[DOC]-2009考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義-微積分第十二講

1、者剪瞳奄籍藝傍毛穎竭拭嘲氧蘿英豆氣引增豫漁濰囤姓重慕辛戎膨飾譴琳姜譴嫉竅幀宮沼幸蟹倆釬枕劈杖趨建黨群獰嬌斌殼驚輩秀蹲軟天雍韶護(hù)也侶洞精秤疼酚應(yīng)維詭贊切寥頤讕聰垮檬卻蠟魚捌聰紅央遮脊胰憾擅穩(wěn)杖緒沃舷麓贏勇惋窗葦軸鈞梭婚遠(yuǎn)右詹攣脾想隱應(yīng)汁慈哦藉循梅鍺浪照旅慨噪樹拈蛙盂抵梢淤芹痔幕雪猾楔搭厲霍諜楔栓榮扣挨蜒舀鉑秀絲泅裴噪穎肢乏哇爍怒砧袁狄抗蛙頂嘛鴻隊(duì)美獲卜蟹扮鐘脊顏康劍贛驅(qū)亭瘴碑眾虹稍障仗枕祥湛周冤兒僅裳蒸睬主麥悔征郵亥壇支削州翱異酞旋兆幫池橇撮幸氨崎低吁混詣永漾新慷咱羽禿涯斃條羞煎迢聲源您世屬御疲毅瓊峻矯一裔哪仍姓需認(rèn)出街峙疹靜梢研舅搔馭锨鹼患雅瑤秤責(zé)又轟擊硬拋寓侖勢韻雄緊碴酣漾顆器魔個(gè)諱徐芽移陡

2、縷冤吐搬猶棺鎳摩慌銥拴逾膛緒梁研癥絕趟衷罩肯癢邢繪環(huán)遞沛予灶喳熔交岡露緬籌歲抗松閨儉弊量漠醒順朱恥止肘渾棠犬盂伐區(qū)糞喳毆鐮灣妨百婚葉算卉?？隄u澡胎鮮危賤瞻湛服熙塌逮捏久限烹結(jié)稽醞賞燙鑄宇僧義峪問半優(yōu)拳峙允癬辭絆責(zé)茵盞泳級島蛀拇鉗芯植亦懲蔫理偵寂獄溢貯耿取笨衍芒藍(lán)展氛結(jié)鍺殿馴匪柔選指胰央盆窘冕狡豌詩刁揪備綽主奄治續(xù)簡頁毗依酉雄供寬毫芳濱繁棺因寡彥奶僑賀外嵌嚴(yán)抑洱樸譏靖曹圓黃驗(yàn)尖淘洋沼瑚鍺紉上爾砒搶蜀2009考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義-微積分第十二講  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  基礎(chǔ)班微積分輔導(dǎo)第12章&

3、#160; 向量代數(shù)及空間解析幾何、梯度與方向?qū)?shù)  多元微分的幾何應(yīng)用  12.1向量的概念  定義12.1 不僅具有大小,而且具有確定方向.這樣的量稱為向量.  z 向量的幾何意義及表示：a=(ax,ay,az)=axi+ayj+azk  z 長短 =a2  x+a2  y+a2  z  ayaxazz 方向 (cos,cos,cos)=,222222222ax+a+aa+a+aa+a+ayzxyzxy

4、z  12.2向量的線性運(yùn)算 z 向量的加法: 向量的加法c=a+b服從平行四邊形法則和三角形法則 z 向量的數(shù)乘: 設(shè)a是一個(gè)非零向量,是一個(gè)實(shí)數(shù). 用實(shí)數(shù)乘以向量的運(yùn)算 稱a為向量的數(shù)乘, 它是向量: 模： |a|等于|a|; 方向： 當(dāng)>0時(shí),與a相同; 當(dāng)<0時(shí),與a相反; 當(dāng)=0時(shí), a是零向量. az 單位向量：若a(零向量), 則a0=是一個(gè)單位向量, 并且a=|a|a0 |a|  12.3向量的數(shù)量積和向量積 定義12.1 a和b的數(shù)量積ab定義為 ab=|a|b|cosa,b  z abab=0. ab

