必修5《第二章解三角形》章末測試卷含答案解析

1、學生用書單獨成冊）（時間：100分鐘，滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1 .已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的取值范圍是（）A.（8,10）B.（乖，亞）C.（乖,10）D.（Vw,8）12+32a2>0解析：選B.依題意，三角形為銳角三角形，則j2+a232>o'解得W<a<6,故選B.2.在ABC中，sin2AWsin2B+sin2CsinBsinC,則A的取值范圍是（）兀兀A. （0,豆B匠兀）兀C. (0, y解析：選C.根據(jù)題意，由正弦定理得, b2+ c

2、2 a2由余弦定理得， cos A =- > -2bc兀)a2wb2+c2bc, 即 b2+ c2 a2>bc,bc _ 12bc=2.兀又0VA<兀,所以0<A<-.3 在ABC中，若coh=cOh=cotC，AABC()A .直角三角形 C.鈍角三角形B.D.解析：選B.由正弦定理，原式可化為等邊三角形等腰直角三角形sin A sin B sin Ccos A cos B cos C'所以tanA=tanB=tanC.又因為A,B,CC（0,兀），所以A=B=C.所以ABC是等邊三角形.4 .在ABC中，A=60°,a=b=4,那么滿足條件的

3、4ABC（）A.有一個解B.有兩個解C.無解D.不能確定解析：選C.由正弦定理得asinB=bsinA=4Xsin60°=4*4=2眼.又a=乖,且乖<2m，故ABC無解.5 .將村莊甲、乙、丙看成三點A、B、C,正好構(gòu)成ABC,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,tanC=3巾.若CBCA=|,且甲到丙的距離與乙到丙的距離之和為9,則甲、乙之間的距離為（）B. 5C. 6D.7解析：選C.因為tanC=3",所以sn£=3幣,又因為sin2C+cos2C=1得cosC=±.因為tancosC18C>0,所以C是銳角.所以cosC=8.因為C

4、B.Ca=|,所以abcosC=2,所以ab=20.又因為a+b=9,所以a2+2ab+b2=81,所以a2+b2=41,所以c2=a2+b2-2abcosC=36,所以c=6,故選C.6 .在ABC中，若A=120°,AB=5,BC=7,則sinT的值為()sinC85A.5B.853C.3D.5解析：選D.由余弦定理得BC2=AB2+AC22ABACcosA,即72=52+AC210AC-cos120。,所以AC=3（負值舍去）.由正弦定理得駕=第=1.sinCAB5,a, b, c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc=16V2,則三角形的面積7 .已知圓的半徑為4為（）B. 87

5、2A.2事c2C.2口方解析：選C.因為sin A sin B sin C2R= 8,所以 sin C= c, 8所以 SaABc = 2absin C= a|bc = 16-6-2= V2.8.在 ABC 中，AB=3, A= 60° , AC = 4,則邊 BC上的高是（）A.C.6 ,'13133 .'3913B.D.6 ,'391312 3913解析：選B.由余弦定理，得 BC2=AB2 + AC22AB AC cos A,因為AB=3, AC = 4, A=60° ,所以BC= 713,設邊BC上的高為h,所以o 11Saabc = 2BC

6、 - h = 2AB - AC - sin A,即1 3h = 2X3X 4X3, 所以h=6f9.某班設計了一個八邊形的班徽成的正方形所組成，該八邊形的面積為（）a的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)A .B.C.D.2sin sin a3sin2sina 2cos （3cosa #COsa COS a + 1解析：選方形的邊長為1A.四個等腰二角形的面積之和為4X2X 1 X 1 x sin a = 2sin a小2+ 122X 1X 1X cos a =722cos a ,故正方形的面積為,再由余弦定理可得正22cos a ,所以所求八邊形的面積為2sina2cosa+2.10.在ABC中，B=

7、30°,AB=273,AC=2,則ABC的面積為（A.2%B.SC.2V3或4V3D.V3或2V3解析：選D.如圖，因為AD=AB-sinB=CD=4AC2AD2=1,Cd=>/ac/2-ad2=1.所以BC=3-1=2,BC'=3+1=4,故ABC有兩解，Saabc=1BC-AD=V3或SABC=1BC'-AD=23.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上）11,已知abc的面積s=V3,a=A，則Ab-AC=31一 i即 73=2 - AB - AC - 所以 AB - AC=4, 于是 AB - AC=|AB| .=4X 1

