《線性代數(shù)》模擬試題

1、線性代數(shù)模擬試題（一）一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共27分）1. 對(duì)于階可逆矩陣，則下列等式中（ ）不成立.(A) (B) (C) (D) 2. 若為階矩陣，且，則矩陣（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)是上（下）三角矩陣，那么可逆的充分必要條件是的主對(duì)角線元素為（ ）.(A) 全都非負(fù) （B） 不全為零 （C）全不為零 （D）沒有限制4. 設(shè) ，那么（ ）. （A） （B） （C） （D） 5. 若向量組線性相關(guān)，則向量組內(nèi)（ ）可由向量組其余向量線性表示. （A）至少有一個(gè)向量 （B）沒有一個(gè)向量 （C）至多有一個(gè)向量 （D）任何一個(gè)向量 6. 若，其秩（ ）. （A）1 （B

2、）2 （C）3 (D) 4 7. 若方程組中方程的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù)，則有（ ）. （A）必有無窮多解 （B）必有非零解 （C）僅有零解 （D）一定無解8. 若為正交陣，則下列矩陣中不是正交陣的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 9. 若滿足條件（ ），則階方陣與相似. （A） （B） （C）與有相同特征多項(xiàng)式 （D）與有相同的特征值且個(gè)特征值各不相同二、填空題（每空格3分，共21分）1. 若向量組線性無關(guān)，則向量組是線性 .2. 設(shè)為4階方陣，且，是的伴隨陣，則的基礎(chǔ)解系所含的解向量的個(gè)數(shù)是 .3. 設(shè)，線性相關(guān)，則 .4. 設(shè)，則 .5. 設(shè)三階方陣有特征值4，5，6，則 ，的特

3、征值為 ，的特征值為 .三、計(jì)算題（共42分）1. （6分）計(jì)算行列式 2. （8分）已知矩陣，求.3. （10分）設(shè)三階方陣滿足 ，其中，求.4（6分）在向量空間中，取兩組基：（I） （II）設(shè)在基I下的坐標(biāo)為，求在基在基II下的坐標(biāo).5. （12分）取何值時(shí)，非齊次線性方程組（1）有惟一解；（2）無解； （3）有無窮多解，并求其通解.四、證明題（每小題5分，共10分）1. 設(shè)為階可逆陣，. 證明的伴隨陣.2. 若，都是階非零矩陣，且. 證明和都是不可逆的.線性代數(shù)模擬試題（一）參考答案一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共27分）1. B 2. B 3. C 4. C 5. A 6. B 7. B

4、8. B 9. D二、填空題（每空3分，共21分）1. 無關(guān)； 2. 3 ； 3. 3 ； 4. ； 6. 120； 4，5，6； 三、計(jì)算題（7+10+10+12=39分）1. 解： . 2. 解：先求的特征值，= ， 當(dāng)時(shí)，由得，的對(duì)應(yīng)于2的特征向量是， 當(dāng)時(shí)，由得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是，當(dāng)時(shí)，由得，的對(duì)應(yīng)于的特征向量是， 取.令 ，則，所以. 3. 解：因?yàn)?，所以?因此 . 又，所以，故 . 4解：, 所以 ， 在基II下的坐標(biāo)為.5. 解：， （1）當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. （2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解， （3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個(gè)解.，并且通解為 .四、證明題（5+5=

5、10分）1. 證：根據(jù)伴隨矩陣的性質(zhì)有又，所以，再由于可逆，便有.2. 證：假設(shè)可逆，即存在，以左乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾；類似的，若可逆，即存在，以右乘的兩邊得，這與是階非零矩陣矛盾，因此，和都是不可逆的.線性代數(shù)模擬試題（二）一、選擇題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)是四維列向量，且，則（ ）.（A） （B） （C） （D） 2. 如果為三階方陣，且，則（ ）.（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 設(shè)為階方陣，且，則（ ）.（A）中必有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例（B）中至少有一行（列）的元素全為0 （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合 （D）中

6、任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合4. 設(shè)矩陣、的秩分別為，則分塊矩陣的秩滿足（ ）.（A） （B） (C) （D） 5. 設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，則下列結(jié)論不成立的是（ ）.（A）與相似 （B）與等價(jià)（C）與有相同的特征值 （D）與有相同的特征向量二、填空題（每空格3分，共27分）1. 階行列式 .2. 設(shè)，則 .3. 設(shè)三階矩陣，滿足，且，則 .4. 設(shè)四階方陣，則 .5. 設(shè)向量組，線性相關(guān)，則 .6. 設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，則 ，的特征值為 ，的特征值為 .7. 設(shè)二次型為正定二次型，則的范圍是 .三、計(jì)算題（10+10+8+15=43分）1. 求向量組，的

