彈性力學(xué)基礎(chǔ)(程堯舜_同濟(jì)大學(xué)出版社)課后習(xí)題解答

1、習(xí)題解答第二章2.1計(jì)算：(1)，(2)，(3)。 解：(1);(2);(3)。2.2證明：若，則。證：。2.3設(shè)、和是三個(gè)矢量，試證明：證：。2.4設(shè)、和是四個(gè)矢量，證明：證： 。2.5設(shè)有矢量。原坐標(biāo)系繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度，得到新坐標(biāo)系，如圖2.4所示。試求矢量在新坐標(biāo)系中的分量。 解：， ， ，。 ， ，。2.6設(shè)有二階張量。當(dāng)作和上題相同的坐標(biāo)變換時(shí)，試求張量在新坐標(biāo)系中的分量、和。解：變換系數(shù)同上題。，。2.7設(shè)有個(gè)數(shù)，對(duì)任意階張量，定義 若為階張量，試證明是階張量。證：為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取，則，在新坐標(biāo)系中，有 (a)因?yàn)楹褪菑埩?，所以有比較上式和式(a)，得由于是任意張量，故上式成立的充要

2、條件是即是張量。2.8設(shè)為二階張量，試證明。 證：。2.9設(shè)為矢量，為二階張量，試證明： (1)，(2) 證：(1) 。 (2) 2.10已知張量具有矩陣 求的對(duì)稱(chēng)和反對(duì)稱(chēng)部分及反對(duì)稱(chēng)部分的軸向矢量。 解：的對(duì)稱(chēng)部分具有矩陣 ， 的反對(duì)稱(chēng)部分具有矩陣 。 和反對(duì)稱(chēng)部分對(duì)應(yīng)的軸向矢量為 。2.11已知二階張量的矩陣為求的特征值和特征矢量。解：由上式解得三個(gè)特征值為，。將求出的特征值代入書(shū)中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三個(gè)特征矢量為，。2.12求下列兩個(gè)二階張量的特征值和特征矢量：，其中，和是實(shí)數(shù)，和是兩個(gè)相互垂直的單位矢量。解：因?yàn)?，所以是的特征矢量?是和其對(duì)應(yīng)的特征值。設(shè)

3、是和垂直的任意單位矢量，則有所以和垂直的任意單位矢量都是的特征矢量，相應(yīng)的特征值為，顯然是特征方程的重根。令 ，則有 ，上面定義的是相互垂直的單位矢量。張量可以表示成所以，三個(gè)特征值是1、0和1，對(duì)應(yīng)的特征矢量是、和。2.13設(shè)和是矢量，證明：(1)(2)證：(1) 這一等式的證明過(guò)程和書(shū)中證明式(2.14)的過(guò)程相同，在此略。 (2) 2.14設(shè)，求及其軸向矢量。 解： 由上式很容易得到軸向矢量，也可以按下面的方法計(jì)算軸向矢量 。2.15設(shè)是一閉曲面，是從原點(diǎn)到任意一點(diǎn)的矢徑，試證明：(1)若原點(diǎn)在的外面，積分；(2)若原點(diǎn)在的內(nèi)部，積分。證：(1)當(dāng)時(shí)，有 (b)因?yàn)樵c(diǎn)在的外面，上式在所

4、圍的區(qū)域中處處成立，所以由高斯公式得。(2)因?yàn)樵c(diǎn)在的內(nèi)部，所以必定存在一個(gè)以原點(diǎn)為球心、半徑為的球面完全在的內(nèi)部。用表示由和所圍的區(qū)域，在中式(b)成立，所以 即 在上，于是 。2.16設(shè)，試計(jì)算積分。式中是球面在平面的上面部分. 解：用表示圓，即球面和平面的交線。由Stokes公式得 。第三章3.1設(shè)是矢徑、是位移，。求，并證明：當(dāng)時(shí)，是一個(gè)可逆 的二階張量。 解： 的行列式就是書(shū)中的式(3.2)，當(dāng)時(shí)，這一行列式大于零，所以可逆。3.2設(shè)位移場(chǎng)為，這里的是二階常張量，即和無(wú)關(guān)。求應(yīng)變張量、反對(duì)稱(chēng)張量及其軸向矢量。 解：， 3.3設(shè)位移場(chǎng)為，這里的是二階常張量，且。請(qǐng)證明： (1)變形前

