大物1-動量和角動量

1、動量與角動量動量與角動量 （Momentum and Angular Momentum） 1 動量定理 動量守恒定律 一、動量和沖量一、動量和沖量(Momentum and Impulse)P1. 動量vmP單位(kg m s-1)牛頓將牛頓第二定律寫作dtPdvmdtddtvdmamF)(dtFId t1t2的總沖量為上式的積分21ttdtFIdI圖 沖力與時間的關系t1F0tt2dtF2. 沖量二、二、 質點動量定理質點動量定理(Impulse-momentum Theorem)12212121vmvmPddtdtPddtFIttPPtt1221vmvmdtFItt質點動量定理質點動量定理

2、 在一段時間間隔內(nèi)，質點所受合外力的沖量等在一段時間間隔內(nèi)，質點所受合外力的沖量等于這段時間內(nèi)質點動量的增量。于這段時間內(nèi)質點動量的增量。分量式zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121平均沖力121212211ttvmvmdtFttFtt三、質點組三、質點組 由若干個質點所組成的系統(tǒng)叫質點組，也稱作一個力學系統(tǒng)。力學系統(tǒng)受力示意圖F1F3F2F4m1m2m3m4f1f2f3f4對每一個質點利用動量定理質點1質點i質點n101111121)(vmvmdtfFtt021)(iiiittiivmvmdtfF021)(nnnnttnn

3、vmvmdtfF 力學系統(tǒng)內(nèi)每個質點所受的力分成外力;F及內(nèi)力f對上面n項求和0112121)(nnninnnittnivmvmdtFFFF 由n個質點組成的力學系統(tǒng)合外力的沖量等于系統(tǒng)總動量的增量。四、動量守恒定律四、動量守恒定律(Conservation of Momentum) 若系統(tǒng)所受的合外力若系統(tǒng)所受的合外力001niiF系統(tǒng)總動量守恒系統(tǒng)總動量守恒恒矢量niniiiiivmvm110分量式, 01niixF, 01niiyF, 01niizF系統(tǒng)x方向動量守恒系統(tǒng)y方向動量守恒系統(tǒng)z方向動量守恒niniixiixivmvm110niniiyiiyivmvm110niniiziiz

4、ivmvm110關于動量守恒定律，注意幾點：關于動量守恒定律，注意幾點：（2 2）碰撞、打擊）碰撞、打擊摩擦力、重力作用，外力矢摩擦力、重力作用，外力矢量合不為零量合不為零 ( (因因 t t 很短很短, ,碰撞、打擊的內(nèi)力遠大于碰撞、打擊的內(nèi)力遠大于外力外力), ),仍有動量守恒仍有動量守恒. .（3 3）外力矢量和不為零）外力矢量和不為零, ,但沿著某一方向分量但沿著某一方向分量的代數(shù)合為零的代數(shù)合為零, ,總動量在該方向的分量守恒總動量在該方向的分量守恒. .（1 1）動量是矢量，是矢量守恒動量是矢量，是矢量守恒。 物體物體m與質元與質元dm在在 t 時刻時刻的速度以及在的速度以及在 t

5、 + dt 時刻時刻合合并后的共同速度如圖所示：并后的共同速度如圖所示：mdmvutttd m+dmvvdF 把物體與質元作為把物體與質元作為系統(tǒng)系統(tǒng)考慮，初始時刻與末時刻的動考慮，初始時刻與末時刻的動量分別為：量分別為：ummdv初始時刻初始時刻)d)(d(vv mm末時刻末時刻變質量物體的運動方程變質量物體的運動方程對對系統(tǒng)系統(tǒng)利用動量定理利用動量定理)d()d)(d(ummmmvvvtF dummmmdddddvvvtF d略去二階小量，兩端除略去二階小量，兩端除d tFutmmtdd)(ddv值得注意的是，值得注意的是，dm可正可負，可正可負，當當dm取負時，表取負時，表明物體質量減小

6、，對于火箭之類噴射問題，明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，utm dd為尾氣推力為尾氣推力。變質量物體運動微分方程變質量物體運動微分方程(1)(1)確定研究系統(tǒng)確定研究系統(tǒng)(2)(2)寫出系統(tǒng)動量表達式寫出系統(tǒng)動量表達式(3)(3)求出系統(tǒng)動量變化率求出系統(tǒng)動量變化率(4)(4)分析系統(tǒng)受力分析系統(tǒng)受力(5)(5)應用動量定理求解應用動量定理求解變質量問題的處理方法變質量問題的處理方法例例1 1：裝煤車的牽引力裝煤車的牽引力例例2 2：勻速勻速提提柔軟鏈條柔軟鏈條例：一輛煤車以例：一輛煤車以v =3m/s的速率從煤斗下面通過的速率從煤斗下面通過, ,每秒鐘每秒鐘落入車廂落入車廂的煤為的煤為

