高考數(shù)學(xué)拋物線的性質(zhì)重點(diǎn)題型

1、拋物線的性質(zhì)適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高二適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)1、拋物線的簡單性質(zhì)2拋物線性質(zhì)的應(yīng)用3直線與拋物線問題教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)探究拋物線的簡單幾何性質(zhì)，初步學(xué)習(xí)利用方程研究曲線性質(zhì)的方法(2) 掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，理解拋物線方程與拋物線曲線間互逆推導(dǎo)的邏輯關(guān)系及利用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問題2過程與方法(1)通過拋物線的方程研究拋物線的簡單幾何性質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生與形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯推理、理性思維的能力(2)通過掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)及應(yīng)用過程，培養(yǎng)學(xué)生對研究方法的思想滲透及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過數(shù)與形

2、的辯證統(tǒng)一，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，通過對拋物線對稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求教學(xué)重點(diǎn)掌握拋物線的幾何性質(zhì)，使學(xué)生能根據(jù)給出的條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和一些實(shí)際應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)拋物線各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用教學(xué)過程 課堂導(dǎo)入太陽能是最清潔的能源太陽能灶是日常生活中應(yīng)用太陽能的典型例子太陽能灶接受面是拋物線一部分繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面它的原理是太陽光線(平行光束)射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽能灶把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)師：拋物線有幾個(gè)焦點(diǎn)？【提示】一個(gè)師：拋物線的頂點(diǎn)與橢圓有什么不同？【提示】橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)師：拋物線有對稱中

3、心嗎？【提示】沒有師：拋物線有對稱軸嗎？若有對稱軸，有幾條？【提示】有；1條一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、 復(fù)習(xí)拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的內(nèi)容2、 提問雙曲線有哪些幾何性質(zhì)，獲取的途徑有哪些？（從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及離心率等研究拋物線的幾何性質(zhì)） 二、知識(shí)講解類型y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)焦點(diǎn)F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)性質(zhì)準(zhǔn)線xxyy范圍x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e1開口方向向右向左向上向下考點(diǎn)1 拋物線性質(zhì)考點(diǎn)2 直線與拋物線1、通徑：過拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線的軸

4、的弦AB，叫做拋物線的通徑，其長為叫做拋物線的2、拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p0上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；3、拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=; 三、例題精析【例題1】【題干】已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】y2±4x.【解析】由題意，設(shè)拋物線方程為y2ax

5、(a0)焦點(diǎn)F(，0)，直線l：x，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，AB|a|，OAB的面積為4，·|·|a|4，a±4，拋物線的方程為y2±4x.【例題2】【題干】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸重合于橢圓1短軸所在的直線，拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程【答案】y220x或y220x.【解析】橢圓1的焦點(diǎn)在y軸上，橢圓1短軸所在的直線為x軸拋物線的對稱軸為x軸設(shè)拋物線的方程為y2mx(m0)|5，m±20.所求拋物線的方程為y220x或y220x. 【例題3】【題干】已知拋物線方程為y22px(p>0)，過此拋物線

6、的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且ABp，求AB所在直線的方程【答案】y2(x)或y2(x)【解析】法一焦點(diǎn)F(，0)，設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，則AB2p<p.所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為yk(x)，k0.由，消去x，整理得ky22pykp20.由韋達(dá)定理得，y1y2，y1y2p2.AB ·2p(1)p，解得k±2.AB所在直線方程為y2(x)或y2(x)法二如圖所示，拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線為x，A(x1，y1)、B(x2，y2)，設(shè)A、B到準(zhǔn)線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，AFdAx1，

7、BFdBx2，于是ABx1x2pp，x1x2p.當(dāng)x1x2時(shí)，AB2p<p，所以直線AB與Ox不垂直設(shè)直線AB的方程為yk(x)由，得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2p，解得k±2，所以直線AB的方程為y2(x)或y2(x)【例題4】【題干】斜率為的直線經(jīng)過拋物線x28y的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長 【答案】10 【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則對于拋物線x28y，焦點(diǎn)弦長ABp(y1y2)4(y1y2)因?yàn)閽佄锞€x28y的焦點(diǎn)為(0,2)，且直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為yx2，代入拋物線方程x28y，得y26y40，從

