非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法

1、7-5 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析法 相平面法在分析非線性系統(tǒng)時(shí)是很有用處的。但是，我們?cè)诮榻B非線性系統(tǒng)的分析方法之前，先討論一下相平面法在分析線性二階系統(tǒng)中的應(yīng)用是很有好處的。因?yàn)樵S多非線性元件特性一般都可分段用線性方程來表示，所以非線性控制系統(tǒng)也可以用分段線性系統(tǒng)來近似。一、線性控制系統(tǒng)的相平面分析1、階躍響應(yīng) 設(shè)線性二階控制系統(tǒng)如圖7-38所示。若系統(tǒng)開始處于平衡狀態(tài)。試求系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下，在平面上的相軌跡。建立系統(tǒng)微分方程式，由圖示系統(tǒng)可得 因?yàn)?，代入上式?（7-31）對(duì)于時(shí)，因此上式可寫成 （7-32）方程（7-32）與（7-22）式相仿。因?yàn)榧僭O(shè)系統(tǒng)開始處于平衡狀態(tài)，所以誤差

2、信號(hào)的初始條件是和。平面上的相軌跡起始于點(diǎn)，而收斂于原點(diǎn)(系統(tǒng)的奇點(diǎn))。當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根是共軛復(fù)數(shù)根，并且位于左半平面時(shí)，其相軌跡如圖7-39(a)所示。根據(jù)平面上的相軌跡就可方便的求得平面上系統(tǒng)輸出的相軌跡，如圖7-39(b)所示。由圖7-39可見，欠阻尼情況下系統(tǒng)的最大超調(diào)量及系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的誤差為零。因?yàn)槠矫嫦嘬壽E最終到原點(diǎn)，即奇點(diǎn)；所以在平面上相軌跡最終到達(dá)的穩(wěn)態(tài)值，則奇點(diǎn)坐標(biāo)為。2、斜坡響應(yīng) 對(duì)于斜坡輸入；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)及。因此，方程（7-31）可以寫成 或 令，代入上式，則有 （7-33）在平面上，方程（7-33）給出了相平面圖與在平面上方程（7-32）給出的相平面圖是相同的。應(yīng)當(dāng)指

3、出，特征方程式的根確定了奇點(diǎn)的性質(zhì)，在平面上的奇點(diǎn)的位置是坐標(biāo)原點(diǎn)，而在平面上奇點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)。又因?yàn)槲覀兗僭O(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為平衡狀態(tài)。所以誤差信號(hào)的初始值，。如果式（7-33）的特征根是處于左半平面的共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，則在平面上的相軌跡為如圖7-40所示。由上面分析可以看出，圖7-38所示系統(tǒng)，對(duì)于斜坡輸入時(shí)的相軌跡，除整個(gè)相軌跡圖形向右平移之外，其他與階躍輸入時(shí)完全相同。另外，當(dāng)系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)，相軌跡最終不是到原點(diǎn)而是卷入奇點(diǎn)。這表示系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)呈現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差為。二、非線性控制系統(tǒng)的相平面分析當(dāng)非線性元件靜特性可以用分段直線來表示時(shí)，這樣的非線性系統(tǒng)就可以用幾個(gè)分段線性系統(tǒng)來描述。這時(shí)，整個(gè)相

4、平面可以劃分成若干個(gè)區(qū)域，其中每一個(gè)區(qū)域相應(yīng)于一個(gè)單獨(dú)的線性工作狀態(tài)。相應(yīng)地每一個(gè)區(qū)域都有一個(gè)奇點(diǎn)，不過這個(gè)奇點(diǎn)有時(shí)可能不一定在本區(qū)域之內(nèi)，而是在其它區(qū)域。如果奇點(diǎn)位于本區(qū)域之內(nèi)，則稱為實(shí)奇點(diǎn)；如果奇點(diǎn)位于本區(qū)域之外，那么該區(qū)內(nèi)的相軌跡就永遠(yuǎn)不可能到達(dá)該點(diǎn)，因此，稱這樣的奇點(diǎn)為虛奇點(diǎn)。具有分段線性特性的二階系統(tǒng)，一般只有一個(gè)實(shí)奇點(diǎn)，因此與具有實(shí)奇點(diǎn)的區(qū)域相鄰接的所有區(qū)域都將具有虛奇點(diǎn)。每一個(gè)奇點(diǎn)的位置和性質(zhì)，都取決于相應(yīng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)方程。每一個(gè)區(qū)域的相平面圖均表示一個(gè)相應(yīng)線性系統(tǒng)的相平面圖。有了這些相平面圖以后，只要在區(qū)域的邊界線上，把相應(yīng)的相軌跡連接起來，就可構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)的完整的相軌跡。下面舉

