平面向量與向量方法的應(yīng)用(競賽輔導(dǎo)材料)

1、精選文本平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一）（教師版）一、用向量表小三角形的“心"（重心、內(nèi)心、垂心、外心）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式：X是ABC的心BC內(nèi)的1點,X引理：勺X是XAQBXscAXsBAXs證明：這里只證明均為正數(shù)）.作XMXA,XTXC,品證明點X為MNP的重心.于是1-2HnSInSIAXISTM-XcA.nuX貝s,SXBCLSSXNPSMNP,同理SXACSMNP,SXAB以SXBC:SXAC:SXABSXAB,SXBCXaSXACXBSMNP，所LSXBAxC0.XBA1.2.sin2BObSXAC，取SXB

2、C,則練習(xí)：ABC的3.sin2AOa2OB2OC2o是4.H在ABC內(nèi)部，則tan是心.I是心.。是ABC的sin2cABC的心.H是ABC的心.心.ABC的當(dāng)你學(xué)完正弦定理和余弦定理后，會有更多的表示方法.A5.A6.7.|AB|居所在直線一定通過ABC的心.8.oP所在直線一定,過ABC的一taC所在直線一定通過cosB|AC|cosCA,B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的占八、心.ABC的心.3(1)OA(1(12(RO是坐標(biāo)原點，動點則點P的軌跡一定經(jīng)過P滿足ABC的心.（答|案2.內(nèi)HCHAt.HBHAHB|HA|HB|cosBHA3.外心.4.垂心（提示：H為ABC的垂心因為，H在SHA

3、BHAHBtanC,同理SHAC|cosCABC內(nèi)部2SHABCOsCtanB,Shbcsin(180；CHBHCtanA.又SxASxBSxC0所以乂SXBCXASXACXBSXBAXC0,所以tanATPnCHC0IHA.tanBAB)|cosCOP1OAoBoC3.1OAOb0c)(AcBc)cdacB,貝ucacB3CP|cosB|(OCOA)的中點，C,P,D三點共線，所以、三角形形狀的判定).5.內(nèi)心.ibCiibC(OCOB)所以(CA6.重心.APBPCPcB),即(17.垂心.提示：設(shè)8.重心.提示：)CD,因為ODP的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心.)1.O為ABC所在平面內(nèi)一點

4、，且滿足0,則三角形形狀為三角形.1.解：由條件，得AB2AC2,即|溫iac0,即(ABaC)(aBaC)0,所|.所以ABC晶等腰三角形.2.已知非零向量AB和ACa/ABAC滿足條件(-)IaB|aciA0,且|AB|A12則ABC是匚角形.|AB|,則AD為|2.解：設(shè)AD-BBAC的角平分線；又由ADBC0得到ADBC，所以ABAC.由上B-|AB|A1得到A60所以2ABC為等邊三角形.,則ABC的形狀為3.解：因為P是BC邊的中點，所以CACP是BC邊的中點，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若0且ab0,所以abc,即ABC為等邊三角形.三、向量分解問題1.如圖，兩塊斜邊長相

5、等的直角三角板拼在一起.則1.解：不妨設(shè)ABACBD.2-3-6.由于CA22垂線，與AB的延長線交于點AB,所以過點ADxaByAC,ABAC1,D作AB的45'，.ABBMbcV2,6.2.3DM2.給定兩個長度為i的平面向量oA和oB,它們的夾角為120：.如圖所示，點C可得,2y,在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動.若OCxOAcosxcos(12012xy.2coscos(120)cos3sin2sin(最大值是2.解法2：以點O為坐標(biāo)原點,OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，).設(shè)C(sin,cos)0,),由可得,(cos,sin)x(1,0)1y(2cos1x2y

6、一3sinyxcos3.一sin323.sin3,3sin2sin(-)26xy的最大值是解法3:設(shè),2.AOC線交OB于點E過點c作OB的平唱手1及OC|OA|JOB|OC|OAF點xOA過點C作OA的平行|OE|DC|y.,O120sin60；sin(120-1)ysincosDOC中.3.sin3可知，|OD|x,由正弦定理得23-ysin,3xycos3sin2sin(。為,xOA，貝UxyAOB6)2150；,CO3.過點C作OB的平行線交AO的延長線于點長線于點FOE6cos30,則3向,30,以x3<3,y3,所以xy,O_3石3.四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題y

7、的最大值是AO,|OA|12.,|OB|2E,過點C作OA的平行線交BO的延,所以O(shè)C90：以1.已知a,b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a(a3b)(7a5b)0,1.解：依題意，所以(a4b)(7a2b)0.7a27a216ab30ab215b0,8b20b22ab且a22ab,所以|a|b|)2ab,所以cosabab1|a|b|(、.2TT)22AEF中,因2A2AB2.33136、33112,貝為因為,因為0,所以1,2.332,即3B是EF的中點，ABEF向夾角的余弦值等于1,BC6,CA即的夾角1bF(ACAb)|bF|BC|cos93.已知OFM