7、 m=500kg。如果車廂的速率保持不變?nèi)绻噹乃俾时３植蛔? ,應用多大的牽引應用多大的牽引力拉車廂力拉車廂? ?設以地面為設以地面為參考系參考系，建立坐標系如圖，建立坐標系如圖，解解: : 研究對象研究對象： t 時刻車中煤的總質量時刻車中煤的總質量m和和 t+dt 時刻落入車廂的煤的質量時刻落入車廂的煤的質量dm t 時刻和時刻和t+dt時刻系統(tǒng)時刻系統(tǒng)水平水平總動量分別為總動量分別為: :vvmmm0dvvv)d(dmmmm dt 時間內(nèi)系統(tǒng)水平總動量增量為時間內(nèi)系統(tǒng)水平總動量增量為: :vvvmmmmpd)d(d由動量定理可得由動量定理可得: :vmptFdddN15003500d

8、dvtmFmdmvFOxXoxF0v例：柔軟的繩盤在桌面上，總質量為例：柔軟的繩盤在桌面上，總質量為m0，總長度，總長度l , 質量均勻分布，質量均勻分布，均勻地以速度均勻地以速度v0 0提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的拉力提繩。求：繩子被拉上任一段后，繩端的拉力F。解：解：( (方法一方法一) ) 取取整個繩子整個繩子為研究對象為研究對象( (系統(tǒng)系統(tǒng)) )：t0000vxlmP：ttd0)(00vxxlmPdF受力圖受力圖gm0N) 1 ()()(00000vvxlmxxlmtgmNFdd)2()(0gxllmNxglmlmF0200vgxllm0Nt 時刻繩子被拉上時刻繩子被拉上x

9、, , t +dt 時刻繩子被拉上時刻繩子被拉上x+dx t 時刻和時刻和t+dt時刻系統(tǒng)總動量分別為時刻系統(tǒng)總動量分別為: :已提升的質量已提升的質量(主體主體) m 和將要提升的質量和將要提升的質量dm：t0,0vm：ttd00d,vvmm0dd)(vmtmgF0ddvtmmgFtxlmtmdddd0 xlmm00ddvtxxglmlmF0200v( (方法二方法二) ) 系統(tǒng)是：系統(tǒng)是：FXox0vgm t 時刻和時刻和t+dt時刻系統(tǒng)總動量分別為時刻系統(tǒng)總動量分別為: : 粘附粘附 主體的質量增加（如滾雪球）主體的質量增加（如滾雪球） 拋射拋射 主體的質量減少（如火箭發(fā)射）主體的質量減

10、少（如火箭發(fā)射） 低速（低速（v v c c）情況下的兩類變質量問題：）情況下的兩類變質量問題：下面僅以火箭飛行為例，討論變質量問題。下面僅以火箭飛行為例，討論變質量問題。另一類變質量問題是在高速（另一類變質量問題是在高速（v v c c）情況下，這）情況下，這時即使沒有粘附和拋射，質量也可以隨速度改時即使沒有粘附和拋射，質量也可以隨速度改變變 m m = = m m( (v v) )，這是相對論情形，這是相對論情形，變質量系統(tǒng)、火箭飛行原理變質量系統(tǒng)、火箭飛行原理條件：條件：燃料燃料相對箭體相對箭體以恒速以恒速u噴出噴出初態(tài)：初態(tài)：系統(tǒng)質量系統(tǒng)質量 M，速度，速度v (對地對地)，動量，動量

11、 M v 一一. 火箭不受外力情形火箭不受外力情形（在自由空間飛行）（在自由空間飛行） 1.火箭的速度火箭的速度系統(tǒng)：系統(tǒng)： 火箭殼體火箭殼體 + 尚存燃料尚存燃料總體過程：總體過程：i (點火點火) f (燃料燒盡燃料燒盡)先分析一先分析一微過程：微過程： t t +dt末態(tài)：末態(tài)：噴出燃料后噴出燃料后噴出燃料的質量：噴出燃料的質量：dm = - dM，噴出燃料速度噴出燃料速度(對地對地)： v - uvu火箭殼體火箭殼體 +尚存燃料的質量：尚存燃料的質量： M - dm系統(tǒng)動量：系統(tǒng)動量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) 火箭殼體火箭殼體 +尚存燃料的速度尚