8、而y1y26，所以AB10.即線段AB的長為10.【例題5】 【題干】已知P是拋物線y24x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)A(a,0)，試求當(dāng)PA最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a2時(shí)，P(0,0)；a2時(shí)，P(a2，±2)【解析】設(shè)P(x，y)，則PA.x0，aR，需分類討論如下：(1)當(dāng)a20即a2時(shí)，PA的最小值為|a|，此時(shí)P(0，0)(2)當(dāng)a20即a2時(shí)，則xa2，PA取得最小值為2，此時(shí)P(a2，±2)綜上所述，PA最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：a2時(shí)，P(0,0)；a2時(shí)，P(a2，±2)【例題6】 【題干】求拋物線yx2上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離【答案】.【解

9、析】法一設(shè)拋物線yx2上一點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：xy20的距離為d，則d|(x0)2|.當(dāng)x0時(shí)，dmin.法二消去y得x2xm0令14m0得m，切線方程為xy0，最短距離為d.【例題7】 【題干】求過定點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y22x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程【答案】x0或y1或yx1.【解析】若直線的斜率不存在，則過點(diǎn)P(0,1)的直線方程為x0.由得直線x0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)若直線的斜率存在，則由題意設(shè)直線的方程為ykx1.由消去y得k2x22(k1)x10.當(dāng)k0時(shí)，有即直線y1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)k0時(shí)，有4(k1)24k20，k，即方程為yx1的直線與拋物線只有一個(gè)公共

10、點(diǎn)綜上所述，所求直線的方程為x0或y1或yx1. 四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x2，則拋物線的方程是_【答案】y28x【解析】2，p4，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.2經(jīng)過拋物線y22px(p>0)的所有焦點(diǎn)弦中，弦長的最小值為_【答案】2p【解析】通徑長為2p.3過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x28，則PQ的值為_【答案】10【解析】PQx1x2210.4拋物線y24x的焦點(diǎn)到雙曲線x21的漸近線的距離是_【答案】【解析】由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線的漸近線方程為xy0或xy0，則焦點(diǎn)到漸

11、近線的距離d1或d2.【鞏固】1已知等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A，B在拋物線y26x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOB的邊長為_【答案】12【解析】設(shè)AOB邊長為a，則A(a，)，6×a.a12.2過拋物線yax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為m、n，則_.【答案】4a【解析】由焦點(diǎn)弦性質(zhì)知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y(a>0)，2p，p，4a，即4a.3已知弦AB過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_【答案】相切【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，如圖，則AB

12、AFBFx1x2p.設(shè)A，B，M到準(zhǔn)線l：x距離分別為d1，d2，d，則有d1x1，d2x2，d，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切4如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬_米【答案】2【解析】設(shè)水面與拱橋的一個(gè)交點(diǎn)為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，2)設(shè)拋物線方程為x22py(p>0)，則222p×(2)，得p1.設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，3)，則x6，解得x0±，所以水面寬為2米【拔高】1設(shè)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，M為拋物線上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線l：3x4y14

13、0的距離的最小值為1，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】x216y.【解析】設(shè)與l平行的切線方程為3x4ym0，由得2x23pxpm0.0即mp.又d1，p8或p(舍)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y.2過點(diǎn)(0,4)，斜率為1的直線與拋物線y22px(p0)交于兩點(diǎn)A，B，如果OAOB(O為原點(diǎn))求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)【答案】(1,0)【解析】直線方程為yx4.由消去y得x22(p4)x160.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(p4)，x1x216，4(p4)2640.所以y1y2(x14)(x24)8p.由已知OAOB得x1x2y1y20，從而168p0，解得p2.所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A、B兩點(diǎn)(1)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求·的值；(2)如果·4，證明：直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)【答案】（1）-3；（2）(2,0)【解析】(1)設(shè)l：myx1與y24x聯(lián)立，得y24my40，y1y24m，y1y24，·x1x2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)13.(2)證明：設(shè)l：myxn與y24x聯(lián)立，得y24my4n0，y1y24m，y1y24n.由