8、夾角的范圍是2,即3cos2,所以cos的面積為S,IoFfM1,升1若_2的3.解：S1|OF|fM|sinOFM-2|OF|ifM|sin則向量OFOFfMtanOF,FMOF,FMJ3,所以一4OF,fM.因為3S百，所以2OF,FM,所以向量1一tan的夾角的1tanA4.因為G為ABC的重心，所以B,C的對邊分別為a,b,c,重心為G,若GAgBGC0,所以aGAbGBcgC不共線，所以設(shè)AB的中點為D,則CDAB,所以cosA1c三2c蟲，所以A2平面向量與向量方法的應(yīng)用（二）（教師版）、平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)卬I,2DC,AM3MD1.如圖，在ABC中，已知B,過點M

9、作直線交AB、AC于P、Q兩點，則空生1.解：構(gòu)造基底bD2BC2(ba)33一一ADaBBD1aM：AM、d3(b),(1m)A(mR),于是11所以(1II|AP|2、-1，m）且一m,消去m2|AC|124ABC中，D為BC的中點,41得一44因為點14b(12分點，m)QC點,共線，所以b.又a、b不共線,AB2AC所以APAQE為AC邊上靠近點A的一個三等AD與BE交于點F,求：AF與FD的長度之比；BF與FE的長度之比.2.解：設(shè)b,因為D為BC的中點，所以ND三點共線，所以存在唯一實數(shù)使得AFAD-ab,.1b.因為A,F,D2因為B,F,E(aE點共線，所以存在唯1-(-bAF

10、),解得3因為所以aFAB與AC不共線，所以比較得1AD,BF3FE,所以任2FD22一實多1a1b,3(1)二、數(shù)量積（或模長）L的取值范圍（或最值）上任意一點，則A(1,1),O1.平面內(nèi)的向OBP的取值范圍是BT點器（累2P;所；11,n問題23(1解得）3,3.(1,1)點P是拋物線1)1),貝UAPoPoA22(x1,x1)(x1,x(x1,1),3)4x5x點評：將2.2為x3,1,所以x20,9,所以APBPAPBP表示為關(guān)于x的函數(shù)式，針對該函數(shù)式及x2,128.求函數(shù)的值域.多數(shù)情況下所得到的函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)，如本例令2(t0,9).注意從函數(shù)tx角度來確定t0,9,2.已

11、知a、b是兩個互相垂直的單位向量，且|c|t22tX2,則A5t2不要得出錯誤結(jié)論t1,913,c則對于任意實數(shù)t1、t2,|c11at2b|的最小值是2.解：依題意，|a|b|1,且ab0,于是|c11a12b|2t2c|cta_,2,22,b2t1t2abt1t26tl8t2169(t13)(t2t2b|12,當(dāng)且僅當(dāng)ti2,22,2.2cta12b、2，4)1441443、t24時上式取得等號，故所求的最小值為122t1ca所以，選c.在長方形ABCD中，AB等，則(PAPB)PD的最小值是一ADY3,O為AB的中點，若P是線段DO3上動點,2|PO|PD得j|OD|J|OA|2PD|x

12、(0x1)|AD則同|因為？B&中x,(PAPB)PD2POPD三、求面積比|cos1802x(1x)2(x2)21一，-,故所求最小值為21.設(shè)D為ABC的邊AB上一點,aPAD2BC,則SAPDP為乙ABC內(nèi)一點，且滿足tD1.解：S/XAPDS*AABC點評：由'AABC,IDPAPAD2BC,所以DPBC,故ADPADDPsinADP21AB|BCsinBDP2BC且DP與1C5310故選A.沒有公共點推出DPBC,再利用同位角相等和面1-八一積公式S-absinC而使問題簡捷獲解.22.設(shè)。點在ABC的內(nèi)部，且有oA2OB2.解：延長OB至OAOEOF011SAOB二

13、SAOE二SAEF26使oE2OB,求SABCSAOC1八O為AEF的重心.顯然SAOC-SAOF311_、，SBOC二SEOF-'SAEF，所以SABC618oF-s,則AEF.同理91SSAEF3SAOC3設(shè)點P是S、ABC內(nèi)的一點，記SPABSABCf（p）1,2,3).aQ-aB-aC,SPBCSABCSPCASBC3'31AEAB3則f(Q)AFaQ-aB-aC所以aQNEnFFQ/ABEQ/AC,所以點Q到AB的距離是點C到AB的距離的點Q到AC的距離是點B到AC的距離的1,所以SQAB3SABCSQACSABC以2包CSABCSABCSQABSQACSABC11一

14、.所以f(Q)(,)6263四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值是邊長為1的正方形,R),則OD3,點P為的最大值等于BOD內(nèi)（含邊界）的動點,有可能取得最大值.因為oD點共線時,大值為4,、一-,當(dāng)P位于點3已知點G是R）,則2.解：因為點所以0,（不含點B）上無法取得最大值占八、在線段iBD上才(OBB時取得.ABC的重心的取值范圍是1-OD)33OA,所以O(shè)ODOB(1一,由幾何圖形知3點P是GBC內(nèi)一點G是ABC的重心，點P是GBC內(nèi)一點,P到BC的距離越大,SPABSABCSPBCSPAC'SABC'SPABSABC.點B,P,D0,1,所以的最越大,越小.過點P與G場

