數(shù)值分析4.2牛頓插值法

1、將將 Ln(x) 改寫成改寫成.)()(102010 xxxxaxxaa).(10 nnxxxxa的形式，希望每加一個節(jié)點，的形式，希望每加一個節(jié)點，只附加一項只附加一項上去即可。上去即可。Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)時，全部基函數(shù) li(x) 都需重新計算。都需重新計算。4.3 Newton(牛頓牛頓)插值插值4.3.1 均差及其基本性質(zhì)均差及其基本性質(zhì)定義定義1 稱稱101010)()(,xxxfxfxxf 為為 f (x)在在x0、x1點的點的一階均差一階均差.一階均差的均差一階均差的均差(差商差商)202110210,

2、xxxxfxxfxxxf 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x) 在在x0、x1 、x2 點的點的二階均差二階均差.4.3 Newton(牛頓牛頓)插值插值一般地，一般地，n-1階均差的均差階均差的均差nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 稱為稱為f (x)在在x0 , x1 , , xn點的點的 n 階均差階均差。差商的計算步驟與結(jié)果可列成差商的計算步驟與結(jié)果可列成均差表均差表，如下，如下 一般一般 f(xi) 稱為稱為f(x) 在在 xi 點的點的零階均差零階均差，記作，記作 fxi。xk函數(shù)值函數(shù)值一階均差一階均差二階均差二階均差三階均差三階均差. x0 x1 x2 x3

3、. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3 .表表1（均差表）（均差表） nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，它表明均差與節(jié)它表明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)點的排列次序無關(guān)，即，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0

4、性質(zhì)性質(zhì)1 均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即均差可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為稱之為均差的對稱性（也稱為對稱性質(zhì)）均差的對稱性（也稱為對稱性質(zhì)）。性質(zhì)性質(zhì)2 n次多項式次多項式 f(x) 的的 k 階階差商差商, ,當(dāng)當(dāng) k n 時是一時是一個個n- -k 次多次多項式項式; ;當(dāng)當(dāng) kn 時恒等于時恒等于0.性質(zhì)性質(zhì)3 若若f(x)在在a,b上存在上存在n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 且節(jié)點且節(jié)點x0 , x1 , xna,b ,則至少存在一點則至少存在一點 a, b 滿足下式滿足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f (x)=6x8+7x510, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2,

5、 ,10. 解解 f (8)(x)=68 !, f 1,2, ,9=-6, f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.4.3.2 牛頓插值多項式牛頓插值多項式設(shè)設(shè)x是是a，b上一點，由一階均差定義得上一點，由一階均差定義得)(,)()(000 xxxxfxfxf 同理，由二階均差定義同理，由二階均差定義)(,110100 xxxxxfxxfxxf 如此繼續(xù)下去，可得一系列等式如此繼續(xù)下去，可得一系列等式000)()(,xxxfxfxxf 110010,xxxxfxxfxxxf 得得得得01010 , ,()nnnnf x xxf x xxf x xxxx )(,)()(000 xxxx

6、fxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012( )() ,()(),() ,()()(),(),()() ,()()()f xf xf x xxxf xf xxxxf x xxxxxxf xf xxxxf xxxxxxxf x xxxxxxxxx00100101001001201012012( )() ,() ,()()() ,() ,()() ,()()()( )( )nnf xf xf x xx xf x x xx

7、xx xf xf x xx xf x x xx xx xf x x x xx xx xx xN xR x 00100120101010011( )( ) , () , ,()() , ,()()( ) , , ( )nnnnkkkN xf xf x x x xf x x xx xx xf x xxx xx xf xf x xxx 其中其中00101( ) ,()()() ,( )nnnnnR xf x xxxxxxxxf x xxx ( )( )( )nnf xN xR x 可見可見, Nn(x)為次數(shù)不超過為次數(shù)不超過n 的多項式的多項式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)

8、= yi , (i=0,1, ,n) 滿足插值條件滿足插值條件, 故其為插值問題的解故其為插值問題的解, Nn(x)稱為稱為牛頓牛頓插值多項式插值多項式。001001201001( )( ) , () , ,()() ,()()nnnN xf xf x xx xf x x xx xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx Rn(x)稱為稱為牛頓型插值余項牛頓型插值余項。由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式是等價的是等價的,即即 Ln(x) Nn(x)且有如下且有如下遞推形式遞推形式)()(