5、的直線在變形后仍為直線； (2)變形前的平面在變形后仍然是一個(gè)平面； (3)變形前的兩個(gè)平行平面在變形后仍為兩個(gè)平行的平面。 證：(1)方向和矢量相同且過(guò)矢徑為的點(diǎn)的直線方程可以寫(xiě)成 (1) 其中是可變的參數(shù)。變形后的矢徑為 (2) 用點(diǎn)積式(1)的兩邊，并利用式(2),得 上式也是直線方程，所表示的直線和矢量平行，過(guò)矢徑為的點(diǎn)。所以變形前的直線變形后仍然是直線。 (2)因?yàn)?，所以可逆。記，則 (3) 變形前任意一個(gè)平面的方程可以表示成 (4) 其中是和平面垂直的一個(gè)常矢量，是常數(shù)。將式(3)代入式(4)，得 (5) 上式表示的是和矢量垂直的平面。所以變形前的平面在變形后仍然是平面。 (3)變

6、形前兩個(gè)平行的平面可以表示成 ， 變形后變成 ， 仍是兩個(gè)平行的平面。3.4在某點(diǎn)附近，若能確定任意微線段的長(zhǎng)度變化，試問(wèn)是否能確定任意兩條微線段之間夾角的變化；反之，若能確定某點(diǎn)附近任意兩條微線段之間的夾角變化，試問(wèn)能否確定任意微線段的長(zhǎng)度變化。 答案：能；能。3.5設(shè)位移場(chǎng)為，其中是二階常張量，和是兩個(gè)單位矢量，它們之間的夾角為。求變形后的減小量。 解：和方向的正應(yīng)變分別為 ， 用和代替式(3.11)中的和，經(jīng)整理，得的減小量為 又，所以 。3.6設(shè)和是兩個(gè)單位矢量，和是兩個(gè)微小的矢量，變形前它們所張的平行四邊形面積為，試用應(yīng)變張量把變形時(shí)它的面積變化率表示出來(lái)，其中是面積變形前后的改變量

7、。 解：變形后，和變成 ， 對(duì)上面兩式進(jìn)行叉積，并略去高階小量，得 對(duì)上式兩邊進(jìn)行自身點(diǎn)積，略去高階小量，得 (a) 注意到 所以，從式(a)可得 利用習(xí)題2.4中的等式，上式也可寫(xiě)成 3.7設(shè)在一個(gè)確定的坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量為，讓坐標(biāo)系繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角，得一個(gè)新的坐標(biāo)系，求在新坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量。 解：， ， ，。 ， ， ， ，3.8在平面上，、和軸正方向之間的夾角分別為、，如圖3.9所示，這三個(gè)方向的正應(yīng)變分別為、和。求平面上任意方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度。 解：在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦為 ， 這一方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度為 (a) 利用上式，可得 ， 解之，得 ， 將求出的、和代回式(a)，得 3

8、.9試說(shuō)明下列應(yīng)變分量是否可能發(fā)生： ， ， 其中和為常數(shù)。 解：如果列出的應(yīng)變分量是可能的，則必須滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程。將題中的應(yīng)變分量代入?yún)f(xié)調(diào)方程(3.34c)，可以發(fā)現(xiàn)，必須有。所以當(dāng)和不為零時(shí)，上述應(yīng)變分量是不可能發(fā)生的。3.10確定常數(shù)，之間的關(guān)系，使下列應(yīng)變分量滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程 ， ， ， 。 解：將所給應(yīng)變分量代入?yún)f(xié)調(diào)方程，可以得到常數(shù)之間的關(guān)系如下： ，。 其它三個(gè)常數(shù)、可以是任意的。3.11若物體的變形是均勻的，即應(yīng)變張量和空間位置無(wú)關(guān)，試寫(xiě)出位移的一般表達(dá)式。 解：由于應(yīng)變張量和空間位置無(wú)關(guān)，所以書(shū)中的式(3.36a)簡(jiǎn)化成 其中是任意的剛體平移，是任意的角位移矢量。3.12設(shè)，其中，