7、秩與一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示.2. 為何值時(shí)，方程組有惟一解，無解或有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求出方程組的通解.3. 三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為, 求.4. 已知二次型，（1）寫出二次型的矩陣表達(dá)式;（2）用正交變換把化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫出相應(yīng)的正交變換.四、證明題（5+5=10分）1. 設(shè)為階方陣，如果存在正整數(shù)，使得，證明可逆，并求其逆陣.2. 設(shè)（）是階方陣的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，證明不是的特征向量.線性代數(shù)模擬試題（二）參考答案一、選擇題（每題4分）1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空題（每空3分）1. 2. 3.

8、 4. 5. 6. ； ； 6，3，27. .三、計(jì)算題（10+10+8+15=43分）1. 解： ， 所以，是一個(gè)最大無關(guān)組，并且有 ， . 2. 解： ， 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個(gè)解.，并且通解為 ， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解. 3. 解：先求對(duì)應(yīng)于特征值1的特征向量，設(shè)是對(duì)應(yīng)于1的特征向量，則有，即，因而，為不等于0的任意常數(shù). 取，令，則有，因此， . 4. 解：（1），（2） ，所以的特征值為， 當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)于5的特征向量，當(dāng)時(shí)，由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，. 取，令，則為正交矩陣，且 ，因此，所求的正交變換為，并且.四、證明題（5+5=10分）1. 證：

9、 所以，可逆，并且.2. 證：假設(shè)是的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則因?yàn)? 所以， 由于是對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以它們線性無關(guān)，從而，與矛盾！由此可知假設(shè)不成立，故不是的特征向量.線性代數(shù)模擬試題（三）一、 選擇題（每小題4分，共24分）1. 設(shè)是矩陣，是階可逆矩陣，矩陣的秩為，矩陣的秩為，則（ ）. （A） （B） （C） （D）的關(guān)系依而定2若，為同階正交陣，則下列矩陣中不一定是正交陣的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3. 階矩陣的行列式不為零，經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)椋瑒t（ ）. （A） （B） （C）與有相同的正負(fù)號(hào) （D）可以變?yōu)槿魏沃?. 設(shè)和都是階方陣，下列各項(xiàng)中，只有（

10、 ）正確.（A） 若和都是對(duì)稱陣，則也是對(duì)稱陣（B） 若，且，則（C） 若是奇異陣，則和都是奇異陣（D） 若是可逆陣，則和都是可逆陣5. 向量組線性相關(guān)的充要條件是（ ）. （A）中有一個(gè)零向量 （B）中有兩個(gè)向量的分量成比例 （C）中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合 （D）中任意一個(gè)向量是其余向量的線性組合6設(shè)，為階方陣，且，則（ ）. （A） （B） （C） （D）二、 填空題（每空格4分，共24分）1. 設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，則 .2. 設(shè)為正定二次型，則的取值范圍為 .3. 設(shè)，則 .4. 四階行列式 .5. 設(shè)階方陣的元素全為1，則的個(gè)特征值為 .6. 設(shè)是非齊次線性方程組的

11、個(gè)解，若也是它的解，則 .三、計(jì)算題（10+10+12+12=44分）1. 解矩陣方程，其中，.2. 求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示：.3. 設(shè)三階方陣有特征值，對(duì)應(yīng)特征向量，（1） 求；（2） 設(shè)，求.4. 向量組討論取何值時(shí)，（1）能由線性表示，且表示式唯一；（2）能由線性表示，且表示式不唯一；（3）不能由線性表示.四、證明題（4+4分）1. 設(shè)階方陣的秩為，證明.2. 設(shè)是階方陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，但，證明向量組是線性無關(guān)的.線性代數(shù)模擬試題（三）參考答案一、選擇題（每題4分，共24分）1. C 2. B 3. B 4. D 5.

