量子力學練習一+解答

1、量子力學練習一1愛因斯坦在解釋光電效應時，提出 ；電子的康普頓波長為。 12h-2光量子（光子）h=mv+A c=2.4310 A2m0c2玻爾氫原子理論的三個基本假設是：（1）（2） （3） 。 定態(tài)假設 躍遷假設 角動量量子化假設3能量為100eV的電子，其德布羅意物質波的波長為。 1.210-10m4在量子力學中，描述系統(tǒng)的運動狀態(tài)用波函數(shù)(r)，一般要求波函數(shù)滿足三個條件即 。根據(jù)玻恩對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，電子呈現(xiàn)的波動性只是反映客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律，稱為 波，波函數(shù)模的平方(r)表示粒子在空間的幾率分布，稱為 。而(r)d表示 ，要表示粒子出現(xiàn)的絕對幾率，波函數(shù)必須 。 單值的、連續(xù)

2、的、平方可積的；幾率或概率 幾率密度或概率密度；在空間體積d中找到粒子的幾率或概率；歸一化5測不準關系xpx /2表明，微觀粒子的位置（坐標）和動量，這是 的反映，當 0時，量子力學將回到經(jīng)典力學，或者說 而Et /2說明原子處于激發(fā)態(tài)時有一定的時間限制，則原子激發(fā)能級有一定 ，這是原子光譜存在 的根源。不能同時具有完全確定的值 粒子的波動粒子兩重性 量子效應 寬度 自然寬度 2 2=，6在量子力學中，力學量通常用算符表示，在坐標表象中，動量變?yōu)閯恿克惴磒=。 在動量表象中，坐標變?yōu)樽鴺怂惴?，即r-i i p-7設波函數(shù)(x)=Ae22 x，為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A2222 -(x)dx=A*

3、e-xAe-xdx=A-22-e-2xdx=A222=1其中利用-e-x22dx=A 1/2 1/48已知做直線運動的粒子處于狀態(tài)(x)=1 1-ix（1）將(x)歸一化；（2）求出粒子坐標取值幾率為最大處的位置和最大幾率密度。 解：（1）令'(x)=2C，則由歸一化條件可得 1-ixC*C1122dx=C=2C '(x)dx=01+x2=1 -1+ix1-ix-1+x2而01，故 C=dx=arctanx=21+x20歸一化的波函數(shù)為'(x)= （2）坐標幾率密度取極值的條件dd12x W(x)= =-=0 22dxdx 1+x2(1+x)1 即x0時坐標幾率密度取極

4、大值，其值為W(0)= 9設粒子歸一化波函數(shù)為(x,y,z)，求在(y,y+dy)范圍內(nèi)找到粒子的幾率。解：波函數(shù)已歸一化，故在(y,y+dy)范圍內(nèi)找到粒子的幾率，應將x,z分量積分掉即 P=(x,y,z)dxdzdy (in)，n為整數(shù) 210寫出幾率守恒的積分和微分形式以及幾率密度、幾率流密度的表達式；并計算： 在球坐標系中粒子質量為m的波函數(shù)分布為 （1）1(r,)=（2）2(r,)=1exp(ikr)， k為常數(shù) r1 （3）2(r,)=exp(-ikr)，k為常數(shù) r時的幾率密度和幾率流密度，并根據(jù)結果說明粒子的運動情況。ddd=j ds+ j=0 微分形式： sdtdt2 幾率密

5、度：=(r,t) 解：幾率守恒的積分形式：i *-*)=Im(*) 幾率流密度：j=-(2mm11 2（1） 幾率密度：=(r,t)=*=exp(-in)exp(in)=22幾率流密度： 在球坐標系中= 1 1er+e+e rrrsin*= 1 1 (-in) er+e+e(in)rrsinr 1 in =(-in)e(in)=ersin2rsinn *e 故j=Im()=m2mrsin由上可知幾率密度為常數(shù)，而幾率流密度沿方向，與r，有關，因此此粒子繞z軸作圓周運動，但幾率流密度是量子化的（2） 幾率密度：=(r,t)=* 211exp-ikrexpikr=()()2 2rr幾率流密度：*=

6、exp(-ikr) 1 1 1er+e+eexp(ikr)rrrsinr 1 11ik =exp(-ikr)er exp(ikr)= -3+2errrrrrk *er 由此可知此粒子運動為向外傳播的球面波 故j=Im()=mmr2k *er，即（3） 同理幾率密度不變，而幾率流密度為j=Im()=-mmr21r粒子運動為向內(nèi)傳播的球面波。11寫出定態(tài)Schrodinger方程，并寫出處于定態(tài)的波函數(shù)的形式以及處于定態(tài)的粒子具有的特征。解：定態(tài)Schrodinger方程為2 =-(r)=E2+V(r) H()r 其中H2m定態(tài)波函數(shù)為(r,t)=E(r)e -iE/ ,E(r)為能量本征函數(shù)處于定