高二數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)列復(fù)習(xí)提綱一、數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)(41、數(shù)列:按照一定順序排列著的一列數(shù).2、數(shù)列的項(xiàng):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù).3、有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.4、無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.5、遞增數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.6、遞減數(shù)列:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.7、常數(shù)列:各項(xiàng)相等的數(shù)列.8、擺動(dòng)數(shù)列:從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列. 9、數(shù)列的通項(xiàng)公式:表示數(shù)列n a 的第n 項(xiàng)與序號(hào)n 之間的關(guān)系的公式.10、數(shù)列的遞推公式:表示任一項(xiàng)n a 與它的前一項(xiàng)1n a -(或前幾項(xiàng)間的關(guān)系的公式. 11、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的

2、差等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差.12、由三個(gè)數(shù)a ,A ,b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列,則A 稱為a 與b 的等差中項(xiàng).若2a cb +=,則稱b 為a 與c 的等差中項(xiàng). 13、若等差數(shù)列n a 的首項(xiàng)是1a ,公差是d ,則(11naa n d =+-.14、通項(xiàng)公式的變形:(n m a a n m d =+-;(11n a a n d =-;11n a a d n -=-;11n a a n d-=+;n m a a d n m -=-.15、若n a 是等差數(shù)列,且m n p q +=+(m 、n 、p 、*q N ,則m np q

3、a a a a +=+;若n a 是等差數(shù)列,且2n p q =+(n 、p 、*q N ,則2np q a a a =+.16、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的公式:(12n n n a a S +=;(112n n n S na d -=+. 17、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的性質(zhì):若項(xiàng)數(shù)為(*2n n N ,則(21nn n S n a a +=+,且S S nd -=偶奇,1n n S aS a +=奇偶.若項(xiàng)數(shù)為(*21n n -N ,則(2121n n S n a -=-,且n S S a -=奇偶,1S nS n =-奇偶(其中n S na =奇,(1n S n a =-偶. 18、如果一個(gè)數(shù)列

4、從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比.19、在a 與b 中間插入一個(gè)數(shù)G ,使a ,G ,b 成等比數(shù)列,則G 稱為a 與b 的等比中項(xiàng).若2G ab =,則稱G 為a 與b 的等比中項(xiàng).20、若等比數(shù)列n a 的首項(xiàng)是1a ,公比是q ,則11n n a a q -=. 21、通項(xiàng)公式的變形:n m nm a a q -=;(11n n a a q -=;11n na q a -=;n m n ma q a -=.22、若n a 是等比數(shù)列,且m n p q +=+(m 、n 、p 、*q N ,則m n p q a a a a

5、 =;若n a 是等比數(shù)列,且2n p q =+(n 、p 、*q N ,則2np q a a a =.23、等比數(shù)列n a 的前n 項(xiàng)和的公式:(11111111n n n na q S a q a a q q q q =-=-.24、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和的性質(zhì):若項(xiàng)數(shù)為(*2n n N ,則S q S =偶奇.n n mn m S S q S +=+.n S ,2n n S S -,32n n S S -成等比數(shù)列. 二、數(shù)列求解遞推關(guān)系:(8(一累加法 適用于:1(n n a a f n +=+ (二累乘法 適用于: 1(n n a f n a += (三待定系數(shù)法 適用于:1(n n

6、a qa f n +=+1.形如0(,1+=+c d ca a n n ,其中a a =1型(1若c=1時(shí),數(shù)列n a 為等差數(shù)列;(2若d=0時(shí),數(shù)列n a 為等比數(shù)列;(3若01且d c 時(shí),數(shù)列n a 為線性遞推數(shù)列,其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.待定系數(shù)法:設(shè)(1+=+n n a c a ,得1(1-+=+c ca a n n ,與題設(shè),1d ca a n n +=+比較系數(shù)得d c =-1(,所以0(,1-=c cd 所以有:1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此數(shù)列-+1c d a n 構(gòu)成以11-+c da 為首項(xiàng),以c 為公比的等比數(shù)列, 所以1

7、11(1-+=-+n n c c d a c d a 即:11(11-+=-c d c c d a a n n . 規(guī)律:將遞推關(guān)系d ca a n n +=+1化為1(11-+=-+c da c c d a n n ,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列1-+c d a n 從而求得通項(xiàng)公式1(1111-+-=-+c da c c d a n n逐項(xiàng)相減法(階差法:有時(shí)我們從遞推關(guān)系d ca a n n +=+1中把n 換成n-1有d ca a n n +=-1,兩式相減有(11-+-=-n n n n a a c a a 從而化為公比為c 的等比數(shù)列1n n a a -+,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. (121