12、 C 6. C二、填空題（每題4分，共24分）1. 6 ； 2. ； 3. ； 4. ；5. （個(gè)），； 6. 1 .三、 計(jì)算題（10+10+12+12）1. 解：由，得， 為此對(duì)矩陣施行初等行變換化為行最簡形矩陣， 所以 . 2. 解：對(duì)施行初等行變換變成行最簡形，,所以，的前三列是的列向量組的最大無關(guān)組，且 ， . 3. 解：（1）取，由于，故為可逆矩陣，可相似于對(duì)角矩陣，即所以，.（2）由，得，所以.4. 解：,（1）當(dāng)時(shí)，可由線性表示，且表示式不唯一；（2）當(dāng)，且，即時(shí)，不能由線性表示；（3）當(dāng)且時(shí)，能由線性表示，但表示式唯一.四、證明題（4+4=8分）1. 證：由可得，根據(jù)矩陣秩的

13、性質(zhì)，有，又，所以；另一方面，所以，從而；綜合上述兩方面，有.2. 證：因?yàn)槭蔷€性方程組的解向量，所以.從而（），又由知（）.設(shè)， （1）以左乘上式兩邊，得，因而必有，以左乘（1）式兩邊，得，因而必有，類似地，可以證明必有，故是線性無關(guān)的.線性代數(shù)模擬試題（四）一、選擇題（每小題4分，共24分）1. 設(shè)均為階方陣，若由能推出，則應(yīng)滿足下列條件中的（ ）. （A） （B） （C） （D）2. 設(shè)，均為階矩陣，為正整數(shù)，下列各式中不正確的是（ ）.（A） （B）（C） （D）3. 已知，則中的一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）. （A） 4 （B）1 （C） （D）4. 設(shè), 那么（ ）. （A） （B） （C）

14、 （D） 5. 設(shè)都是階非零矩陣，且，則和的秩（ ）. （A）必有一個(gè)等于零 （B）都小于 （C）一個(gè)小于,一個(gè)等于 （D）都等于6. 設(shè)、為階方陣，且與相似，為階單位陣，則（ ）. （A） （B）與有相同的特征值和特征向量 （C）與相似于一個(gè)對(duì)角矩陣 （D）對(duì)任意常數(shù)，相似二、填空題（每小題4分，共24分）1. 已知，則 .2. 若對(duì)，有，則 . 3. 向量組（）：，（）：，（）：，如果R() = R() =3, R() = 4, 則向量組的秩= .4. 若四階方陣的列向量組滿足條件，則的一個(gè)解為 .5. 已知階可逆矩陣的每行元素之和均為，則數(shù) 一定是的特征值.6. 設(shè) 為正定二次型， 則的

15、取值范圍為 .三、計(jì)算題（8+10+12+12=42分）1. 設(shè)，且 ，求.2. 求向量組，的秩和一個(gè)最大無關(guān)組，并把其他向量表示成該最大無關(guān)組的線性組合.3. 設(shè)非齊次線性方程組（）和（）分別為（） （）（1） 求方程組（）的通解；（2） 方程組（）中的參數(shù)取何值，方程組（）和（）同解.4. 設(shè)二次型，（1）求一個(gè)正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；（2）設(shè)為上述二次型的矩陣，求.四、證明題（5+5分）1. 設(shè)階方陣，但存在正整數(shù)，使得，證明不能相似于對(duì)角陣.2. 設(shè)為個(gè)線性無關(guān)的維列向量，是和均正交的維列向量，證明線性相關(guān).線性代數(shù)模擬試題（四）參考答案一、選擇題（每題4分，共24分）1. B 2.

16、 B 3. C 4. C 5. B 6. D二、填空題（每題4分，共24分）1. 2. 9 3. 4 4. 5. 6. 三、計(jì)算題（10+10+10+12=42分）1. 解：由得，即 ，因?yàn)椋?所以 . 2. 解：,所以，是一個(gè)最大無關(guān)組，并且 ，.3. 解：（1）對(duì)方程組（）的增廣矩陣作初等行變換，由此得方程組（）的通解為.（2）當(dāng)()和()同解時(shí)，()的通解也是()的通解，將()的通解代入()，即 ，從中解得，.另一方面，將，代入（）后，其增廣矩陣 ，的行標(biāo)準(zhǔn)形與的行標(biāo)準(zhǔn)形一樣，故當(dāng)，時(shí),()和()同解.4. 解：，（1） ，所以的特征值為， 由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，由得對(duì)應(yīng)于的特征向量，由