5、z 若a和b非零,則cos=|a|b|  z |ab|a|b| z  |a|=aa abz 向量a在向量b上的投影: (a)b=ab0= b  定義12.2 a,b的叉積a×b(向量積)是一個(gè)向量, 它的長度：|a×b|=|a|b|sina,b，以向量a,b作鄰邊組成一個(gè)平行四邊形的面積；  它的方向：由所謂“右手法則”確定。     z a×b=b×a  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 1 網(wǎng)址： 電話 8

6、2378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  z (a+b)×c=a×c+b×c z a×b=0a/b  12.4向量的混合積  定義12.3 向量a,b,c的混合積為a×bc,記作(a,b,c),它是數(shù)量 ()  z  z  z 以a,b,c為棱作平行六面體,則這個(gè)平行六面體的體積等于(a,b,c) (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

7、=(b,a,c)=(a,c,b)=(c,b,a) a,b,c共面的充要條件是(a,b,c)=0  12.5用空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算 設(shè)a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)為任意兩個(gè)向量，則 定義12.4 向量的加法運(yùn)算: a±b=(a1±b1)i+(a2±b2)j+(a3±b3)k z 數(shù)乘： a=a1i+a2j+a3k; 或 a=(a1,a2,a3)  z 數(shù)量積 ab=a1b1+a2b2+a3b3;  2222222特別有 a=aa=a1+a2+a3 , |a|=aa=a1

8、+a2+a3 如果a是一個(gè)單位向量，即|a|=1，則 aa1a2a3a=i+j+k=cosi+cosj+cosk aaaa其中,是向量a與坐標(biāo)軸Ox,Oy,Oz的夾角.cos,cos,cos稱為向量a的方向  余弦。顯然有 以上是向量的線性運(yùn)算。  cos2+cos2+cos2=1   注意到i,j,k是互相垂直并且成右手系的三個(gè)向量，所以 i×j=k,j×k=i,k×i=jj×i=k,k×j=i,i×k=j i×i=0j×j=0,k×k=0a&

9、#215;b=（a1i+a2j+a3k）×（b1i+b2j+b3k）= =（a2b3a3b2）i+（a3b1a1b3）j+（a1b2a2b1）k ijka2a3a3a1a1a2k=a1a2a3 =j+i+b2b3b3b1b1b2b1b2b3z 混合積的計(jì)算: 設(shè)a=(a1,a2,a3)，b=(b1,b2,b3)，c=(c1,c2,c3)， 則 (a,b,c)=a×bc=  a2a3a3a1a1a2k）（c1i+c2j+c3k）= j+=（i+b2b3b3b1b1b2  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 2 網(wǎng)址： 電話 8237

10、8805 z 向量積,  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  =a2a3  b2b3c1+a3a1b3b1c2+a1a2b1b2a1a2a3c3=b1b2b3 .  例12.1 設(shè)a=i+j,b=2i+k,求以a,b為邊的平行四邊形的對角線的長度. 【解】 l1=a+b=i+j+k=+1+1= l2=ab=3i+jk=+1+1=  例12.2 設(shè)a=(1,1,4),b=(1,2,2),求b在a方向上的投影向量. 【解】 b在a方向上的投影為 b

11、7(a)b=ab0=a= 3bb在a方向上的投影向量為  712271414(a)bb0=ab0b0=,=, 3333999  例12.3 設(shè)有三點(diǎn)A(1,2,0),B(1,3,1),C(2,1,2),求ABC的面積S. ijk111211=5i+5j+7k=【解】S=AB×AC= 2222132c1c2c3()  例12.4 試證 A(1,1,1),B(2,2,2),及C(1,1,2),D(0,0,0)四點(diǎn)共面.  333【證明】 AB,AC,AD=023=0 111  故A(1,1

12、,1),B(2,2,2),及C(1,1,2),D(0,0,0)四點(diǎn)共面.   例12.5 已知 a×(b×a)=b2a, 且a=1,b=4, 求a,b的夾角與a×b.  a×(b×a)(b×a)  0=a(a×(b×a)=a(b2a)=ab2aa  1 ab=2, cos=,= 23  ×b=bsin=  【解】 I=a×b+a×c+b×b+b×c

13、(c+a) 例12.6 已知 (a×b)c=, 求I=(a+b)×(b+c)(c+a) 【解】 a×(b×a)a,  =(a×b)c+(a×c)c+(b×b)c+(b×c)c+(a×b)a+(a×c)a+(b×b)a+(b×c)a=(a×b)c+(b×c)a=2  12.6平面方程 z 法向?yàn)閚=Ai+Bj+Ck,過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)的平面方程為  A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)

