3，其前n項和Sn滿足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n2，nN*）（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bn=4n+(-1)n-12n(為非零整數(shù)，nN），試確定的值，使得對任意nN，都有bn+1>bn成立解：（I）由已知，(Sn+1-Sn)-(Sn-

23、Sn-1)=1（n2，nN）， 2分 *a*即an+1-an=1（n2，nN），且a2-a1=1數(shù)列an是以a1=2為首項，公差為1的等差數(shù)列an=n+14分 （II）an=n+1，bn=4n+(-1)n-12n+1，要使bn+1>bn恒成立，n+1nn+2bn+1-bn=4-4+(-1)2-(-1)n34-3(-1)n-1nn-1*2n+1>0恒成立， 2n+1>0恒成立，(-1)n-1<2n-1恒成立6分n-1（）當(dāng)n為奇數(shù)時，即<2恒成立，7分n-1當(dāng)且僅當(dāng)n=1時，2有最小值為1，<19分 （）當(dāng)n為偶數(shù)時，即>-2當(dāng)且僅當(dāng)n=2時，-2n-1

24、n-1恒成立，10分 有最大值-2，>-212分 即-2<<1，又為非零整數(shù)，則=-1*綜上所述，存在=-1，使得對任意nN，都有bn+1>bn142若橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個端點(diǎn)與左右焦點(diǎn)F1、F2組成一個正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為.()求橢圓C的方程；() 過點(diǎn)F2作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,求直線MF1的斜率k的取值范圍.x2y2解：()設(shè)橢圓C的方程為2+2=1(a>b>0) 1 分 aba=2c由a-c=a=2,c=3,b=3. 4 分 a2=b2+c2x2y21 +=1. 所以，橢圓C的方程

25、為129() F1(-,0)、F2(,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，AB的中點(diǎn)為F2，直線MF1的斜率k=0；6 分 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其斜率為m，直線AB的方程為2 y=m(x-)， 5 分 7 分222212聯(lián)立消去y并整理得：(3+4m)x-3mx+12m-36=0 由4m2-3m設(shè)M(x0,y0)，則x0= 10分 ,y=m(x-)=00223+4m3+4m當(dāng)m=0時，AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MF1的斜率k=0； 11 分 當(dāng)m0時，k=y0x0+3=-3m， 28m+3|k|=3|m|116 =28m+3881|m|+2|m|3|m|3|m|13 分 -且k0. k88綜上所

26、述，直線MF1的斜率k的取值范圍是-66,. 14 分 887靠前4天 （注意第二題）1+lnx. x1（）若函數(shù)在區(qū)間(a,a+)（其中a>0）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； 2k（）如果當(dāng)x1時，不等式f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； x+11已知函數(shù)f(x)=解：（）因為f(x)=1+lnxlnx，x>0 ，則f'(x)=-， 1分 xx當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0；當(dāng)x>1時，f'(x)<0.所以f(x)在（0，1）上單調(diào)遞增；在(1,+)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值. 2分 因為函數(shù)f(x)

27、在區(qū)間(a,a+)（其中a>0）上存在極值， 12a<11<a<1. 4分 所以 解得,12a+>12k， x+1(x+1)(1+lnx)(x+1)(1+lnx)k, 記g(x)=, 即為xx(x+1)(1+lnx)'x-(x+1)(1+lnx)x-lnx=, 6分 所以g'(x)=x2x21令h(x)=x-lnx,則h'(x)=1-， x1,h'(x)0. x（）不等式f(x)h(x)在1,+)上單調(diào)遞增，h(x)min=h(1)=1>0，從而g'(x)>0 8分故g(x)在1,+)上也單調(diào)遞增，g(x)min

28、=g(1)=2，所以k2 10分2設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn已知a1=a，an+1=Sn+3n，nN *（）設(shè)bn=Sn-3n，求數(shù)列bn的通項公式；（）若an+1an，nN，求a的取值范圍 *解：（）依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，即Sn+1=2Sn+3n，由此得Sn+1-3n+1n因此，所求通項公式為bn=Sn-3n=(a-3)2n-1，=2(Sn-3)nN*（）由知Sn=3n+(a-3)2n-1，nN，于是，當(dāng)n2時，an=Sn-Sn-1=3+(a-3)2nn-1*-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2，an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2

29、=2n-23n-212 +a-3， 23當(dāng)n2時，an+1an12 2n-2+a-30 a-9又a2=a1+3>a1 綜上，所求的a的取值范圍是-9，+)8靠前3天 122() 當(dāng)a=1時，求f(x)在區(qū)間1，e上的最大值和最小值； 已知函數(shù)f(x)=(a-)x+lnx.（aR）()若在區(qū)間（1，+）上，函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍1x2+112【解】（）當(dāng)a=1時，f(x)=x+lnx，f'(x)=x+= 2xx對于x1，e，有f'(x)>0，f(x)在區(qū)間1，e上為增函數(shù)e21 fmax(x)=f(e)=1+，fmin(x)=f(1)=.5分 222（）令g(x)=f(x)-2ax=(a-)x-2ax+lnx，則g(x)的定義域為（0，+）. 126分在區(qū)間（1，+）上，函數(shù)f(x)的圖