17、得對(duì)應(yīng)于的特征向量，取， ，令， 則得所求的正交變換 即 ，且 .（2） 根據(jù)（1）知， ,所以 . 四、證明題（5+5=10分）1. 證： 設(shè)是的任一特征值，則是的特征值，而，所以，即的特征值全為零，若相似于對(duì)角陣，則存在可逆矩陣，使得，從而有，這與條件矛盾，所以不能相似于對(duì)角陣.2. 證：設(shè)，則是一個(gè)矩陣，因?yàn)榫€性相關(guān)，所以，故元線性方程組的解空間的維數(shù)為1.又是和均正交的，所以是的解，因此必線性相關(guān).線性代數(shù)模擬試題（五）一、填空題（每小題4分，共20分）1. 已知，則 .2. 設(shè)四階矩陣與相似，矩陣的特征值為，則行列式 .3. 方程的規(guī)范正交解為 .4. 設(shè)矩陣的秩為2，則 .5. 設(shè)

18、，是的一個(gè)正交基，則在此基下可線性表示為 .二、選擇題（每小題4分，共20分）1. 關(guān)于矩陣，下列命題正確的是（ ）. （A）若，則或 （B）可經(jīng)過一系列的初等行變換把矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形 （C）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一 （D）若為初等矩陣，則2. 下列命題正確的是（ ）. （A）維列向量組可以線性無關(guān) （B）矩陣的初等變換可能改變矩陣的秩 （C）維列向量組必線性相關(guān) （D）若方陣，則可逆3. 設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，則下列結(jié)論不成立的是（ ）. （A）與相似 （B）與有相同的特征向量 （C）與有相同的特征值 （D）與等價(jià)4. 已知三階矩陣的特征值為其對(duì)應(yīng)的特征向量分別是，取，則（ ）. （A） （B

19、） （C） （D）5. 二次型（是對(duì)稱矩陣）正定的充要條件是（ ）. （A）對(duì)任何，有 （B）的特征值為非負(fù)數(shù) （C）對(duì)任何，有 （D）對(duì)任意，有三、計(jì)算題（14+14+11+11=50分）1. 設(shè)非齊次線性方程組（1）取何值時(shí)，方程組（a）有唯一解；（b）無解；(c) 有無數(shù)多個(gè)解.并且在方程組有無數(shù)多個(gè)解時(shí)，用該方程組的一個(gè)特解及對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示其通解.（2）設(shè)該方程組的系數(shù)矩陣為，試問取何值時(shí)，存在三階非零矩陣，使得.2. 設(shè)，（1） 求一正交相似變換矩陣，使，其中為對(duì)角矩陣；（2） 求.3. 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為，（1） 求對(duì)應(yīng)的特征向量；（

20、2） 求矩陣.4. 判斷下面向量組的線性相關(guān)性，求它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余向量表示成這個(gè)極大無關(guān)組的線性組合.，.四、證明題（5+5=10分）1. 設(shè)與為階矩陣，則與相似.2. 設(shè)為正定矩陣，證明：.線性代數(shù)模擬試題（五）參考答案一、填空題（每題4分，共20分）1. ； 2. ；3. ；4. 3； 5 .二、選擇題（每題4分，共20分）1. D 2. C 3. B 4. B 5. D三、計(jì)算題（14+14+11+11=50分）1. 解：，（1）當(dāng)且時(shí)，此時(shí)方程組有惟一解.當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，顯然系數(shù)矩陣的秩為2，增廣矩陣的秩為3，此時(shí)方程組無解.當(dāng)時(shí)，增廣矩陣 ，所以,令，得，此為時(shí)對(duì)應(yīng)方

21、程組的通解. （2）系數(shù)矩陣的秩小于3時(shí)，線性方程組有非零解，此時(shí)存在三階矩陣，使得.由得或. 2. 解：（1）特征多項(xiàng)式,的特征值為，. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 當(dāng)時(shí)，解方程組，得基礎(chǔ)解系，于是得到對(duì)應(yīng)的單位特征向量. 令，即為所求的正交相似變換矩陣，且. （2）先求，所以， 故 . 3. 解：（1）設(shè)對(duì)應(yīng)于2的一個(gè)特征向量為，則與正交，即，其基礎(chǔ)解系為，這是對(duì)應(yīng)于2的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量.（2）令，取，則. 所以， . 4. 解：由的行標(biāo)準(zhǔn)形顯示的列的線性關(guān)系，可得，所以向量組線性相關(guān)，為最大無關(guān)組，并且 .四、證明題（5+5=10分）1. 證：因?yàn)?，?/p>

