高中數(shù)學333點到直線的距離和兩條平行直線間的距離教學案必修2

1、3.3.3 點到直線的距離【教學目標】1.讓學生掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離.2.引導學生構思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作.【重點難點】教學重點:點到直線距離公式的推導和應用.教學難點:對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學模型的建立.【教學過程】導入新課思路1.點P(0,5)到直線y=2x的距離是多少？更進一步在平面直角坐標系中,如果已知某點P的坐標為(x0,y0),直線l的方程是Ax+By+C=0,怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢?這節(jié)課我們就來專門研究這個問題.思路2.我

2、們已學習了兩點間的距離公式，本節(jié)課我們來研究點到直線的距離.如圖1,已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離(為使結論具有一般性，我們假設A、B0).圖1新知探究提出問題已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離.你最容易想到的方法是什么?各種做法的優(yōu)缺點是什么?前面我們是在A、B均不為零的假設下推導出公式的，若A、B中有一個為零，公式是否仍然成立？回顧前面證法一的證明過程，同學們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？(如何求兩條平行線間的距離)活動：請學生觀察上面三種特殊情形中的結論:()x0=0,y0=0時，d=；()x00,y0=0時，d=；()x

3、0=0,y00時，d=.觀察、類比上面三個公式，能否猜想：對任意的點P(x0,y0)，d=?學生應能得到猜想：d=.啟發(fā)誘導：當點P不在特殊位置時，能否在距離不變的前提下適當移動點P到特殊位置，從而可利用前面的公式？(引導學生利用兩平行線間的距離處處相等的性質，作平行線，把一般情形轉化為特殊情形來處理)證明：設過點P且與直線l平行的直線l1的方程為Ax+By+C1=0，令y=0，得P(,0).PN=. (*)P在直線l1:Ax+By+C1=0上,Ax0+By0+C1=0.C1=-Ax0-By0.代入(*)得|PN|=即d=,.可以驗證，當A=0或B=0時，上述公式也成立.引導學生得到兩條平行線

4、l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離d=.證明：設P0(x0,y0)是直線Ax+By+C2=0上任一點，則點P0到直線Ax+By+C1=0的距離為d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，d=.討論結果：已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，求點P到直線l的距離公式為d=.當A=0或B=0時，上述公式也成立.兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離公式為d=.應用示例例1 求點P0(-1，2)到下列直線的距離：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根據(jù)點到直線的距離公式得d=.(2)因為直線3x=2平行于y

5、軸，所以d=|-(-1)|=.點評：例1(1)直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握；(2)體現(xiàn)了求點到直線距離的靈活性，并沒有局限于公式.變式訓練 點A(a，6)到直線3x4y=2的距離等于4，求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2 已知點A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求ABC的面積.解:設AB邊上的高為h，則SABC=|AB|·h.|AB|=，AB邊上的高h就是點C到AB的距離.AB邊所在的直線方程為,即x+y-4=0.點C到x+y-4=0的距離為h=，因此，SABC=×=5.點評：通過這兩道簡單的例題，使學生能夠進一步對點到直線

6、的距離理解應用，能逐步體會用代數(shù)運算解決幾何問題的優(yōu)越性.變式訓練 求過點A(-1,2),且與原點的距離等于的直線方程.解:已知直線上一點，故可設點斜式方程，再根據(jù)點到直線的距離公式,即可求出直線方程為xy1=0或7xy5=0.例3 求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離.解:在直線2x-7y-6=0上任取一點,例如取P(3,0),則點P(3,0)到直線2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.因此,d=.點評:把求兩平行線間的距離轉化為點到直線的距離.變式訓練 求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離.答案：.解:點O(0，0)關于直線l:2x-

7、y+1=0的對稱點為O(-,)，則直線MO的方程為y-3=x.直線MO與直線l:2x-y+1=0的交點P()即為所求，相應的|PO|-|PM|的最大值為|MO|=.課堂小結通過本節(jié)學習，要求大家：1.掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離.2.構思距離公式的推導方案，培養(yǎng)學生觀察、分析、轉化、探索問題的能力，鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學生勇于探索、善于研究的精神，學會合作.3.本節(jié)課重點討論了平面內點到直線的距離和兩條平行線之間的距離，后者實際上可作為前者的變式應用.當堂檢測 導學案當堂檢測【板書設計】一、點到直線距離公式二、例題例1變式1例2變式2 【作業(yè)布置】課本習題3.3 A組9、10；B

8、組2、4及導學案課后練習與提高 點到直線的距離 課前預習學案 一、預習目標讓學生掌握點到直線的距離公式，并會求兩條平行線間的距離二、學習過程預習教材P117 P119，找出疑惑之處問題1已知平面上兩點，則的中點坐標為 ，間的長度為 .問題2在平面直角坐標系中，如果已知某點的坐標為，直線的方程是，怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點到直線的距離呢?5分鐘訓練1.點（0，5）到直線y=2x的距離是( )A. B. C. D.2.兩條平行直線3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之間的距離為_.3.已知點(a,2)(a0)到直線l：x-y+3=0的距離為1,則a的值等于( )A. B. C. D.參