8、=2.2答案：212 .在 ABC中，若 解析：由正弦定理知 又因為B=2A,所以|AC| cos Ab=V2a, B = 2A,則 ABC 為 sin B= 2sin A,三角形.sin 2A = 42sin A所以 2sin Acos A= 2sin A,所以 cos A=*,所以 A=45° , B=90° .故4 ABC為等腰直角三角形.答案：等腰直角13 .某小區(qū)的綠化地有一個三角形的花圃區(qū)，若該三角形的三個頂點分別用A, B, C表示，其斛析：Saabc=2,AB-AC-sinA,對邊分別為a,b,c,且滿足（2bc）cosA-acosC=0,則在A處望B,C所

9、成的角的大小為解析：在ABC中，（2bc）cosAacosC=0,結(jié)合正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC=0,即2sinBcosA-sin（A+C）=0,即2sinBcosA-sinB=0.又因為A,BC（0,兀），所以sinBw1兀.兀0,所以cosA=2,所以A=,即在A處望B,C所成的角的大小為.»一兀答案：V3,AC的取值范圍為AC，.14 .在銳角ABC中，BC=1,B=2A,則CACa的值等于解析：設A=0?B=20.由正弦定理得s=sfr,所以2cos 0cos 0由銳角ABC得0°<20<90°?0°

10、<0<45°.又0°<180°-30<90°?30°<0<60°,故30°<0<45°?乎<cos0<手，所以AC=2cos06（卡，卡）.答案：2（.2,3）15 .如圖，為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角/ MAN = 60° , C 點的仰角/ CAB = 45° 以及/ MAC =75;從C點測得/ MCA = 60° .已知山高BC= 100 m,則山高 MN =m.O解析：根

11、據(jù)題圖知，AC=100山m.在 MAC中,由正弦定理得在 AMN中,/ CMA= 180° 75° 60° =45°AC AM一= ” ？ AM =100寸3 m.sin 45 sin 60MN777= sin 60 , AM一.3所以MN=100y3xB-=150(m).答案：150三、解答題(本大題共5小題，共55分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16 .(本小題滿分10分)在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC,且ACAB=4,求ABC的面積S.解：由已知得b2+c2=a

12、2+bc,所以bc=b2+c2a2=2bccosA,所以cosA=2,sinA=23.由AC-Ab=4,得bccosA=4,所以bc=8,所以S=2bcsinA=243.17 .(本小題滿分10分)設ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,7cosB=g(1)求a,c的值；(2)求sin(AB)的值.解：(1)由余弦定理b2=a2+c22accosB,得b2=(a+c)2_2ac(1+cosB),又b=2,a+c=6,cosB=9,所以ac=9,解得a=3,c=3.4.29 ，(2)在ABC中，sinB=，1-cos2B=由正弦定理得sinA=asn_B=平.b3

13、因為所以a=c,所以A為銳角.cosA=5-sin2A=3.因此sin(A B) = sin Acos B cos AsinB_W_J B 27 .V3 km有一條北偏東18 .（本小題滿分10分）為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1km處不能收到手機信號，檢查員抽查青島市一考點，在考點正西約12 km的速度沿公路行駛，問最長需要60。方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時多少分鐘，檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)多少時間該考點才算合格？解：如圖，考點為A,檢查開始處為B,設公路上C、D兩點到考點的距離為1km.在ABC中，AB=0AC=1,由正弦定

14、理，得sin/ACB=sinA0AB=3,所以/ACB=120°(/ACB=60°不合題意),所以/BAC=30°,所以BC=AC=1,在AACD中，AC=AD,/ACD=60°,所以ACD為等邊三角形，所以CD=1.BC因為7!*60=5(min),所以在BC上需5min,CD上需5min.最長需要5min檢查員開始收不到信號，并至少持續(xù)5min才算合格.19 .(本小題滿分12分)如圖，A,B是海面上位于東西方向相距5(3+J3)海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西

15、60°與B點相距205海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達點需要多長時間？北D北B解：連接DC.B|北D 45北由題意知AB=5(3+43)海里，/DBA=90°60°=30°,/DAB=90°45°=45°,則/ADB=180°(45°+30°)=105°.在DAB中，由正弦定理得DBABsin/DABsin/ADB'所以DB =ABsin/ DABsin/ADB5(3+g)sin45°sin105°得CD=30（海里）

16、，則需要的時間tnnM小時）.30所以該救援船到達D點需要1小時.a, b, c,右 a =20 .（本小題滿分13分）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為2bsinA.（1）求B的大??；（2）求cosA+sinC的取值范圍.解：由a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA,所以sinB=J,由ABC為銳角三角形得B=.26一.-.兀A、(2)cosA+sinC=cosA+sin(兀A)兀=cosA+sin(-+A)13=cosA+2cosA+sinAU.兀=V3sin(A+-3-).由ABC為銳角三角形且B=p口，A+C=t，因0<C<-,0<A<y,故。<誓一人弓,62262得-<aA，2y-<A+(<5,所以1<sin(A+5<*.323362'3'