數(shù)值計算方法期末復(fù)習答案終結(jié)版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、 名詞解釋1誤差：設(shè)為準確值的一個近似值，稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。2有效數(shù)字：有效數(shù)字是近似值的一種表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精確程度。如果近似值的誤差限是，則稱準確到小數(shù)點后n位，并從第一個不是零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字。3. 算法：是指解題方案的準確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機制。計算一個數(shù)學問題，需要預(yù)先設(shè)計好由已知數(shù)據(jù)計算問題結(jié)果的運算順序，這就是算法。4. 向量范數(shù)：設(shè)對任意向量，按一定的規(guī)則有一實數(shù)與之對應(yīng)，記為，若滿足 （1），且當且僅當； （2）對任意實

2、數(shù)，都有； （3）對任意，都有 則稱為向量的范數(shù)。5. 插值法：給出函數(shù)的一些樣點值，選定一個便于計算的函數(shù)形式，如多項式、分段線性函數(shù)及三角多項式等，要求它通過已知樣點，由此確定函數(shù)作為的近似的方法。6相對誤差：設(shè)為準確值的一個近似值，稱絕對誤差與準確值之比為近似值的相對誤差，記為，即7. 矩陣范數(shù)：對任意n階方陣A，按一定的規(guī)則有一實數(shù)與之對應(yīng)，記為。若滿足 （1），且當且僅當； （2）對任意實數(shù)，都有； （3）對任意兩個n階方陣A,B,都有； （4） 稱為矩陣A的范數(shù)。8 算子范數(shù)：設(shè)A為n階方陣，是中的向量范數(shù)，則是一種矩陣范數(shù)，稱其為由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)，也稱算子范數(shù)。9. 矩

3、陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性：對任意n維向量，都有 這一性質(zhì)稱為矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性。10. 范數(shù)，范數(shù)和范數(shù)：（1）范數(shù) （2）范數(shù) （3）范數(shù) 二、簡答題1高斯消元法的思想是：先逐次消去變量，將方程組化成同解的上三角形方程組，此過程稱為消元過程。然后按方程相反順序求解上三角形方程組，得到原方程組的解，此過程稱為回代過程。2. 迭代法的基本思想是：構(gòu)造一串收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計算新的近似解得規(guī)則，由不同的計算規(guī)則得到不同的迭代法。3. 雅可比（Jacobi）迭代法的計算過程（算法）：（1）輸入，維數(shù)n，最大容許迭代次數(shù)N。（2）置（3）對 （4）若，輸出x停機；否則轉(zhuǎn)5。

4、（5），置，轉(zhuǎn)3，否則，輸出失敗信息，停機。4. 插值多項式的誤差估計：（P102）由當時，上式自然成立，因此，上式對上的任意點都成立，這就叫插值多項式的誤差估計。5. 反冪法的基本思想：設(shè)A為階非奇異矩陣，為A的特征值和相應(yīng)的特征向量，則 的特征值是A的特征值的倒數(shù)，而相應(yīng)的特征向量不變，即 因此，若對矩陣用冪法，即可計算出的按模最大的特征值，其倒數(shù)恰為A的按模最小的特征值。6. 雅可比（Jacobi）迭代法是：選取初始向量代入迭代公式 產(chǎn)生向量序列，由上述計算過程所給出的迭代法。7. 數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題是：（1）避免兩個相近的數(shù)相減（2）避免大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象（3）避免除數(shù)的絕對值遠

5、小于被除數(shù)的絕對值（4）要簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率（5）選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法8. 高斯消去法的計算量：由消去法步驟知，在進行第k次消元時，需作除法次，乘法次，故消元過程中乘除運算總量為乘法次數(shù) 除法次數(shù)在回代過程中，計算需要次乘除法，整個回代過程需要乘除運算的總量為，所以，高斯消去法的乘除總運算量為9. 迭代法的收斂條件：對任意初始向量和右端項，由迭代格式 產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件是。10. 迭代法的誤差估計：設(shè)有迭代格式，若，收斂于，則有誤差估計式。二、 計算題1.假定運算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求的絕對誤差限和相對誤差限，計算結(jié)果有幾位有效數(shù)字？ 解：由式和得因為式中數(shù)據(jù)都

6、精確到兩位小數(shù)，即其誤差限均為，故有所以，的絕對誤差限為0.0293，相對誤差限為0.0054，計算結(jié)果有兩位有效數(shù)字。2.求矩陣的三角分解。解：由式，所以3用冪法（）求矩陣的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。取. （P77）解：, ， 4. 已知函數(shù)，的值是10,11,12,13,14對應(yīng)的的值分別是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange線性插值求ln11.5的近似值。解：取兩個節(jié)點，插值基函數(shù)為 由式得將x=11.5代入，即得按式 得因為，在11和12之間，故于是5. 用Jacobi迭代法（）求解線性方程組 .解：由Jacobi迭代法

7、得計算公式得取，代入上式得 6. 設(shè)有方程組，其中，討論用Jacobi迭代法求解的收斂性。解：因為A為對稱矩陣，且其各階主子式皆大于零，故A為對稱正定矩陣，A不是弱對角占優(yōu)陣，故不能判別Jacobi迭代的收斂性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩陣為其特征方程有根，因而。由向量序列收斂的充要條件是，故Jacobi迭代法不收斂。7用反冪法（）求矩陣接近2.93的特征值，并求相應(yīng)的特征向量，取.解：對作三角分解得 8. 已知函數(shù)，的值是10,11,12,13,14對應(yīng)的的值分別是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.5649, 2.6391。用Lagrange拋物線插值求ln11.5的近

8、似值。解：取，插值多項式為所以因為，于是因此用拋物線插值法計算的誤差為查表可得三、 證明題1. 若的近似值有位有效數(shù)字，則為其相對誤差限。反之，若的相對誤差限滿足，則至少具有位有效數(shù)字。證明：由式得從而有所以是的相對誤差限。若，由式得由式，至少有n位有效數(shù)字。2. 設(shè)為個互異節(jié)點，為這組點上的Lagrange插值基函數(shù)，試證明。證明：上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)均為1。顯然，函數(shù)在這n+1個節(jié)點處取值均為1，即 ，由式知，它的n次Lagrange插值多項式為對任意x，插值余項為所以 3 設(shè)為任意階方陣，為任意由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)，則證明：對A的任一特征值及相應(yīng)的特征向量，都有因為為非零向量，于是有 由的任意性即得 4. 設(shè)為階方陣，則的充分必要條件為。證明：必要性。若由相關(guān)定義得 而 于是由極限存在準則，有 所以。充分性。若，取，由,存在一種矩陣范數(shù)，使得而，于是 所以 五、應(yīng)用題1.平面桁架是由剛性元件通過結(jié)點互相聯(lián)結(jié)而組成的力學結(jié)構(gòu)，它通常出現(xiàn)在橋梁結(jié)構(gòu)和其他需要力學支撐的結(jié)構(gòu)中。如圖是一個簡單的靜力桁架結(jié)構(gòu)，其中剛性元件（）通過結(jié)點相連。求各個結(jié)點的合力方程，并求出當外部負荷時，求各個節(jié)點內(nèi)力。解：設(shè)五個剛性元件的內(nèi)力為，它們都處理為壓力，如果解是負的，表明該力是張力。桁