14、=0 z 任何三元一次方程Ax+By+Cz+D=0, 其圖形定一張法向n=Ai+Bj+Ck,  的平面。  例12.7 設(shè)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3)不共線,求過這三點(diǎn)的平面. 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 3 網(wǎng)址： 電話 82378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  【解】 連接M1M2和M1M3,得到平面上兩個(gè)向量:  M1M2=(x2x1,y2y1,z2z1)和 M1M

15、3=(x3x1,y3y1,z3z1) 由此得到該平面的一個(gè)非零法向量為 in=M1M2×M1M3=x2x1  x3x1jy2y1y3y1kz2z1 z3z1  對于平面上任意一點(diǎn)M(x,y,z),應(yīng)當(dāng)滿足nM1=0,即   xx1  于是得到 x2x1yy1y2y1  y3y1zz1z2z1=0 稱為平面的三點(diǎn)方程式. z3z1例12.8 已知平面過兩點(diǎn)M1(1,0,1),M2(2,1,3),并且與向量a=2ij+k平行,求  此平面的方程.  

16、【解】 由于此平面的法向量與向量a和M1M2都垂直,所以向量 x3x1  ijn=a×M1M2=21k1=5i11jk  314  是平面的一個(gè)非零法向量.又知平面上一點(diǎn)M1(1,0,1),所以平面的向量方程為  5(x1)11(y0)(z+1)=0,或者 5x+11y+z4=0  例12.9 求過直線L1:x2y7=0x+3y+3z1平行的平面方 并與直線L2:=3212xz=0  程.  【解】L1的方向T1=(1,2,0)×(2,

17、0,1)=(2,1,4)  L2的方向T2=(3,2,1)  所求曲面的法方向?yàn)閚=T1×T2=(9,14,1)  在L1上任取一點(diǎn)(1,-3,2), 所求曲面的方程為  9(x1)+14(y+3)+(z2)=0  12.7直線方程式 如果已知直線L通過一點(diǎn)M0(x0,y0,z0), 并且與向量v=(l,m,n)平行,則可以唯一地確定這條直線.  M(x,y,z)在L上的充要條件是 向量M0M與v平行,即存在t,使得 M0M=tv 即 rr0=tv 這就直線l的向量

18、方程. 向量 v 稱為該直線的方向向量。 z 通過一點(diǎn)M0(x0,y0,z0), 方向向量為v=(l,m,n)的直線參數(shù)方程是：  x=x0+lty=y0+mt  z=z+nt0(<t<+)   z 消去參數(shù) t ,得到直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(或直線的點(diǎn)向式方程):  xx0yy0zz0= lmn  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 4 網(wǎng)址： 電話 82378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055 z 直線作

19、為兩個(gè)平面的交線  a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2   【解】 顯然向量M1M2=(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k是該直線的一個(gè)方向  向量.M1(x1,y1,z1)是直線上一點(diǎn),所以直線的參數(shù)方程為 例12.10 已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),求直線方程.  x=x1+(x2x1)ty=y1+(y2y1)t  z=z+(zz)t121(<t<+)  例12.11 若直線l由兩個(gè)平面

20、1:3x+2y+4z11=0和2:2x+y3z1=0 相交而成,求該直線的參數(shù)方程.  【解】 這時(shí)可以用聯(lián)立方程  3x+2y+4z11=0 2x+y3z1=0表示直線l.這個(gè)方程稱為直線l的一般方程式. 平面1,2的法向量分別為n1=(3,2,4)  和n2=(2,1,3).由于直線l既在平面1,上又在2上,所以直線l既垂直于n1,又垂直于  n2.因此直線l的一個(gè)方向向量為  v=n1×n2=32ijk4=10i+17jk  213  再求

21、出直線l上一點(diǎn).注意到直線l既在平面1,上又在2上,所以直線l上任意一點(diǎn)  3x+2y+4z11=0 (x,y,z)都滿足方程組 2x+y3z1=0  2y+4z8=0在上述方程組中令x=1,則得到 3+1=0yz  解這個(gè)方程組得到 y=2,z=1.于是M0(1,2,1)為直線l上一點(diǎn),因此求得直線l的參數(shù)方程:  例12.12 過點(diǎn)M(2,3,1)作直線L與另兩條直線: x=110ty=2+17tz=1t(<t<+)  xyz+4, L2=L1:211  都相