9、是常量，求位移的一般表達(dá)式。 解：所給的應(yīng)變張量是， 很容易驗(yàn)證，且有 所以從式(3.36a),得 第四章4.1已知物體內(nèi)一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為： ， 試求法線方向余弦為，的微分面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：應(yīng)力矢量的三個(gè)分量為 ， 總應(yīng)力。 正應(yīng)力。 剪應(yīng)力。4.2過(guò)某點(diǎn)有兩個(gè)面，它們的法向單位矢量分別為和，在這兩個(gè)面上的應(yīng)力矢量分別為和，試證。 證：利用應(yīng)力張量的對(duì)稱(chēng)性，可得。證畢。4.3某點(diǎn)的應(yīng)力張量為 且已知經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的某一平面上的應(yīng)力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。 解：設(shè)要求的單位法向矢量為，則按題意有 即 ， (a) 上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得 上式有兩個(gè)解：或

10、。若，則代入式(a)中的三個(gè)式子，可得，這是不可能的。所以必有。將代入式(a)，利用，可求得 。4.4基礎(chǔ)的懸臂伸出部分具有三角柱體形狀，見(jiàn)圖4.8，下部受均勻壓力作用，斜面自由，試驗(yàn)證應(yīng)力分量 ， 滿(mǎn)足平衡方程，并根據(jù)面力邊界條件確定常數(shù)、和。 解：將題中的應(yīng)力分量代入平衡方程，可知它們滿(mǎn)足平衡方程。 在的邊界上，有邊界條件 ， 所給的應(yīng)力分量自動(dòng)滿(mǎn)足上面的第二個(gè)條件。將的表達(dá)式代入上面的第一個(gè)條件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦為 ， (3) 將式(2)和(3)代入邊界條件，得 (4) 聯(lián)立求解(1)和(4)，得 ，4.5圖4.

11、9表示一三角形水壩，已求得應(yīng)力分量為 ， ， 和分別是壩身和水的比重。求常數(shù)、，使上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足邊界條件。 解：在的邊界上，有邊界條件 ， 將題中的應(yīng)力分量代入上面兩式，可解得：，。 在左側(cè)的斜面上，外法向方向余弦為 ， 把應(yīng)力分量和上面得到的有關(guān)結(jié)果代入邊界條件，可解得：，。4.6物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法向一致的分布載荷，試寫(xiě)出其邊界條件。 解：物體表面上任意一點(diǎn)的外法向單位矢量為 或 按題意，邊界條件為 因此 即 上式的指標(biāo)形式為 。4.7如圖4.10所示，半徑為的球體，一半沉浸在密度為的液體內(nèi)，試寫(xiě)出該球的全部邊界條件。 解：球面的外法向單位矢量為 或 當(dāng)時(shí)，有邊界條

12、件 即 或 。 當(dāng)時(shí)，球面上的壓力為，其中為重力加速度，邊界條件為 即 或 。4.8物體的應(yīng)力狀態(tài)為，其中為矢徑的函數(shù)。(1)證明物體所受的體積力是有勢(shì)力，即存在一個(gè)函數(shù)，使；(2)寫(xiě)出物體表面上的面力表達(dá)式。 解：(1)應(yīng)力場(chǎng)必須滿(mǎn)足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力為 或 。4.9已知六個(gè)應(yīng)力分量中的，求應(yīng)力張量的不變量并導(dǎo)出主應(yīng)力公式。 解：應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為：，。 特征方程是 上式的三個(gè)根即三個(gè)主應(yīng)力為和 4.10已知三個(gè)主應(yīng)力為、和，在主坐標(biāo)系中取正八面體，它的每個(gè)面都為正三角形，其法向單位矢量為 ， 求八面體各個(gè)面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：， ， 。4.1

13、1某點(diǎn)的應(yīng)力分量為，求： (1)過(guò)此點(diǎn)法向?yàn)榈拿嫔系恼龖?yīng)力和剪應(yīng)力； (2)主方向、主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力及其方向。 解：(1)， 。 正應(yīng)力為。 剪應(yīng)力為。 由此可知，是主應(yīng)力，是和其對(duì)應(yīng)的主方向。 (2)用表示主應(yīng)力，則 所以，三個(gè)主應(yīng)力是，。由上面的結(jié)論可知，和對(duì)應(yīng)的主方向是，又因?yàn)槭侵馗?，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五?.1把線性各向同性彈性體的應(yīng)變用應(yīng)力表示為，試寫(xiě)出柔度系數(shù)張量的具體表達(dá)式。 解： 所以 。5.2橡皮立方塊放在同樣大小的鐵盒內(nèi)，在上面用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均布?jí)毫ψ饔?，如圖5.2所示。設(shè)鐵盒和鐵蓋可以作為剛體看待，而且橡皮與鐵盒之間無(wú)摩擦力。試求鐵盒內(nèi)側(cè)面所受的壓