9、,)()(1001 nnnnxxxxxxfxNxN和和余項公式余項公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR )()()!1()(0)1(nnxxxxnf )()(,)()(,)(01100101nnnnnnnxxxxxxxxfxxxxxxxxfxR xk f(xk)一階均差一階均差 二階均差二階均差三階均差三階均差 四階均差四階均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例例1 已知已知 f(x

10、)=shx的數(shù)表的數(shù)表,求二次牛頓插值多項式求二次牛頓插值多項式,并由并由 此計算此計算f(0.596)的近似值。的近似值。 )55. 0)(40. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN解解 由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為632010. 0)596. 0()596. 0(2 Nf過前四點的三次牛頓插值多項式過前四點的三次牛頓插值多項式)65. 0)(55. 0)(40. 0(1970. 0)()(23 xxxxNxN故故6319145. 0)596. 0()596. 0(3 Nf故故)55. 0)(4

11、0. 0(2800. 0)40. 0(1160. 141075. 0)(2 xxxxN)80. 0)(65. 0)(55. 0)(40. 0(0344. 0)(3 xxxxxR可得可得N3(x)的截斷誤差的截斷誤差631034. 0)596. 0( R0344. 0,40 xxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在等距節(jié)點等距節(jié)點xi=x0+ih (i=0,1, ,n)上上的函數(shù)值為的函數(shù)值為fi=f(xi)(h為為步長步長)定義定義2 fi=fi+1-fi 和和 fi=fi-fi-1分別稱為函數(shù)分別稱為函數(shù) f(x)在點在點 xi 處的處的一階向前差分一階向前差分和和一階一階向后差分向后差分。 一

12、般地一般地, f(x) 在點在點 xi 處的處的 m 階向前差分階向前差分和和 m 階階向后差分向后差分分別為分別為 mfi= m-1fi+1- m-1fi 和和 mfi= m-1fi - m-1fi-1*4.3.3 差分與等距節(jié)點插值差分與等距節(jié)點插值4.3.3.1 差分及其性質(zhì)差分及其性質(zhì)差分有如下差分有如下基本性質(zhì)基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 各階差分均可用各階差分均可用函數(shù)值表示函數(shù)值表示. 即即jinjnnjjinnninnininfcfcfcff 011) 1() 1(jijnnjjninnniniinfcfcfcff 011) 1() 1(且有等式且有等式 nfi= nfi+n .性質(zhì)性質(zhì)

13、3 均差與差分的關(guān)系式均差與差分的關(guān)系式為為111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h 性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)值均可用函數(shù)值均可用各階差分各階差分表示表示. 即即injjjninnniniinfcfcfcff 01且有且有差分與微商的關(guān)系式差分與微商的關(guān)系式為為),()()(nkknnnnxxfhf 代入牛頓插值公式代入牛頓插值公式 ,可得可得)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn稱為稱為牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式，其，其余項余項為為),()()!1()()1()()(0)1(10nnnnnxx

14、fhnntttthxRxR 插值節(jié)點為插值節(jié)點為 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要計算如果要計算 x0附近附近點點 x 處的函數(shù)值處的函數(shù)值f(x), 可令可令 x=x0+th (0 t n)4.3.3.2 等距節(jié)點差值公式等距節(jié)點差值公式 類似地類似地, 若計算若計算 xn 附近的函數(shù)值附近的函數(shù)值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- n t 0) ，可得，可得牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthx

15、RxR 及其及其余項余項例例2 設(shè)設(shè) y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次插值多項用三次插值多項 式求式求f(1.2) 及及f(2.8)的近似值的近似值.解解 相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下:xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146求求f(1.2)用用牛頓

16、前插公式牛頓前插公式, 且由且由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.431.14396(1.2)(1.2)2.71828 1.76341 0.40.4 (0.4 1)2!0.742100.4 (0.4 1)(0.4 2)3.33386323!fN xif (xi)一階差分一階差分二階差分二階差分三階差分三階差分 四階差分四階差分11.522.532.71828 4.481697.2890612.1824920.08554 1.76341 2.90347 4.793437.90305 1.14396 1.886063.10962 0.74210 1.223560.48146求求f(2.8)用用牛頓后插公式牛頓后插公式,且由且由 2.8=3+0.5t, 得得t= -0.43(2.8)(2.8)fN