22、以可逆，從而有 ，即，所以與相似.2. 證：為正定矩陣，則特征值全為正數(shù). 即若的全部特征值為，則，又由于為正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得，即,所以 .線性代數(shù)模擬試題（六）一、選擇題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)是矩陣，齊次線性方程組僅有零解的充要條件是（ ）.（A）的列向量組線性相關(guān) （B）的列向量組線性無關(guān) （C）的行向量組線性相關(guān) （D）的行向量組線性無關(guān) 2. 線性無關(guān)的充要條件是（ ）.（A）都不是零向量 （B）任意兩個(gè)向量的分量不成比例 （C）至少有一個(gè)向量不可由其余向量線性表示 （D）每個(gè)向量均不可由其余向量線性表示3. 設(shè)矩陣其中且，則為（ ）. （A）正定矩陣 （B）負(fù)

23、定矩陣 （C）初等矩陣 （D）正交矩陣 4. 為階方陣，是的特征值，則必有（ ）. （A）互異 （B）不等于零 （C） （D）5. 若存在一組數(shù)使得成立，則向量組（ ）. （A）線性相關(guān) （B）線性無關(guān) （C）可能線性相關(guān)也可能線性無關(guān) （D）部分線性相關(guān)二、填空題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)，為非零矩陣，則 .2. 設(shè)階方陣的個(gè)特征值為1，2，則 .3. 設(shè)，則 ， .4二次型的秩為 ，正慣性指數(shù)為 ，負(fù)慣性指數(shù)為 .5. 若，則 .三、計(jì)算題（8+8+8+14+12分）1. .2確定下列方程組是否有解，若有解，求其通解.3解矩陣方程求，其中， .4設(shè)矩陣，問當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣使得

24、，其中為對(duì)角矩陣？并求出可逆矩陣和相應(yīng)的對(duì)角矩陣.5設(shè)三維向量空間的兩組基和的關(guān)系是，.（1） 求從基到基的過渡矩陣；（2） 求向量在基下的坐標(biāo)；（3） 求在基下的坐標(biāo).四、證明題（5+5分）1. 設(shè)階矩陣滿足，為階單位矩陣，求證：.2. 設(shè)是的一個(gè)基，若滿足與正交，即，則.線性代數(shù)模擬試題（六）參考答案一、選擇題（每小題4分，共20分）1. B 2. D 3. D 4. D 5. C二、填空題（每小題4分，共20分）1. ；2. ； 3. 1， 2；4. 3， 2， 1；5. .三、計(jì)算題（8+8+8+14+12分）1. 解：原式 .2. 解：此方程組的增廣矩陣為 所以系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩

25、陣的秩，方程組有解.特解為，對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，. 所以通解為，. 3. 解：,所以. 4. 解：由，得，.所以，的特征值有重根，因此對(duì)于而言，當(dāng)方程組有兩個(gè)線性無關(guān)的解時(shí)，可以對(duì)角化.，若，則，方程組只有一個(gè)線性無關(guān)的解.當(dāng)時(shí)，所以對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量為，因此當(dāng)時(shí)，存在可逆矩陣使得.另外，可求得對(duì)應(yīng)于的特征向量為，取，即為所求的可逆矩陣，且有. 5解：（1）因?yàn)?，所?故從基到基的過渡矩陣.（2） ,向量在基下的坐標(biāo).（3） ,在基下的坐標(biāo).四、證明題（5+5分）1證：由得 ， 所以 的列向量為方程組的解， 設(shè)，則有，所以 ，又，所以,即 ，故. 2證：因?yàn)椋堑囊粋€(gè)基，所

26、以存在個(gè)數(shù)，使得， 需證，只需證，因?yàn)?，因?線性代數(shù)模擬試題（七）一、選擇題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)、為階矩陣，則下面必成立的是（ ）. （A） （B） （C） （D）2. 設(shè)，均為階可逆矩陣，則（ ）. （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)向量組的秩為3，則（ ）. （A）任意三個(gè)向量線性無關(guān) （B）中無零向量 （C）任意四個(gè)向量線性相關(guān) （D）任意兩個(gè)向量線性無關(guān)4. 線性方程組，有解的充要條件是（ ）. （A） （B） （C） （D）5. 階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充要條件是（ ）. （A）的個(gè)特征值互不相同 （B）可逆 （C）無零特征值 （D）有個(gè)線性無關(guān)的特征向量二、填空題（