15、合時ABC13點，所以的取值范圍是當(dāng)點P在BC上時32I13.設(shè)兩個單位向量e、e2滿足|e1|2、|e2|aPAbaC,PACSABC1上.而點SABCP作BC的平行線，觀察可知，當(dāng)點1.因為點P是GBC內(nèi)一1,e1、為的夾角為60,若向量2te17e2與向量e1t%的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.3.解：由條件，得e；4,e21,ee221cos60：1,所以(2te7e2)(ete2)_22t15t70解得2te2(2t27)e1e27te21一.一t,數(shù)形結(jié)合可得不等式2_22t15t7_22t15t70的解為1.設(shè)2te127e2(8te2)(e2不共線，所以2t且14, t2te

16、1 7e2與向量144,即當(dāng)214"時向量2夾角為.故實數(shù)t的取值范圍為(7,布、/E)(2U2五、平面向量與平面幾何的交匯問題ABC的外接圓的外心、垂心,求證:證明：延長BO交 ABC的外接圓于D ,連結(jié)DA, DC ,則 DA AB DC/CH ,OAE為ACD的重心.2.已知 ABC內(nèi)接于。0 , AB AC , D為AB的中點,證：OE C乙 ,OA a, OB b證明：設(shè)E為ACD的重心，所以1OD £ b), OE OD DEOD -(OC OD OD OB)CD OD oC所Ucd(1a 1b "(” ” C)2 .632,2,-Ta1 一 31-a

17、 (b c)(因為 |a 3I2一 曰 AB AC ,OE Cd 0,故 OEOBOC所以AO為BC的中垂線，所以,因為D為AB的中點,求22|b121clR)a (b c) 0 .所以3設(shè)向量a,b滿足：|a|3,|b|4,ab0.以a,b,ab的模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為.3.解：.|a|3,|b|4,ab0,|ab|Ja2b2732425.a,b,34ab的模為邊長構(gòu)成三角形是一個直角三角形，其內(nèi)切圓半徑r1.當(dāng)半徑為3451的圓所處的位置正好是三角形的內(nèi)切圓位置時，三角形與圓只有三個交點，當(dāng)圓的位置偏離后使得三角形有兩條邊與圓相交時，能實現(xiàn)4個交點的情

18、況，但5個以上的交點不能實現(xiàn).因此公共點個數(shù)最多為4個.精選文本精選文本xA XB xC 0.平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一）（學(xué)生版）一、用向量表示三角形的"心"（重心、內(nèi)心、垂心、外心）在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式：X是ABC的心引理：若，X證明：這里只證明內(nèi)的1點，則SXBC:SXAC:SXAB均為正數(shù)）.作XMX,X0SXBC:SXAC:SXAB:：J,，品XC,則7M7N品*.容易S1|XB|XC|sinBXC1證明點X為MNP的重心.于是一BC2,所以SXNP1|XN|XP|sinNXPS XBCLSS XNP

19、S MNP，同理S XACS MNP , S XAB以 S XBC : S XAC : S XAB 取 S XBC ,則 練習(xí)：S XAC，S XAB，S XBCXA SXAC XB SXBA XC 0 1.2. a IAc ICABC的心.3. sin OA2sin2B42)。是4. H在ABC內(nèi)部，則tan 心.是I是sin2C心.。是ABC的tanC心.H是ABC的ABC的心.H是ABC的心.當(dāng)你3正弦當(dāng)和余弦定理后，會有更多的表示方法.心.5.-A1-AC-所在直線一定通過ABC的|AB|AC|AC所在直線一定通過ABC的心.|AB|cosB所在直線一定通過ABC的心.8.已知Op1(

20、i3心.)OA(1A,B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的R),O是坐標(biāo)原點，動點P滿足則點P的軌跡一定經(jīng)過ABC的0 ,則三角形二、三角形形狀的判定1 .。為ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足形狀為三角形.2 .已知非零向量三角形.則ABC是.在中P是BC邊的中點，,則ABC的形狀為三、向量分解問題角A,B,C的對邊分別為a,b,c兩雪邊長相等的直角三角板拼在一起.若yAC,則x2.給定兩個長度為1的平面向量oA和OB女0W示xOAy(C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動.若其中x,yR,則xy的最大值是它們的夾角為xOA。為AOB150：,COy.AO,IOAI四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1.已知a

21、,b都是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.AEF中，2,則/是EF的中點，ABEF與BC的夾角的余弦值等于1,BC6,CA則向量、平面向量基本定理與向量共線定型的應(yīng)用1.如圖，在 ABC中，已知B3mD過點M作直線交 AB、AC于P、Q兩點，則ABAP2ACAQ3 .已知OFM的面積為S,且OFFM1,若二2夾角的范圍是.4 .ABC卡aA,B,C的對邊分別為a,b,c,aGAbGBcGC0,貝UA.平面向量與向量方法的應(yīng)用（二）（學(xué)生版）二、數(shù)量積（或模長）L的取值范圍（或最值）問題上任意一點，則1.平面內(nèi)的向O(1,1), O（1, 1）,點P是拋物線yx2 2 ( 3 x 1)