12、存燃料的速度(對地對地)：v + d v 由動量守恒，有由動量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ) 經(jīng)整理得：經(jīng)整理得： Mdv = -udMMMudd v fiMMfiMMuddv速度公式：速度公式： fiifMMuln vv引入引入火箭質量比：火箭質量比：fiMMN 得得Nuifln vv討論：討論：提高提高 vf 的途徑的途徑 (1)提高提高 u（現(xiàn)可達（現(xiàn)可達 u = 4.1 km/s） (2)增大增大 N（受一定限制）（受一定限制）為提高為提高N，采用多級火箭（一般為三級），采用多級火箭（一般為三級）v = u1ln N1+ u2ln

13、N2+ u3ln N3 資料：資料：長征三號（三級大型運載火箭）長征三號（三級大型運載火箭） 全長：全長：43.25m， 最大直徑：最大直徑：3.35m， 起飛質量：起飛質量：202噸，起飛推力：噸，起飛推力：280噸力。噸力。t +dt時刻：時刻：速度速度 v - u， 動量動量dm(v - u)由動量定理，由動量定理，dt內(nèi)噴出氣體所受沖量內(nèi)噴出氣體所受沖量 2.火箭所受的反推力火箭所受的反推力研究對象：研究對象：噴出氣體噴出氣體 dmt 時刻：時刻：速度速度v (和主體速度相同和主體速度相同)，動量動量 vdm F箭對氣箭對氣dt = dm(v - u) - vdm = - F氣對箭氣對

14、箭dt由此得火箭所受燃氣的反推力為由此得火箭所受燃氣的反推力為tmuFFdd 氣對箭氣對箭二二. 重力場中的火箭發(fā)射重力場中的火箭發(fā)射 可得可得 t 時刻火箭的速度：時刻火箭的速度： 忽略地面附近重力加速度忽略地面附近重力加速度 g 的變化，的變化，tiiMMugttln)( vv Mt ： t 時刻火箭殼和尚余燃料的質量時刻火箭殼和尚余燃料的質量質點系的質量中心，質點系的質量中心，簡稱簡稱質心質心。具有長度具有長度的量綱，描述與質點的量綱，描述與質點系有關的某一空間點系有關的某一空間點的位置。的位置。質心運動反映了質質心運動反映了質點系的整體運動趨點系的整體運動趨勢。勢。質心質心 質心運動定

15、理質心運動定理拋手榴彈的過程拋手榴彈的過程COxy質心運動反映了質質心運動反映了質點系的整體運動趨點系的整體運動趨勢。勢。質心質心( (質量中心質量中心) )定義定義iiiiicmrmr對于分立體系：對于分立體系：直角坐標系下：直角坐標系下：MxmxiiicMymyiiicMzmziiicMrmiiiNimmmm,21Nirrrr,21imMciirMrmx xz zy yO Om m2 2m m1 1m mi im mN N1r2rc ccrNrirM M對于連續(xù)體：對于連續(xù)體：mmrrcddMmr d直角坐標系下：直角坐標系下：MmxxcdMmyycdMmzzcd(xc yc zc)c c

16、x xz zy yO Ocrd dm mrtrvccddiiivmPcvMtvMtPcddddcaMtPFdd 質心運動定理質心運動定理MtrmiiiddMvmiiicaM表明：不管物體的質量表明：不管物體的質量如何分布，也不管外力如何分布，也不管外力作用在物體的什么位置作用在物體的什么位置上，質心的運動就象是上，質心的運動就象是物體的質量全部都集中物體的質量全部都集中于此，而且所有外力也于此，而且所有外力也都集中作用其上的一個都集中作用其上的一個質點的運動一樣。質點的運動一樣。質心質心的運動只由合外力決定的運動只由合外力決定，內(nèi)力不能改變質心的，內(nèi)力不能改變質心的運動情況。運動情況。 系統(tǒng)系

17、統(tǒng)內(nèi)力內(nèi)力不會影響質心的運動，不會影響質心的運動， 在光滑水平面上滑動在光滑水平面上滑動的扳手，的扳手， 做跳馬落地動作的運做跳馬落地動作的運動員盡管在翻轉，但動員盡管在翻轉，但 爆炸的焰火彈雖然碎片四散，爆炸的焰火彈雖然碎片四散，但其質心仍在做拋物線運動但其質心仍在做拋物線運動其質心仍做拋物線運動其質心仍做拋物線運動例如：例如：其質心做勻其質心做勻速直線運動速直線運動若合外力為零，若合外力為零，動量守恒與質心的運動動量守恒與質心的運動質點系動量守恒質點系動量守恒常矢量常矢量 ccav0若合外力分量為若合外力分量為0， iixF 0如：如：常常量量 cxv質點系分動量守恒質點系分動量守恒質點系