27、每空格3分，共30分）1. 各列元素之和為的階行列式的值等于 .2. 設(shè)三階矩陣，則 .3. 設(shè)矩陣，則 ， ， （為正整數(shù)）.4. 設(shè)，則 .5. 設(shè)向量組線性無關(guān)，則向量組，線性 .6. 設(shè)三階可逆矩陣的特征值分別為2，3，5，則 ，的伴隨矩陣的特征值為 .7. 設(shè)實(shí)二次型為正定二次型，則參數(shù)的取值范圍是 .三、計(jì)算題（6+12+10+12=40分）1. 設(shè)，求矩陣.2設(shè)有線性方程組為何值時(shí)，該方程組（1）無解；（2）有唯一解.3設(shè)四維向量組，求該向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組，并把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.4 求一個(gè)正交變換，將實(shí)二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并判斷該二次型是否正定.四、證

28、明題（5+5=10分）1. 設(shè)為階矩陣，如果，則.2. 設(shè)為正交矩陣，證明一定是的一個(gè)特征值.線性代數(shù)模擬試題（七）參考答案一、選擇題（每小題4分，共20分）1. D 2. C 3. C 4. A 5. D二、填空題（每空格4分，共30分）1. 2. 3. ； ； 4. 2 5. 無關(guān) 6. 30； 15，10，6 7. 三、計(jì)算題（6+12+10+12=40分）1. 解： . 2. 解：線性方程組的系數(shù)行列式，（1）當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解；（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)有；當(dāng)時(shí)，此時(shí)也有，所以當(dāng)或時(shí)，方程組無解.3. 解：，所以，為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，且，.4. 解：二次型的矩陣 ， 的特征多

29、項(xiàng)式，所以的特征值為，. 對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得；對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得；對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為，單位化得. 所求正交變換為 ，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，因?yàn)?，所以該二次型不是正定二次? 四、證明題（5+5分）1. 證：由，得，則 ；又 ， 所以 . 2. 證：要證一定是的一個(gè)特征值，只需證. 因?yàn)闉檎痪仃?，所以，因此有又因?yàn)?，所以，從而有，故一定是的一個(gè)特征值.線性代數(shù)模擬試題（八）一、填空題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)，則的伴隨矩陣 .2. 若向量組線性無關(guān)，則向量組是線性 .3. 設(shè)二次型為正定二次型，則取值范圍為 .4. 若，則 .5. 元齊次線性方程

30、組有非零解的充分必要條件是 ； 元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是 .二、選擇題（每小題4分，共20分）1. 當(dāng)滿足條件（ ）時(shí)，矩陣的秩為3.（A） , （B）， （C） （D）2. 設(shè)為階實(shí)矩陣，是的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（）： 和（）： ，必有（ ）. （A）（）的解是（）的解，（）的解也是（）的解 （B）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解 （C）（）的解不是（）的解，（）的解也不是（）的解 （D）（）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解3. 設(shè)維行向量，矩陣，其中為階單位矩陣，則（ ）. （A） （B） （C） （D）4. 設(shè)向量組則該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組為（ ）.

31、 （A） （B） （C） （D）5. 若滿足條件（ ），則階方陣與相似. （A） (B) （C）與有相同的特征多項(xiàng)式 （D）與有相同的特征值且個(gè)特征值各不相同三、計(jì)算題（8+8+12+12+10分）1計(jì)算階行列式.2設(shè)，求.3已知方程組（）與（）同解，其中（） （）求的值.4設(shè)矩陣，其行列式，又知的伴隨矩陣有一個(gè)特征值，屬于的一個(gè)特征向量為，求和的值.5求一個(gè)正交變換化下列二次型成標(biāo)準(zhǔn)形：.四、證明題（5+5分）1設(shè)是一組維向量，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量都可由它們線性表示. 2設(shè)為階方陣，為矩陣，且，如果，證明.線性代數(shù)模擬試題（八）參考答案一、填空題（每小題4分，共20分）