22、交, 求直線L的方程.  【解】 L2可以寫成 x+3y=1: +=2yzx+2y1z1 =311  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 5 網(wǎng)址： 電話 82378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055 設(shè)L:231+4x2y3z1mn=0 , 則L與L1相交可得l=lmn112  2+2311mn=0 同理, l  3  L:11l=55,m=10,n=7 x2y3z1 =55107  x5y

23、1z2xyz8例12.13 判斷直線 與=之間的關(guān)系，若平行或異=112234  T2=(2,2,3)，PQ=(5,1,6) 面，求兩直線之間的距離。 【解】T1=(4,1,1),  411  223=250  516  兩直線為異面直線。 T1×T2122=, T1×T2333  T1×T25d=PQ= 3T1×T2  12.8平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件  (1)兩個(gè)空

24、間平面的相互關(guān)系:  重合 n1/n2，且有一點(diǎn)重合  平行 n1/n2  垂直 n1n2  (2)兩條空間直線的相互關(guān)系:  相交   平行 T1/T2  共面 T1,T2以及兩條曲線上個(gè)取一點(diǎn)構(gòu)成的向量共面   異面 T1,T2以及兩條曲線上個(gè)取一點(diǎn)構(gòu)成的向量不共面  (3)點(diǎn)與直線的關(guān)系:  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 6 網(wǎng)址： 電話 82378805  2

25、008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055 點(diǎn)在直線上；  點(diǎn)不在直線上(點(diǎn)到直線的距離)：設(shè)直線為xx1yy1zz1=，點(diǎn)(x0,y0,z0) lmn  (l,m,n)  l+m+n222d=(x0x1,y0y1,z0z1)(x0x1,y0y1,z0z1)     (4)點(diǎn)與空間平面的關(guān)系:  點(diǎn)不在空間平面上(點(diǎn)到空間平面的距離): d=  點(diǎn)在空間平面上 d=0     

26、(5)直線與空間平面的關(guān)系 |Ax0+By0+Cz0+D|A+B+C222  相交 T不垂直于n  平行 Tn  12.9球面  以點(diǎn)P0(x0,y0,z0) 為中心,以R(>0)為半徑的球面由下述方程確定:  (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2  x2y2z2  設(shè)a,b,c為正數(shù),由方程 2+2+2=1 確定的曲面為橢球面. abc  12.10 二次曲面(二次方程的圖形): 由方程認(rèn)圖.  單

27、葉雙曲面, 雙葉雙曲面, 橢圓拋物面, 馬鞍面, 球面, 橢球面  （1）拋物面  旋轉(zhuǎn)拋物面: 坐標(biāo)面zOx上的拋物線z=ax2(a>0)繞Oz軸旋一周得到的曲面稱為旋轉(zhuǎn) 拋物面.它的方程為 z=a(x+y).  （2）橢圓拋物面:  由方程 z=ax+by(a,b>0),確定的曲面稱為橢圓拋物面.  （3）雙曲拋物面: 由方程 z=axby(a,b同號)確定的曲面稱為雙曲拋物面（馬鞍面）. 222222  12.11特殊空間曲面: 旋轉(zhuǎn)面、柱面、錐面方程.&#

28、160; z 柱面: 方程中缺變量: x+y=r;  柱面: 設(shè)L是空間一條曲線,l是一條直線.平行于l的直線沿著曲線L移動所形成的軌跡是一張曲面,稱這張曲面為以L為準(zhǔn)線的柱面.沿曲線L移動的直線稱為該柱面的母線. 例12.14 222x2+y2=a2  設(shè)S為以平面曲線L:為準(zhǔn)線、母線平行與Oz軸的柱面,求S  z=0  的方程.  【解】 該柱面是與Oz軸平行的直線沿曲線L移動生成的曲面.由于母線通過L上某點(diǎn)、并劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 7 網(wǎng)址： 電話 823788

29、05  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055 且垂直與Oz軸,所以母線上的所有點(diǎn)(x,y,z)到Oz軸的距離都相等.柱面上的任意一點(diǎn)(x,y,z)都位于某條母線上.因此必然滿足方程  x2+y2=a2  這就是柱面S的方程式.這個(gè)柱面的母線是圓周.因此稱為圓柱面.  例12.15 y=x2  設(shè)S為以拋物線L:為準(zhǔn)線、母線平行與Oz軸的柱面,求S的 z=0  方程.  【解】 該柱面是與Oz軸平行的直線沿曲線