14、力、橡皮塊的體積應(yīng)變和橡皮中的最大剪應(yīng)力。 解：取壓力的方向?yàn)榈姆较?，和其垂直的兩個(gè)相互垂直的方向?yàn)椤⒌姆较?。按題意有 ， 由胡克定律得 所以盒內(nèi)側(cè)面的壓力為 體積應(yīng)變?yōu)?最大剪應(yīng)力為 。5.3證明：對(duì)線性各向同性的彈性體來(lái)說(shuō)，應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是一致的。非各向同性體是否具有這樣的性質(zhì)？試舉例說(shuō)明。 解：對(duì)各向同性材料，設(shè)是應(yīng)力的主方向，是相應(yīng)的主應(yīng)力，則 (1) 各向同性的胡克定律是 將上式代入式(1)，得，即 由此可知，也是應(yīng)變的主方向。類(lèi)似地可證，應(yīng)變主方向也是應(yīng)力主方向。因此，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向一致。 下面假定材料性質(zhì)具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面。設(shè)所取的坐標(biāo)系是應(yīng)變主坐標(biāo)系，且材料性質(zhì)關(guān)于

15、平面對(duì)稱(chēng)。因?yàn)?，所以從?5.14)得 若應(yīng)變主坐標(biāo)系也是應(yīng)力主坐標(biāo)系，則，即 上式只能在特殊的應(yīng)變狀態(tài)下才能成立?？傊瑢?duì)各向異性材料，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向不一定相同。5.4對(duì)各向同性材料，試寫(xiě)出應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的關(guān)系。 解：由式(5.17)可得主應(yīng)力和主應(yīng)變之間的關(guān)系 (1) 從上式得 (2) （3） (4)式(2)、(3)、(4)就是用應(yīng)變不變量表示應(yīng)力不變量的關(guān)系。也容易得到用應(yīng)力不變量表示應(yīng)變不變量的關(guān)系。第六章6.1為什么同時(shí)以應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個(gè)量作未知函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是自動(dòng)滿(mǎn)足的？ 解：因?yàn)閼?yīng)變和位移滿(mǎn)足幾何方程，所以應(yīng)變協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿(mǎn)足。6.2設(shè) 其中、

16、為調(diào)和函數(shù)，問(wèn)常數(shù)為何值時(shí)，上述的為無(wú)體力彈性力學(xué)的位移場(chǎng)。 解： 同理。 由上面兩式及和是調(diào)和函數(shù)可得 (1) 因、為調(diào)和函數(shù)，所以 (2) 將式(1)、(2)代入無(wú)體力的Lamé-Navier方程，得 上式成立的條件是 即 。6.3已知彈性體的應(yīng)力場(chǎng)為 ，。(1) 求此彈性力學(xué)問(wèn)題的體力場(chǎng)；(2) 本題所給應(yīng)力分量是否為彈性力學(xué)問(wèn)題的應(yīng)力場(chǎng)。解：(1)將所給的應(yīng)力分量代入平衡方程，就可以得到體力場(chǎng)為。(2)所給的應(yīng)力分量和已求出的體積力滿(mǎn)足Beltrami-Michell應(yīng)力協(xié)調(diào)方程，所以給出的應(yīng)力分量是彈性力學(xué)問(wèn)題的應(yīng)力場(chǎng)。6.4證明下述Betti互易公式，其中、和、分別為同一

17、彈性體上的兩組面力、體力和位移。證：利用平衡方程、幾何方程和彈性模量張量的對(duì)稱(chēng)性，可得。 證畢。6.5如果體積力為零，試驗(yàn)證下述(Papkovich-Neuber)位移滿(mǎn)足平衡方程其中，。證：無(wú)體力的Lamé-Navier方程為又，所以Lamé-Navier方程可以寫(xiě)成將所給的位移代入上式的左邊，并利用，可得因?yàn)楹褪钦{(diào)和的，所以上式為零，即所給位移滿(mǎn)足平衡方程。6.6設(shè)有受純彎的等截面直桿，取桿的形心軸為軸，彎矩所在的主平面為平面。試證下述位移分量是該問(wèn)題的解 。 提示：在桿的端面上，按圣維南原理，已知面力的邊界條件可以放松為 ， 其中是桿的橫截面。 證：容易驗(yàn)證所給的位移