9、考答案1.解析:根據(jù)點到直線的距離公式得.答案：B2.解析:根據(jù)兩條平行線間的距離公式得=2.答案：23.解析:根據(jù)點到直線的距離公式得因為a0，所以.答案：C3 提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c疑惑內容課內探究學案一、學習目標 1理解點到直線距離公式的推導，熟練掌握點到直線的距離公式；2會用點到直線距離公式求解兩平行線距離3認識事物之間在一定條件下的轉化.用聯(lián)系的觀點看問題學習重點:點到直線距離公式的推導和應用.學習難點:對距離公式推導方法的感悟與數(shù)學模型的建立二、學習過程知識點1：已知點和直線，則點到直線的距離為：.注意：點到直線的距離是直線上的點

10、與直線外一點的連線的最短距離；在運用公式時，直線的方程要先化為一般式.問題1：在平面直角坐標系中，如果已知某點的坐標為，直線方程中，如果，或，怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點P到直線的距離呢并畫出圖形來.例 分別求出點到直線的距離. 問題2：求兩平行線：，：的距離.知識點2：已知兩條平行線直線，則與的距離為注意：應用此公式應注意如下兩點：（1）把直線方程化為一般式方程；（2）使的系數(shù)相等. 典型例題例1 求點P0(-1，2)到下列直線的距離：(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 變式訓練 點A(a，6)到直線3x4y=2的距離等于4，求a的值. 例2 已知點A(1，3)，B(3，1)，

11、C(-1，0)，求ABC的面積 變式訓練 求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離當堂檢測課本本節(jié)練習.拓展提升問題：已知直線l:2x-y+1=0和點O(0，0)、M(0，3)，試在l上找一點P，使得|PO|-|PM|的值最大，并求出這個最大值.學習小結1. 點到直線距離公式的推導過程，點到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉化為點到直線的距離公式 課后鞏固練習與提高 30分鐘訓練1.點（3,2）到直線l:x-y+3=0的距離為( )A. B. C. D.2.點P(m-n,-m)到直線=1的距離為( )A. B. C. D.3.點P在直線x+y-4=0上，O為坐標

12、原點，則|OP|的最小值為( )A. B. C. D.24.到直線2x+y+1=0的距離為的點的集合為( )A.直線2x+y-2=0 B.直線2x+y=0C.直線2x+y=0或直線2x+y-2=0 D.直線2x+y=0或直線2x+y+2=05.若動點A、B分別在直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為( )A. B. C. D.6.兩平行直線l1、l2分別過點P1(1,0)、P2(1,5),且兩直線間的距離為，則兩條直線的方程分別為l1：_,l2：_.7.已知直線l過點A(-2,3),且點B(1,-1)到該直線l的距離為3，求直線l的方程.8.

13、已知直線l過點(1,1)且點A(1,3)、B(5,-1)到直線l的距離相等，求直線l的方程.9.已知三條直線l1：2x-y+a=0(a0),直線l2：4x-2y-1=0和直線l3：x+y-1=0,且l1與l2的距離是.(1)求a的值.(2)能否找到一點P,使得P點同時滿足下列3個條件:P是第一象限的點；P點到l1的距離是P到l2的距離的；P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是？若能,求P點的坐標;若不能,請說明理由.參考答案1.解析:由點到直線的距離公式可得d=.答案：C 2.解析:nx+my-mn=0，由點到直線的距離公式，得.答案：A3.解析:根據(jù)題意知|OP|最小時，|OP|表示原點O

14、到直線x+y-4=0的距離.即根據(jù)點到直線的距離公式，得.答案：B4.解析:根據(jù)圖形特點，滿足條件的點的集合為直線，且該直線平行于直線2x+y+1=0，且兩直線間的距離為.設所求直線的方程為2x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式，得m-1=1，解得m=2或m=0.故所求直線的方程為2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D5.解析:依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，設點M所在直線的方程為l：x+y+m=0，根據(jù)平行線間的距離公式得m+7=m+5m=-6，即x+y-6=0，根據(jù)點到直線的距離公式

15、得：M到原點的距離的最小值為.答案：A6.解析:因P1(1,0)、P2(1,5)間的距離為5，所以兩平行直線l1、l2垂直于過P1(1,0)、P2(1,5)的直線，又因過P1(1,0)、P2(1,5)的直線垂直于x軸，所以l1、l2平行于x軸，即方程分別為l1：y=0,l2：y=5.答案：y=0 y=57.解：直線l的斜率不存在時，即方程為x=-2，此時點B(1,-1)到該直線的距離為3，滿足條件；直線l的斜率存在時，設直線方程為y=k(x+2)+3，根據(jù)點到直線的距離公式得d=324k=-7k=,即此時直線l的方程為y=(x+2)+37x+24y-58=0.故所求直線的方程為x=-2或7x+24y-58=0.8.解：直線l平行于直線AB時，其斜率為k=kAB=-1，即直線方程為y=-(x-1)+1x+y-2=0；直線l過線段AB的中點M(2,1)時也滿足條件，即直線l的方程為y=1.綜上，直線l的方程為x+y-2=0或y=1.9.解：(1)根據(jù)題意得：l1與l2的距離d=a=3或a=-4(舍).(