32、1. 2. 無關(guān) 3. 4. 5. ；二、選擇題（每小題4分，共20分）1D 2A 3C 4B 5D三、計(jì)算題（8+8+12+12+10分）1解： = .2解：，因?yàn)?，所以?于是，.3解：作方程組（）：因?yàn)榉匠探M（）與（）同解，則方程組（）與（），（）也同解，但（）的系數(shù)矩陣的秩，所以（）的系數(shù)矩陣的秩，由于所以，. 另一方面，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，方程組（）與（）的增廣矩陣的行標(biāo)準(zhǔn)形相同，故當(dāng)方程組（）與（）同解時(shí)，.4解：根據(jù)題目假設(shè)，有，兩邊左乘，得，即，所以，由此可得解之得， 再由，得，即有 ，.5解：二次型的矩陣為，,所以A的特征值為，.當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由得.于是，所求的正交

33、變換為，的標(biāo)準(zhǔn)形為.四、證明題（5+5分）1證明：（必要性）設(shè)線性無關(guān)，并設(shè)是一個(gè)任意的維向量，于是由個(gè)向量構(gòu)成的向量組：,線性相關(guān)，由根據(jù)假設(shè)線性無關(guān)，得知必能由線性表示.（充分性）設(shè)任一維向量都可以由線性表示，則單位坐標(biāo)向量組能由向量組線性表示，因此,又，從而，因此線性無關(guān).2證明：因?yàn)椋?，由此可知的每一個(gè)列向量都是方程組的解，又為矩陣，且，即，所以只有零解，因此，從而有.線性代數(shù)模擬試題（九）一、選擇題（每小題4分，共20分）1. 設(shè)為階矩陣，則下列矩陣中不是對(duì)稱矩陣的是（ ）. （A） （B） （C） （D） 2. 已知向量組線性相關(guān)，則（ ）. （A）可由線性表示 （B）不可由線

34、性表示 （C）若，則可由線性表示 （D）若，則可由線性表示3下列結(jié)論不正確的是（ ）.（A） 階方陣可逆的充要條件是（B） 階方陣可逆的充要條件是存在可逆陣，使得（C） 階方陣可逆的充要條件是可表成一系列初等矩陣之和（D） 階方陣可逆的充要條件是可表成一系列初等矩陣之積4設(shè)為階矩陣的特征值，分別是的屬于的特征向量，則（ ）. （A）當(dāng)時(shí)，與必成比例 （B）當(dāng)時(shí)，與必不成比例 （C）當(dāng)時(shí)，與必成比例 （D）當(dāng)時(shí)，與必不成比例5. 設(shè)階矩陣的個(gè)特征值全為零，則（ ）. （A） （B）只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量 （C）不能與對(duì)角矩陣相似 （D）當(dāng)與對(duì)角矩陣相似時(shí)，二、填空題（每空格4分，共28分）1

35、. 設(shè)四階行列式的第一行元素分別為第一行元素的余子式分別為，則 .2. 設(shè)，則 .3. 設(shè)，則 .4. 設(shè)三階矩陣的特征值分別為1，2，3，則的特征值為 ， .5. 設(shè)是由向量組，所生成的向量空間，則的維數(shù)為 .6. 實(shí)二次型的矩陣為 .三、計(jì)算題（6+6+10+10+10=42分）1計(jì)算行列式.2設(shè)為階方陣，計(jì)算.3設(shè)齊次線性方程組（） （）（1）分別求出方程組（）與（）的基礎(chǔ)解系；（2）求方程組（）與（）的公共解.4設(shè)為三階矩陣，三維列向量組線性無關(guān)，且，（1）求，使得；（2）求.5已知矩陣與相似，其中，（1）求的值；（2）求正交矩陣，使得.四、證明題（5+5=10分）1. 設(shè)為階可逆矩陣

36、，為的伴隨矩陣，證明的秩.2. 已知，證明可逆，并求出其逆陣.線性代數(shù)模擬試題（九）參考答案一、選擇題（每小題4分，共20分）1. B 2. D 3.C 4. D 5. D二、填空題（每空格4分，共28分）1100 2 32 4； 48536三、計(jì)算題（6+6+10+10+10=40分）1解：.2解： ,所以.3解：（1）因?yàn)?，所以方程組（）的基礎(chǔ)解系為因?yàn)?，所以（）的基礎(chǔ)解系為（2）設(shè)是方程組（）與（）的公共解，則存在數(shù)，使得， 即 解得（為任意常數(shù)）,因此方程組（）與（）的公共解為，（為任意常數(shù)）.4. 解：（1）, 所以 ； （2）由（1）知 ， ，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以，因此.5. 解：（