18、分量滿(mǎn)足無(wú)體力時(shí)的Lamé-Navier方程。用所給的位移可以求出應(yīng)變，然后用胡克定律可以求出應(yīng)力： ，其它應(yīng)力分量為零。 (a) 上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足桿側(cè)面無(wú)面力的邊界條件。桿端面的邊界條件為 ， 式(a)表示的應(yīng)力分量滿(mǎn)足上述端面條件。所以，所給的位移分量是受純彎直桿的解。6.7圖6.6表示一矩形板，一對(duì)邊均勻受拉，另一對(duì)邊均勻受壓，求應(yīng)力和位移。 解：顯然板中的應(yīng)力狀態(tài)是均勻的。容易驗(yàn)證下述應(yīng)力分量 ， 滿(mǎn)足平衡方程、協(xié)調(diào)方程和邊界條件，即是本問(wèn)題的解。由胡克定律可求得應(yīng)變?yōu)?利用題3.11的結(jié)果，可求得位移為 6.8彈性半空間，比重為，邊界上作用有均布?jí)毫?，設(shè)在處，求位移和應(yīng)力。

19、 解：由問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，可以假設(shè) ， 把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)自動(dòng)滿(mǎn)足，余下的一個(gè)變成 解之得 其中的、是待定常數(shù)。由已知條件得 所以 應(yīng)力分量為 ，。 在邊界上的邊界條件為：，。前兩個(gè)條件自動(dòng)滿(mǎn)足，最后一個(gè)成為 即 所以最后得 ，； ，。6.9設(shè)一等截面桿受軸向拉力作用，桿的橫截面積為，求應(yīng)力分量和位移分量。設(shè)軸和桿的軸線重合，原點(diǎn)取在桿長(zhǎng)的一半處；并設(shè)在原點(diǎn)處，且 。 答案：，； ，。6.10當(dāng)體力為零時(shí)，應(yīng)力分量為 ， ， ， 式中，。試檢查它們是否可能發(fā)生。解：所給應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡方程，但不滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程，故不可能發(fā)生。6.11圖6.7所示的矩

20、形截面長(zhǎng)桿偏心受壓，壓力為，偏心距為，桿的橫截面積為，求應(yīng)力分量。 解：根據(jù)桿的受力特點(diǎn)，假設(shè) ， 其中、是待定的常數(shù)。上述應(yīng)力分量滿(mǎn)足無(wú)體力時(shí)的平衡方程和協(xié)調(diào)方程，也滿(mǎn)足桿側(cè)面的邊界條件。按圣維南原理，桿端的邊界條件可以放松為 ， 前面兩個(gè)條件自動(dòng)滿(mǎn)足，將應(yīng)力分量代入后兩個(gè)條件，可求得 ，其中。 所以，得最后的應(yīng)力分量為，。6.12長(zhǎng)方形板，厚度為，兩對(duì)邊分別受均布的彎矩和作用，如圖6.8所示。驗(yàn)證應(yīng)力分量 ， 是否是該問(wèn)題的彈性力學(xué)空間問(wèn)題的解答。 解：所給應(yīng)力分量滿(mǎn)足無(wú)體力的平衡方程和協(xié)調(diào)(Beltrami-Michell)方程，也滿(mǎn)足板面上無(wú)面力的邊界條件。板邊上的邊界條件可以放松為

21、， 容易驗(yàn)證應(yīng)力分量滿(mǎn)足上述條件。同樣可以說(shuō)明應(yīng)力分量滿(mǎn)足板邊、上的邊界條件。所以，所給的應(yīng)力分量是所提空間問(wèn)題的解答。第七章7.1在常體力的情況下，為什么說(shuō)平面問(wèn)題中應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的方程表示協(xié)調(diào)條件？ 解：在無(wú)體力的情況，不管是平面應(yīng)力問(wèn)題還是平面應(yīng)變問(wèn)題，用應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程都是 若把用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力，即、代入上式，就可以得到 所以，上式就是用應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)條件。7.3設(shè)有任意形狀的等厚度博板，不計(jì)體力，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力，求板中的應(yīng)力分量。 答案：，。7.4圖7.5所示懸壁梁受均布載荷作用，求應(yīng)力分量。提示：假定和無(wú)關(guān)。 解：假定和無(wú)關(guān)，即，于是有 積分兩