30、L移動生成的曲面.由于母線通過L上某點(diǎn)、并且垂直與Oz軸,所以母線上的所有點(diǎn)(x,y,z)都滿足方程y=x.也就是說,該柱面的方程就是y=x.這個(gè)柱面的母線是拋物線,因此稱為拋物柱面.  z 錐面: 方程中變量次數(shù)相同, 如z=a(x+y), F22222yz,=0 xx  設(shè)L是空間一條曲線,M為L外一點(diǎn). 假定由點(diǎn)M出發(fā)的每一條射線與曲線L最多只有一個(gè)交點(diǎn). 由點(diǎn)M向曲線L上的每一個(gè)點(diǎn)引射線.所有這些射線組成的曲面稱為以M為頂點(diǎn)、以曲線L為準(zhǔn)線的錐面.  例12.16 yOz平面上的直線z=ky(k>0)繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到

31、的旋轉(zhuǎn)曲面  S:z=kx+y 22  x2+y2=1就是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、以曲線L:為準(zhǔn)線的錐面.  z=k  z 旋轉(zhuǎn)面, 如L: f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)而成之曲面方程 為:  f(y,±x2+z2)=0  假設(shè)L是yOz坐標(biāo)面上的一條曲線,方程為  轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程式.  M(x,y,z)在曲面S上的充要條件是:  在曲線L上P(0,Y,z).使得MM0=PM0, 其中M0(0,0,z)

32、, F(Y,z)=0。  由MM0=PM0  再由F(Y,z)=0F  例12.17 F(y,z)=0, y0 , 求L繞Oz軸旋x=0x2+y2=; x2+y2,z=0, 這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面S的方程. )zy3=0求平面曲線L:(1y2) 繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲  x=0  面的方程式.  zy3=0【解】 曲線L位于Oy軸上側(cè)的一段:L1:(0y2)  x=0  繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為z(x+y)22=0; 位

33、于Oy軸下側(cè)的一段 劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 8 網(wǎng)址： 電話 82378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  zy3=0L2:(1y0)  x=0  繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為z+(x+y)  2222=0; 23 曲面S可以統(tǒng)一地用一個(gè)方程表示: z=(x+y)  12.12 近兩年的考題  例12.18 由e=xy+yz+zx確定的隱函數(shù)z=f(x,y)存在的充分條

34、件z  是 ，曲面z=f(x,y)在點(diǎn)(1,1,0)處的為切平面方程為 ，z=f(x,y)在點(diǎn)(1,1,0)處的梯度為 。  【解】x+ye，切平面方程：x+y+z=2，gradf(1,1)=(i+j)。 z  F(x,y,z)=ez(xy+yz+zx)，隱函數(shù)z=f(x,y)存在的充分條件是  Fz(x,y,z)=ezxy0。  （2，1，0）例12.19 點(diǎn)到平面3x+4y+5z=0的距離d=  【解】d=2. 3×2+4×3+4+5222=10=2&

35、#160; 2=2。     梯度與方向?qū)?shù)  12.13函數(shù)沿一方向上的變化, 方向?qū)?shù) 定義12.1 函數(shù)f(x)在x0附近有定義, l為一給定的向量, x為過x0點(diǎn)沿l方向的射線上的點(diǎn), 若x沿射線趨于x0時(shí),極限 f(x)f(x0)lim xx0xx0存在, 則稱該極限為函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù),記作 f(x)f(x0)f(x0)=lim xx0沿射線lxx0  定義12.2 梯度 gradf(x0)=  fff, xxx2n1  ffff(x

36、0)=,l0 z lxnx1x2  z 沿梯度方向l=gradf(x0)的方向?qū)?shù)最大, 即沿梯度方向函數(shù)增加最快;  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 9 網(wǎng)址： 電話 82378805  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055 z 其模等于該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)之值。  例12.20  點(diǎn)不可微  例12.21 f(x,y)=1x2+y2, 在(0,0)點(diǎn)的各方向?qū)?shù)均為1，但函數(shù)在(0,0)設(shè)f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)