5、例說明具體做法。1、具有非線性增益的控制系統(tǒng) 設(shè)如圖7-41(a)所示的非線性控制系統(tǒng)，圖中表示的方塊是一個(gè)非線性放大器，其靜特性如圖7-41(b)所示，當(dāng)誤差信號(hào)的數(shù)值大于或小于時(shí)，放大器的增益分別等于1或小于1，即 （7-34）可見，系統(tǒng)在大誤差信號(hào)時(shí)，具有大的增益；而在小誤差信號(hào)時(shí)，增益也小。因?yàn)閳D7-40(a)所示系統(tǒng)是分段線性的。所以可以把它看成是兩個(gè)線性系統(tǒng)的組合，其相應(yīng)的相軌跡也由兩個(gè)線性系統(tǒng)的相軌跡組合而成。具體做法如下：假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止平衡狀態(tài)。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，寫出變量與之間的微分方程為由于，代入上式得 （7-35）設(shè)系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下，在平面上作相應(yīng)的相軌跡。對(duì)

6、于單位階躍輸入，當(dāng)時(shí)，所以式（7-35）成為 （7-36）上式即為非線性系統(tǒng)在單位階躍作用下的誤差微分方程。將式（7-34）代入式（7-36）得下列兩個(gè)線性微分方程： （7-36a） (7-36b)在下面的分析中，假設(shè)方程（7-36a）為欠阻尼的運(yùn)動(dòng)方程，其特征根為具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)根，對(duì)應(yīng)的相軌跡如圖7-42(a)所示，奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。假設(shè)方程(7-36b）為過阻尼的運(yùn)動(dòng)方程，相應(yīng)的特征根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，相軌跡如圖7-42(b)所示，奇點(diǎn)(0，0)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。根據(jù)方程（7-36a）和(7-36b）所確定的相應(yīng)區(qū)域，將圖7-42(a)和圖7-42(b)組合在一起就可得到圖7-41所示

7、非線性系統(tǒng)的相軌跡圖，如圖7-43所示。圖中系統(tǒng)參數(shù)為：，和。 由圖7-43可知，相平面被分割成三個(gè)區(qū)域：在直線和限定的區(qū)域內(nèi)對(duì)應(yīng)著方程(7-36b）,而在這個(gè)區(qū)域以外相軌跡由方程(7-36a)確定。相軌跡起始于點(diǎn)，該點(diǎn)由初始條件，確定。從點(diǎn)出發(fā)的相軌跡，首先沿7-42(a)所示相軌跡運(yùn)動(dòng)，并“企圖”收斂到穩(wěn)定焦點(diǎn)（虛奇點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)）。然而，當(dāng)相點(diǎn)（描述點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即到達(dá)本區(qū)域的邊界線線上時(shí)，若繼續(xù)運(yùn)動(dòng)將越出邊界而進(jìn)入新的區(qū)域。因此，相軌跡將在點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)換，B點(diǎn)是上一區(qū)域的終點(diǎn)，同時(shí)也是下一區(qū)域的起點(diǎn)。從B點(diǎn)開始直至再發(fā)生下一次轉(zhuǎn)換為止，相點(diǎn)將沿圖7-42(b)所示相跡運(yùn)動(dòng)而企圖收斂到穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)