22、次，得 (1) 其中和是的待定函數(shù)。將應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程，得 上式對(duì)任意成立的充要條件是 ， (2) 解上面的前兩式，得 ， 中略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項(xiàng)。由式(2)中的第三個(gè)方程，得 所以，有 在上式中略去了不影響應(yīng)力的常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)。將求出的函數(shù)、和代入式(1)，得 應(yīng)力分量為 本問(wèn)題的邊界條件是： ， (3) ， (4) (5) , (6) 由條件(5)可求得 ， 由條件(3)和(4)可以求得 ， 將求得的常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得 (7) 由條件(6)中的第一個(gè)條件可以求得，由(6)中的第二個(gè)條件可以求得 最后的應(yīng)力分量為 其中，是截面的慣性矩。7.5圖7.6所示的簡(jiǎn)支梁只受重力作用

23、，梁的密度為，重力加速度為，求應(yīng)力分量。提示：假定和無(wú)關(guān)。 解：假設(shè) 即 經(jīng)過(guò)和上題類(lèi)似的運(yùn)算，可以得到和上題相同的應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力分量為 由對(duì)稱(chēng)性可知，所以，由此得 ， 在梁的任意截面上，方向的合力為零，即 故有 ， 利用上面求得的結(jié)果，應(yīng)力分量的表達(dá)式簡(jiǎn)化為 在梁的端部有條件 在梁的上下表面上有條件 ， 將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上述條件，可以求得 ， 最后的應(yīng)力分量為 ，。7.6設(shè)有矩形截面的豎柱，其密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，見(jiàn)圖7.7，求應(yīng)力分量。提示：假設(shè)或。 解：設(shè)，積分得 把上式代入雙調(diào)和方程，得 因而有 ， 所以 ， 在和的表達(dá)式中略去了不影響應(yīng)力分量的項(xiàng)。應(yīng)力函數(shù)為 應(yīng)力分量為

24、 邊界條件是 ， ， 把應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上述條件，可以求得 ， 最后的應(yīng)力分量為 ，。7.7圖7.8表示一擋水墻，墻體的密度為，水的密度為，求應(yīng)力分量。提示：設(shè)。 解：設(shè)，積分兩次，得 將上式代入雙調(diào)和方程，得 上式成立的充要條件是 ， 解上述三個(gè)方程，得 在上面的三個(gè)函數(shù)中，已略去了不影響應(yīng)力分量的項(xiàng)。應(yīng)力函數(shù)為 應(yīng)力分量為 邊界條件為 ， ， 把應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上述條件，可以求得 ， 應(yīng)力分量為 7.8圖7.9所示的三角形懸壁梁只受重力作用，梁的密度為，求應(yīng)力分量。提示：設(shè)該問(wèn)題有代數(shù)多項(xiàng)式解，用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的冪次。 解：應(yīng)力與外載荷(即體力)成比例，所以任意一個(gè)應(yīng)力分量

25、都可以表示成如下形式 應(yīng)力的量綱是力長(zhǎng)度2，的量綱是力長(zhǎng)度3，和的量綱是長(zhǎng)度，是無(wú)量綱的，所以若是多項(xiàng)式，則必是一個(gè)和的齊一次表達(dá)式。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)是比高兩次的多項(xiàng)式，故有 應(yīng)力分量的表達(dá)式為 在的邊界上，有 ， 由上面兩式得 在斜面上，有 ， 斜面上的邊界條件為 由此得 ， 故 ，。 把求出的常數(shù)代回應(yīng)力分量的表達(dá)式，得 ， ， 。第八章8.1對(duì)平面應(yīng)變問(wèn)題，試證明極坐標(biāo)形式的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為 證：在極坐標(biāo)系中，有所以協(xié)調(diào)方程是即或。證畢。8.3在內(nèi)半徑為、外半徑為的圓筒外面套以?xún)?nèi)半徑為的剛性圓筒，內(nèi)筒的內(nèi)壁受壓力作用，如圖8.17所示，求應(yīng)力分量和位移分量。注：按平面應(yīng)力問(wèn)題求解。 解：這是一個(gè)