8、a a c a a n n n -=-+2.形如:n n n q a p a +=+1 (其中q 是常數(shù),且n 0,1若p=1時(shí),即:nn n q a a +=+1,累加即可.若1p 時(shí),即:n n n q a p a +=+1,求通項(xiàng)方法有以下三種方向:i. 兩邊同除以1+n p .目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即:n nn n n q p p q a p a (111+=+,令nn n p a b =,則n n n q pp b b (11=-+,然后類型1,累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以1+n q. 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。即:q q a q p q a n n n n 111+=

9、+,令n nn q a b =,則可化為q b q p b n n 11+=+.3.形如b kn pa a n n +=+1 (其中k,b 是常數(shù),且0k 方法1:逐項(xiàng)相減法(階差法 方法2:待定系數(shù)法 通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為 1(1y n x a p y xn a n n +-+=+-;解題基本步驟: 1、確定(f n =kn+b2、設(shè)等比數(shù)列(y xn a b n n +=,公比為p3、列出關(guān)系式1(1y n x a p y xn a n n +-+=+-,即1-=n n pb b4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列(y xn a n +的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列n a 的通項(xiàng)公式5.形如21 n n

10、n a pa qa +=+時(shí)將n a 作為(f n 求解分析:原遞推式可化為211( n n n n a a p a a +=+的形式,比較系數(shù)可求得,數(shù)列1n n a a +為等比數(shù)列。(四迭代法 rn n pa a =+1(其中p,r 為常數(shù)型(五對(duì)數(shù)變換法 適用于rn n pa a =+1(其中p,r 為常數(shù)型 p>0,0>na (六倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項(xiàng) (七換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系(八數(shù)學(xué)歸納法 通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n 項(xiàng),猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。 (九階差法(逐項(xiàng)相減法 1、遞推公式中既有n S ,又有n

11、 a分析:把已知關(guān)系通過(guò)11,1,2n n n S n a S S n -=-轉(zhuǎn)化為數(shù)列n a 或n S 的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解。 2、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列(十不動(dòng)點(diǎn)法 目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比(差數(shù)列的方法不動(dòng)點(diǎn)的定義:函數(shù)(f x 的定義域?yàn)镈 ,若存在0(f x x D ,使00(f x x =成立,則稱0x 為(f x 的不動(dòng)點(diǎn)或稱00(,(x f x 為函數(shù)(f x 的不動(dòng)點(diǎn)。分析:由(f x x =求出不動(dòng)點(diǎn)0x ,在遞推公式兩邊同時(shí)減去0x ,在變形求解。 類型一:形如1 n n a qa d +=+ 類型二:形如1n n n a a ba c a d+=+分析:遞歸函數(shù)

12、為(a x bf x c x d+=+(1若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p,q 時(shí),將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p,q ,再將兩式相除得11n n n n a p a p k a q a q +-=-,其中a pc k a qc -=-,111111(n n n a q pq k a p pq a a p k a q -=- (2若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p ,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p ,然后用1除,得111n n k a p a p+=+-,其中2c k a d =+。(十一）特征方程法 形如 an+2 = pan+1 + qan ( p, q 是常數(shù)）的數(shù)列 形如 a1 = m1 , a2 = m

13、2 , an+2 = pan+1 + qan ( p, q 是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求 得通項(xiàng) an ，其特征方程為 x2 = px + q 若有二異根 a , b ，則可令 an = c1a n + c2 b n (c1, c2 是待定常數(shù)） 若有二重根 a = b ，則可令 an = (c1 + nc2 a n (c1 , c2 是待定常數(shù)） 再利用 a1 = m1 , a2 = m2 , 可求得 c1 , c2 ，進(jìn)而求得 an (十二四種基本數(shù)列 1形如 an+1 - an = f (n 型 2.形如 等差數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累加法。 a n +1 = f (n 型 等比數(shù)列的廣義形式，見(jiàn)累乘法。 an 3.形如 an+1 + an = f (n 型 （1）若 a n+1 + a n = d （d 為常數(shù)） ，則數(shù)列 a n 為“等和數(shù)列” ，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期 為 2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論; （2）若 f(n為 n 的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為 an+1 - an = f (n 型，通過(guò)累加 來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減得 a n+1 - a n-1 = f (n - f (n - 1 ，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通 項(xiàng). 4.形如 a n+1 × a n =