18、動量守恒和質心勻速運動等價！質點系動量守恒和質心勻速運動等價！則則則則相應的質心分速度不變相應的質心分速度不變rOL)( vmrPrL角動量大?。娣e）角動量大?。娣e）sinrmvL Lvvm2 2 角動量，角動量守恒定律角動量，角動量守恒定律1.1.角動量角動量做圓周運動時，由于做圓周運動時，由于 ，質點對圓心的角動量大小為，質點對圓心的角動量大小為vrRmvrmvL右手螺旋法則)(Rr r2. 2. 力矩力矩M M (Torque)(Torque)FrMmForM定義定義sinFMrdF 為力對定點為力對定點o 的力矩的力矩大?。捍笮。褐袑W就熟知的：力矩等于中學就熟知的：力矩等于力乘力臂

19、力乘力臂方向：方向：dFr,垂直垂直 組成的平面組成的平面Fr右手螺旋法則O mMrF氫原子的玻爾氫原子的玻爾(Bohr)模型模型kg1011. 931emm10529. 010r116s1013. 4skgm1005. 1234L地月系統(tǒng)地月系統(tǒng)s10616. 83 .27,60m1008. 3,kg1036. 74822TRrmkg/sm1084. 2230L 由于力矩可以改變質點的轉動狀況，而角動量又是描寫轉動狀態(tài)由于力矩可以改變質點的轉動狀況，而角動量又是描寫轉動狀態(tài)的一個物理量，它們之間應該存在某種關系。的一個物理量，它們之間應該存在某種關系。vmrPrL求導求導)(mtr)(mtr

20、tLvvdddddd因為因為,ddvtr0mmtr)()(ddvvv且且Famtmtmddd)d(vv所以所以MFrtLdd質點對某固定點角動量的變質點對某固定點角動量的變化率等于質點所受合外力對化率等于質點所受合外力對同一參考點的力矩。同一參考點的力矩。）。（一一對應的瞬時關系tLMdd3 3 質點的角動量定理質點的角動量定理由由MtLdd得：得：LtMdd 積分上式積分上式LLLLtM2121LLttdd12pmm)(mtFvvttdd122121vvv對時間的積累。，稱為沖量矩，是力矩式中21dtttM質點的角動量定理：作用于質點的合外力矩的沖量矩等于質點質點的角動量定理：作用于質點的合

21、外力矩的沖量矩等于質點角動量（動量矩）的增量。角動量（動量矩）的增量。d,dLM0 ,0Lt常 矢 量( (矢量守恒矢量守恒, ,質點對某固定點的角動量大小和方向均保持不變質點對某固定點的角動量大小和方向均保持不變) )角動量守恒定律可導出行星運動的開普勒第二定律：角動量守恒定律可導出行星運動的開普勒第二定律：常量常量，則，則若若 zzLM 0 質點對軸的角質點對軸的角 動量守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律是物理學的基本定律之一，角動量守恒定律是物理學的基本定律之一， 它不僅適用于宏觀體系，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用。而且在高速低速范圍

22、均適用。r rL Lv v S S m m常常量量 tStSddlim 0 t常量常量 sinrmLv 例例 一根長為一根長為l的輕質桿，端部固結一小球的輕質桿，端部固結一小球m1 ，碰撞時重力和軸力都通過碰撞時重力和軸力都通過O，2222102lmlllmml vlmmm021242v 解：解：選選m1（含桿）（含桿）+ m2為系統(tǒng)為系統(tǒng)另一小球另一小球m2以水平速度以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。碰桿中部并與桿粘合。求：求：碰撞后桿的角速度碰撞后桿的角速度對對O 力矩為零，故角動量守恒。力矩為零，故角動量守恒。lm1Ov0m2 解得：解得：思考思考 （m1m2 ）的水平動量是否守恒？）的

23、水平動量是否守恒？有有質點組受力質點組受力: :外力、內(nèi)力。外力、內(nèi)力。( (內(nèi)力成對產(chǎn)生內(nèi)力成對產(chǎn)生, ,且矢量合為零且矢量合為零) )1m2m0 0參考點參考點1r2r1f2f021 ff2211frfr0)(212frr12rr一對內(nèi)力對參考點的力矩為零一對內(nèi)力對參考點的力矩為零推廣推廣: :系統(tǒng)所有內(nèi)力的總力矩為零系統(tǒng)所有內(nèi)力的總力矩為零. .tLMdd質點組合外力矩等于其總角動質點組合外力矩等于其總角動量對時間的變化率量對時間的變化率. .21dttLtM質點組系統(tǒng)質點組系統(tǒng)合外力矩合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)總角的沖量矩等于系統(tǒng)總角動量的增量動量的增量. .顯然顯然, ,常矢量.若L0