37、1）因?yàn)榕c相似，所以，即，因此.(2) 由（1）知的特征值為當(dāng)時(shí)，解方程組得基礎(chǔ)解系，取，當(dāng)時(shí)，解方程組得基礎(chǔ)解系，取，當(dāng)時(shí)，解方程組得基礎(chǔ)解系，取，由此得所求正交矩陣，且有.四、證明題（5+5=10分）1. 證：因?yàn)闉殡A可逆矩陣，所以， 又因?yàn)?，所以，因而， 所以為階可逆矩陣，故. 2. 證： ，要證可逆，只需證明，都可逆， 由知，可逆，且；由知，可逆，且； 由知，可逆，且；因此，可逆，并且其逆陣為.線性代數(shù)模擬試題（十）一、選擇題（每小題4分，共20分）1. 如果行列式，則（ ）. （A）可能為1 （B）不可能為1 （C）必為1 （D）不可能為22設(shè)是階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，則（ ）.

38、 （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)均為維向量，則下面結(jié)論正確的是（ ）. （A）如果，則線性相關(guān) （B）若線性相關(guān)，則對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有 （C）若對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，有，則 線性無關(guān) （D）如果，則 線性無關(guān)4. 已知，為3階非零矩陣，且滿足，則（ ）.（A）時(shí)的秩必為1 （B）時(shí)的秩必為2（C）時(shí)的秩必為1 （D）時(shí)的秩必為25. 設(shè)可逆矩陣有一個(gè)特征值為2，則有一個(gè)特征值為（ ）. （A） （B） （C） （D） 二、填空題（每小題4分，共28分）1. 行列式 .2. 設(shè)，則 .3. 設(shè)，則 .4. 已知向量組，線性相關(guān)，則 .5. 向量組，的一個(gè)最大無關(guān)組為 .6. 如

39、果線性方程組有解，則常數(shù)滿足條件 .7. 二次型的秩為 ，正慣性指數(shù)為 .三、計(jì)算題（10+10+10+12=40分）1. 設(shè)矩陣，滿足，其中，求.2. 已知,與,為向量空間的兩組基，求由到的過渡矩陣.3. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，為它的三個(gè)解向量，且，,求該方程組的通解.4. 設(shè)矩陣，已知線性方程組有解但不唯一，（1）求的值，（2）求正交矩陣，使得使得，其中為對(duì)角矩陣.四、證明題（5+5=10分）1. 設(shè)，為階方陣，證明.2. 設(shè)，都是為階方陣，證明與有相同的特征值.線性代數(shù)模擬試題（十）參考答案一、選擇題（每小題4分，共20分）1. A 2. A 3. C 4. C 5.

40、 D二、填空題（每小題4分，共28分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ； 2三、計(jì)算題（10+10+10+12=42分）1. 解：,，即，即， 因?yàn)椋?所以.2. 解：設(shè)由到的過渡矩陣為，則，所以，因此.3. 解：方程組對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量，則所求方程組的通解為 其中為任意常數(shù).， 因此，方程組的通解為 .4. 解：(1) ，當(dāng)線性方程組有解但不唯一，有，所以.（2）當(dāng)時(shí)，的特征多項(xiàng)式，的特征值為 ，當(dāng)時(shí)，由得所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的單位特征向量為，當(dāng)時(shí),由得所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的單位特征向量為， 當(dāng)時(shí)，由得所對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的單位特征向量為，令，即為所求的正交矩陣，且有.四、證明題（5+5=10分）1證： 因?yàn)?，所以，從而?2證：設(shè)數(shù)是矩陣的特征值，則必存在非零向量，使得，兩邊左乘，得，若，因?yàn)椋?，否則的話，由知，這是不可能的，由此可知也是的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為；若，則，故是不可逆矩陣，于是，因此也為的特征值.以上證明了的任一特征值是的特征值，類似可證的任一特征值也是的特征值，故與有相同的特征值.線性代數(shù)模擬試題（十一）一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共24分）1設(shè)是階方陣, 且, 則( ).(A) 或 (B) (C) (D) .2. 設(shè)為階矩陣，且，則( ).(A) (B) (C) (D) 43. 設(shè),是齊次線性方