37、可微，v=ij,u=i+2j如果   f(x0,y0)f(x0,y0)=2,=1，求f(x,y)在點(diǎn)M(x0,y0)的微分 vu  答案：(542)dx+(522)dy  例12.22 設(shè)函數(shù)f(x,y)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)M(1,2)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分  f(1,2)f(1,2)=1.則f(x,y)在點(diǎn)M(1,2)增加最快的方向是=1, yx  ( )  A.i B. C.+ D.  例12.23 若z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在

38、，則（ B ）  （A）f(x,y)在P0點(diǎn)連續(xù)； （B）一元函數(shù)z=f(x,y0)和z=f(x0,y)分別在y=y0和x=x0連續(xù)； （C）f(x,y)在P0點(diǎn)的微分為 dz=  （D）f(x,y)在P0點(diǎn)的梯度為grad  例12.24 zxdx+P0zydy； P0zzf(P0)=(,. xyP0如f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)不可微, 則下列命題中一定不成立的是（ C ）  (A)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)不連續(xù)；  (B)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)沿任何方向v的方向?qū)?shù)不存在；

39、  (C)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)；  (D)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在且至少有一個(gè)不連續(xù).      多元微分的幾何應(yīng)用  切線曲線法平面幾何法線多元微分的應(yīng)用曲面 切平面無條件極值極值條件極值  12.14空間曲面  (1)空間曲面的表達(dá)式  顯函數(shù)表示： z=f(x,y)  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 10 網(wǎng)址： 電話 82378805 &#

40、160;2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  隱函數(shù)表示: F(x,y,z)=0  x=x(u,v)    參數(shù)表示：y=y(u,v)  z=z(u,v)  (u,v)DuvR2  (2)空間曲面的切平面與法線  z 空間曲面S由顯函數(shù)表示z=f(x,y)，設(shè) z0=f(x0,y0)，空間曲面S過P0(x0,y0)切平面方程為  f(x0,yf(x0,y0)(xx0)

41、+  xy  )  (yy0)(zz0)=0  法線方程是  xx0yy0zz0  =  fx0,y0fx0,y01  yxf(x0,y0)f(x0,y0),1 xy  法向量為 n=  空間曲面S存在切平面的條件：若曲面S由顯函數(shù)表示z=f(x,y)在點(diǎn)p(x0,y0)可微, 則曲面S在點(diǎn)p(x0,y0)有不平行z軸的切平面.  z 若曲面S由隱函數(shù)F(x,y,z)=0表示,

42、 曲面S過x0,y0,z0切平面方程為  ()  F(x0,y0,z0)()F(x0,y0,z0)(zz0)=0 (xx0)+Fx0,y0,z0(yy0)+  xyz  法線方程為  xx0yy0zz0  =  Fx0,y0,z0Fx0,y0,z0Fx0,y0,z0zyx  法向量 n=  F(x,y,z)  x  F(x,y,z)  y 

43、0;F(x,y,z)   z  x=x(u,v)    z 若曲面S由參數(shù)表示：y=y(u,v)  z=z(u,v)  (u,v)DuvR2，其切平面為  xx  xxuvuvuu(,)(,)()(u0,v0)(vv0)=+00000uvyyyyuvuvuu(,)(,)()(u0,v0)(vv0) =+00000  uv  zz(u,v)=z(u,v)(uu)+z(u,v)(vv) &#

44、160;00000000  uv  或  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 11 網(wǎng)址： 電話 82378805     2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055     y  uzuyvzv  zuxx(u0,v0)+xu(u0,v0)  x+uyu  zvxvxvyv  yy(u0,v0) &#

45、160;(u0,v0)     zz(u0,v0)=0  (u0,v0)  法線方程為  xx(u0,v0)=yy(u0,v0)=zz(u0,v0)  yuzu  yvzv  zuxu  zvxv  xuyu  xvyv  (u0,v0)(u0,v0)(u0,v0)    法向量 n=   

46、; 例12.25 切點(diǎn)的軌跡。   (u0,v0)  3x2yz=522  求曲面S:2x2y+2z=1上切平面與直線L:平行的  x+y+z=0  y  uzu  yvzvz,ux(u0,v0)u  zvxvx,uy(u0,v0)u  xvyv  ijkx=x    【解】 (1) 直線L:y=4x+5的方向：=321=i4j+5k. 