24、,M4 4 質點組的角動量定理質點組的角動量定理小結：動量與角動量的比較小結：動量與角動量的比較角動量角動量 iiiprL矢量矢量與固定點有關與固定點有關與內(nèi)力矩無關與內(nèi)力矩無關守恒條件守恒條件0 iiiFr動量動量 iiimpv矢量矢量與內(nèi)力無關與內(nèi)力無關守恒條件守恒條件0 iiF與固定點無關與固定點無關1、一個在軌道上失重地漂浮著的宇航員來回快速地搖動著一個大鐵砧，他向地球報告 1. 他搖動鐵砧沒有花力氣，因為鐵砧在太空沒有慣性質量。 2. 他搖動鐵砧花了一些力氣，但比在地球上小得多。 3. 盡管失重，鐵砧在太空中的慣性質量和在地球上是一樣的。概念測試題概念測試題答案：3。慣性質量是任何物

25、體的固有屬性：它是對物體抵制變速的量度，另一方面，重量是地球對物體引力束縛的量度。在沿軌道運行時，物體是失重的，因為它們不受引力束縛，但是它們就像在地球上一樣，仍然抵制變速。2. 一輛汽車從靜止開始加速。這樣做使得汽車的動量的絕對值改變了一定的量，那么地球的動量改變了 1. 更大的量。 2. 相同的量。 3. 小一點的量。 4. 答案取決于兩者之間的相互作用。概念測試題概念測試題答案：2。動量等于作用力乘上力作用的時間。地球施加在汽車上的力和汽車施加在地球上的力大小相等，方向相反，而且這兩個力作用的時間相同。.一輛汽車從靜止開始加速，它獲得了一定量的動能，那么地球 1. 獲得了更多的動能。 2

26、. 獲得了相同量的動能。 3. 獲得了小一點的動能。 4. 失去了汽車所獲得的動能。概念測試題概念測試題答案：3。根據(jù)功能理論，獲得的動能等于力乘上在力的作用下物體運動的距離。地球施加在汽車上的力和汽車施加在地球上的力大小相等，方向相反，但是在力的作用下運動的距離不相等。汽車的運動使得地球運動的距離微乎其微。.3.假設世界上全部的人口都集中在一個場所，當聽到一個預先安排好的信號后，每個人都跳起來，地球所獲得的動量是否在相反的方向？ 1. 不；地球的慣性質量是如此之大，以致于這個行星的運動的改變是極其微小的。 2. 是；然而，因為地球的慣性質量大很多，地球動量的改變比所有跳起來的人群的動量改變要

27、小得多。 3. 是；就像步槍射出子彈，地球的反沖導致動量的改變和人群的動量改變大小相等，方向相反。 4. 視具體情況而定。概念測試題概念測試題答案：3。如果我們把地球看成是一個孤立系統(tǒng)（在人群跳起很短的時間間隔里，這種近似是合適的），所以動量必須是守恒的。因襲地球的動量一定和跳起的人群的動量大小相等，方向相反。然而因為很大的慣性質量，地球沒有明顯的運動。4. 假設世界上全部的人口都集中在一個場所，當聽到一個預先安排好的信號后，每個人都跳起來，大約1秒鐘后，50億人落在地面上。在人群落地之后，地球的動量 1. 和人群跳起來之前一樣。 2. 和人群跳起來之前不一樣。概念測試題概念測試題答案：1。不

28、可能從系統(tǒng)內(nèi)部改變孤立系統(tǒng)的動量。5. 假設雨水垂直地落入沿著無摩擦的水平直軌道運動的敞篷車里，隨著雨水在車里聚集，車的速度將 1. 增大。 2. 不變。 3. 減小。概念測試題概念測試題答案：3。因為雨水是垂直下落的，所以不會改變車子的水平動量。而車子的質量在增加，所以速度減小。7. 如圖所示，球1被向后拉，然后放掉，球5向前彈起。如果球1和2被向后拉，然后釋放，則球4和5向前彈起，等等。兩邊談起來的球的數(shù)目相同，是因為 1. 動量守恒。 2. 完全彈性碰撞。 3. 以上兩個都不是。概念測試題概念測試題答案：2。動量守恒可以導致很多不同的最終狀態(tài)，但本題是動能也同時守恒的唯一的一種情況。因為動能守恒就等于說“完全彈性碰撞”，所以選項2是正