26、整環(huán)的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，應(yīng)力分量可以表示成如下形式 ， 若不計(jì)剛體位移，則位移分量的表達(dá)式為 ， 邊界條件為 將和的表達(dá)式代入上面兩個(gè)條件，可以求得 ， 將求出的常數(shù)代入應(yīng)力和位移的表達(dá)式，得 ， 8.4設(shè)有一塊內(nèi)半徑為、外半徑為的薄圓環(huán)板，內(nèi)壁固定、外壁受均布剪力作用，如圖8.18所示，求應(yīng)力和位移。 解：由對(duì)稱(chēng)性可知，極坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量和無(wú)關(guān)。 平衡方程(8.8)中的第二式簡(jiǎn)化成 解之得 由邊界條件得 即 所以。 平衡方程(8.8)中的第一式和應(yīng)力協(xié)調(diào)方程簡(jiǎn)化成 ， 這是齊次方程組，有特解，這一特解滿(mǎn)足邊界條件。所以應(yīng)力分量的解是 ，。 利用胡克定律，得 ， 由于對(duì)稱(chēng)性，位移分量和也和無(wú)關(guān)，所

27、以幾何關(guān)系簡(jiǎn)化成 ， 上面前兩式的解是，第三式的通解是 由邊界條件可以確定常數(shù)，所以位移分量的解是 ，。 解法二：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知、和無(wú)關(guān)。利用胡克定律和幾何關(guān)系，可得 ， 。 把上述表達(dá)式代入平衡方程，得 ， 由此解得 ， 利用邊界條件可以確定常數(shù)、。8.5圖8.19表示一尖劈，其一側(cè)面受均布?jí)毫ψ饔?，求?yīng)力分量、和。提示：用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式。 解：任意一個(gè)應(yīng)力分量都可以表示成，應(yīng)力和有相同的量綱，所以應(yīng)是無(wú)量綱的。根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是的兩次表達(dá)式，即 將上式代入雙調(diào)和方程，得 解出上式的解后，可得應(yīng)力函數(shù) 應(yīng)力分量為 邊界條件為 ， 把應(yīng)力分量的表達(dá)

28、式代入上面的四個(gè)條件，可以求出常數(shù)、和。 最后的應(yīng)力分量為 8.6圖8.20所示的是受純剪的薄板。如果離板邊較遠(yuǎn)處有一小圓孔，試求孔邊的最大和最小正應(yīng)力。 解：無(wú)孔時(shí)板中的應(yīng)力分量為 ， 在極坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量為 ， 假定小圓孔的半徑為。由于孔的半徑很小，且遠(yuǎn)離板邊，所以孔的存在只會(huì)引起孔附近應(yīng)力場(chǎng)的變化，因此這一問(wèn)題的邊值問(wèn)題可以寫(xiě)成 根據(jù)邊界條件和應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系，設(shè)應(yīng)力函數(shù)有如下形式 (a) 將上式代入雙調(diào)和方程，可以得到 把上式的解代入式(a)，得 所以有 把上述應(yīng)力分量的表達(dá)式代入邊值問(wèn)題中的邊界條件，可以求得 ， 將求出的常數(shù)代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得 在孔邊上，有 ， 因此最大正應(yīng)力是，最小正應(yīng)力是。 解法二：將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)，得一新的坐標(biāo)系。無(wú)孔時(shí)，在新的坐標(biāo)系中有，。這一問(wèn)題可以看成是方向受拉問(wèn)題和方向受壓?jiǎn)栴}的疊加，所以可以利用書(shū)中§8.7的結(jié)果和疊加原理求解。在孔邊上，有 ， 。8.7楔形體在側(cè)面上受有均布剪力，如圖8.21所示，求應(yīng)力分量。提示：用量綱分析法確定應(yīng)力函數(shù)的形式，或假定和無(wú)關(guān)。 解：用完全和題8.4中的分析方法相同的方法，可得 邊界條件為 ， 將應(yīng)力分量的表達(dá)式代入上面的條件，可以求出 ， 所以，有 ，。8.8在彈性半平面的表面上受個(gè)法向集中力構(gòu)成的力系作用，這些力到原點(diǎn)的距離為，如圖8.22所示，求應(yīng)力分量。 解：