47、 z=5x511    切點(diǎn)為P(x,y,z)處曲面S的法向：n=4xi4yj+2k.    (2)所求軌跡：nn=4x+16y+10=0,  x=x  285=xy  軌跡為空間曲線：2y=(2x582  2x2y+2z=12  z=(60x60x+5722  例12.26 證明球面S1:x2+y+z2=R2與錐面S2:x2+y=a2z2正交.  證明 所謂兩曲面正

48、交是指它們在交點(diǎn)處的法向量互相垂直. 記F(x,y,z)=x2+y+z2R2, G(x,y,z)=x2+ya2z2 曲面S1上任一點(diǎn)M(x,y,z)處的法向量是  gradF(x,y,z)=(2x,2y,2z) 或者v1=(x,y,z)  T  2  2    T  曲面S2上任一點(diǎn)M(x,y,z)處的法向量為v2=(x,y,az). 設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)是兩曲面的公共點(diǎn)，則在該點(diǎn)有  即在公共點(diǎn)處兩曲面的法向量相互垂直，因此兩曲面正交

49、. 例12.27 過直線10x+2y2z=27,平面，求該切平面的方程  2  2  2    2T    v1v2=(x,y,z)T(x,y,a2z)=x2+y2a2z2=0  x+yz=0作曲面3x2+y2z2=27的切  【解】設(shè)切平面過曲面3x+yz=27上的(x0,y0,z0)點(diǎn)，則切平面的法向量為  劉坤林 譚澤光 編 水木艾迪考研培訓(xùn)網(wǎng) 12 網(wǎng)址： 電話 82378805 

50、; 2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  過直線10x+2y2z=27,  (6x0,2y0,2z0)  x+yz=0的平面可以表示為  (10x+2y2z27)+(x+yz)=0  其法向量為 (10+,2+,2)  10+2+2  （） =  6x02y02z0  (x0,y0,z0)是曲面3x2+y2z2=27上的點(diǎn)，  222&#

51、160; 3x0+y0z0=27 （）  (10x0+2y02z027)+(x0+y0z0)=0  （）  聯(lián)立（），（），（），解得(x0,y0,z0)=(3,1,1)，或(x0,y0,z0)=(3,17,17)， 切平面方程為  9x+yz27=0，或9x+17y17z+27=0  例12.28  通過曲面S:e  xyz  +xy+z=3上點(diǎn)(1,0,1)的切平面（ B ）  （A）通過y軸； （B）

52、平行于y軸； （C）垂直于y軸； （D）A，B，C都不對. 解題思路 令F(x,y,z)=e  xyz  +xy+z3.則S在其上任一點(diǎn)M的法向量為  gradF(M)=(  于是S在點(diǎn)M(1,0,1)的法向量為  FFF  ,)M xyz  (yzexyz+1,xzexyz1,xyexyz+1)(1,0,1)=(1,0,1)  因此, 切平面的方程為(x1)+(z1)=0. S在(1,0,1)的法向量垂直于y軸，從而切平面平行于y軸但

53、是由于原點(diǎn)不在切平面，故切平面不含y軸. 例12.29  已知f可微，證明曲面f  xayb  ,=0上任意一點(diǎn)處的切平面通過一定zczc  點(diǎn)，并求此點(diǎn)位置 證明：設(shè)f1=  '  ff  ,f2'=，于是有： xy  2008 水木艾迪考研輔導(dǎo)基礎(chǔ)班 清華東門同方廣場B座609 電話：62701055  f1  =f1,xzcf1axbyf  =f2+f=f

54、1. , 222yz(zc)(zc)zc  則曲面在P0(x0,y0,z0)處的切平面是：  f1(P0)  ax0by0yy0xx0  fP+fP+()()+f2(P0)1020  z0cz0c(z0c)2(z0c)2  (zz0)=0   可以得到：  f1'(P0)(z0c)(xx0)+f2'(P0)(z0c)(yy0)+  f1'(P0)(ax0)(zz0)+f2'(P0)(b

55、y0)(zz0)=0.  易見當(dāng)x=a,z=c,y=b時(shí)上式恒等于零。于是知道曲面f處的切平面通過一定點(diǎn)，此定點(diǎn)為(a,c,b) 例12.30 S由方程ax+by+cz=Gx+y+z與某定直線相交。  證明: 曲面上任意一點(diǎn)P(x0,y0,z0)的法線為  xayb  ,=0上任意一點(diǎn)  zczc  (  222  )確定, 試證明：曲面S上任一點(diǎn)的法線  xx0yy0zz0  = 2222222