8、。但是在點(diǎn)，系統(tǒng)又一次發(fā)生轉(zhuǎn)換，相軌跡趨向于收斂虛奇點(diǎn)（穩(wěn)定焦點(diǎn)）。同樣，當(dāng)相點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)又將發(fā)生轉(zhuǎn)換如此反復(fù)繼續(xù)下去，直至最后相軌跡進(jìn)入?yún)^(qū)域，不再越出并最終收斂到穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，即實(shí)奇點(diǎn)(0,0)為止?？梢?，非線性系統(tǒng)的整個(gè)相軌跡為，如圖7-43的實(shí)線所示。顯然，系統(tǒng)在階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零。圖7-43中用虛線描繪的相軌跡為圖7-44所示欠阻尼二階系統(tǒng)在單位階躍作用下的相軌跡圖。比較這兩條相軌跡，可見前者所對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)特性比后者要好。首先收斂速度快，即系統(tǒng)速度性提高了，其次，超調(diào)量小。對(duì)于較小的階躍輸入，響應(yīng)甚至是無超調(diào)的。對(duì)于中等大小的階躍輸入，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有一次超調(diào)。對(duì)于大的階躍輸入，雖然

9、在系統(tǒng)的響應(yīng)曲線中可能出現(xiàn)超調(diào)和反向超調(diào)，但其超調(diào)量肯定比圖7-44所示的線性系統(tǒng)要小。圖7-41所示系統(tǒng)在典型階躍輸入時(shí)的誤差響應(yīng)曲線如圖7-45。2、繼電系統(tǒng)在圖7-41所示非線性隨動(dòng)系統(tǒng)中，將放大器換成繼電器，并假定繼電器具有理想的繼電特性，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-46所示。理想繼電器特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （7-37） 假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止平衡狀態(tài)。繼電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為 對(duì)于階躍輸入，當(dāng)時(shí)，有，所以上式為 （7-38）將式(7-37)代入上式得方程組 顯然，兩個(gè)方程均為線性微分方程。因?yàn)槔^電特性是由兩條直線段組成，所以兩條直線段內(nèi)繼電系統(tǒng)的特性仍為線性的，只是在繼電器切換時(shí)才表現(xiàn)出非線性特性。將

10、代入（7-38）式，則有 或 對(duì)上式兩邊進(jìn)行積分得相軌跡方程 由假設(shè)條件：，代入上式可得 （7-39）代入值則有 根據(jù)上兩式可作出繼電系統(tǒng)的相軌跡如圖7-47所示。由圖可見，相軌跡起始于點(diǎn)，在的區(qū)域內(nèi)按方程（7-39a）變化，到達(dá)軸點(diǎn)時(shí)，繼電器切換，相軌跡方程按方程(7-39b)變化。這樣依次進(jìn)行，最后趨于坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），得系統(tǒng)完整的相軌跡如圖7-47。另外由圖可見，相軌跡轉(zhuǎn)換均在縱軸上，這種直線稱為開關(guān)線，它表示繼電器工作狀態(tài)的轉(zhuǎn)換。3、速度反饋對(duì)繼電系統(tǒng)階躍響應(yīng)的影響 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-48所示，圖中。這時(shí)理想繼電特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 （7-40）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為 對(duì)于階躍輸入，當(dāng)時(shí)，上

11、式為 （7-41）將式（7-40）代入式（7-41）得方程組 上式方程組與方程比較，可見它們完全相同，不同之處僅是方程所對(duì)應(yīng)的區(qū)域不同。根據(jù)方程可知，具有速度反饋的繼電系統(tǒng)的相跡方程為 由上兩式邊界條件可得開關(guān)線方程為 （7-43）根據(jù)開關(guān)線方程及相軌跡方程可作出系統(tǒng)的相軌跡，如圖7-49所示。將此相軌跡圖與圖7-47比較，可看出兩者主要是開關(guān)線不同。未接入速度反饋時(shí)，開關(guān)線為的虛軸；在接入速度反饋后，開關(guān)線逆時(shí)針轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。由于開關(guān)線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果，相軌跡將提前進(jìn)行切換，這樣就使得系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善。由于開關(guān)線轉(zhuǎn)角隨著速度反饋強(qiáng)度的增大而增大，因此，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)性能將隨著速度反饋強(qiáng)度的增大而得到改善。綜上所述，相平面法一般可解決下列問題：（1）相平面上可以清晰地表示出系統(tǒng)在各種初始條件下的所有可能的運(yùn)動(dòng)；（2）相平面上可用奇點(diǎn)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）相平面上可用極限環(huán)來分析系統(tǒng)的自振穩(wěn)定性；（4）由相軌跡可以求出系統(tǒng)的瞬