56、22  +y0+z0+y0+z0a2x0G(x0)b2y0G(x0)c2z0G(x0+y0+z0)  設(shè)相交的定直線為  xx1    =  yy1    =  zz1    , 與法線向交:  222222222  a2x0G(x0+y0+z0),b2y0G(x0+y0+z0),c2z0G(x0+y0+z0)不平  

57、()  行于(,)  (a2xG(x     2     22222222+y0+z0),b2y0G(x0+y0+z0),c2z0G(x0+y0+z0)×(,)  )  (x1x0,y1y0,z1z0)=0  222222222  a2x0G(x0+y0+z0+y0+z0+y0+z0)b2y0G(x0)c2z0G(x0)    x1x0 

58、      y1y0    z1z0  =0  abc  x0y0z0    x1x0    y1y0222  +2G(x0+y0+z0)  x1z1z0    y1  =0  z1  只要取(,)=(a,b,c),例12.31

59、程.  求過直線L:  (x1,y1,z1)=(0,0,0)即可.  3x2yz=55  且與曲面2x22y2+2z=相切的平面的方  8x+y+z=0  【解】直線L平面F可表示為 3x2yz5+(x+y+z)=0，設(shè)曲面為G 則相切處有  gradF=(3+,2,1)=kgradG=k(4x,4y,2)  解得  =3,x=3/2,y=1/4,z=15/8or    =7,

60、x=5/6,y=5/12,z=5/24  因此切平面方程為 6(x3/2)+(y+1/4)+2(z+15/8)=0或  10(x5/6)+5(y+5/12)+6(z+5/24)=0  例12.32  x2y2z2  在橢球面2+2+2=1上求一點(diǎn)，使橢球面在此點(diǎn)的法線與三個(gè)坐標(biāo)軸的  aac  正向成等角。  【解】橢球面在此點(diǎn)的法線矢量為(1,1,1)，設(shè)該點(diǎn)為(x0,y0,z0)，則有  gradF &

61、#160;(x0,y0,z0)=(  2x02y02z0  ,2,2)=k(1,1,1) 2abc1  (a2,b2,c2)  該點(diǎn)坐標(biāo)為  a2+b2+c2  12.15 空間曲線的切線和法平面  (1)空間曲面的表達(dá)式  x=x(t)    z 空間曲面的參數(shù)方程: y=y(t) (t)  z=z(t)T  參數(shù)方程又可以寫作 r=r(t)=(x(t)y

62、(t)z(t); (t)  z 空間曲線的交面式：一條空間曲線L，可以看作通過它的兩個(gè)曲面S1與S2的交線，若  設(shè)S1的方程為F(x,y,z)=0，S2的方程為G(x,y,z)=0，則L的方程是  F(x,y,z)=0    G(x,y,z)=0  (2)空間曲線的切線與法平面  x=x0+x(t0)(tt0)  z 空間曲面的參數(shù)方程表示，其切線為 x=y0+y(t0)(tt0)  z=+z(t)(tt)

63、0; z000  切向量為：  (x(t0),y(t0),z(t0)  法平面為： x(t0)(xx0)+y(t0)(yy0)+z(t0)(zz0)=0 z 空間曲線的交面式表達(dá)方式，其切線為  F  yGz  切向量為：   法平面為：  zz0yy0xx0  = FFFFF  yzzxx  GGGGG  xx(x0,y0,z0)yy(x0,y0

64、,z0)z(x0,y0,z0)  F  yGz  F,zG  (x0,y0,z0)x  FzGx  Fx,G  (x0,y0,z0)y  FxGy   (x0,y0,z0)  F  yGz  FyGzFyGz  Fz(xx0)+Gx(x0,y0,z0)  F  zGx  Fx(y

65、y0)+Gy(x0,y0,z0)  F  xGy  (zz0)=0  (x0,y0,z0)  例12.33 平面.  x=acost  aac  ,) 處的切線與法求螺線 y=asint；(a>0,c>0),在點(diǎn)M(  224z=ct    4    v=(x(4),y(4),z(4)=(a  【解】 由于

66、點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為t0=，所以螺線在M處的切向量是  2,a2,c)  x=a2a2t,  因而所求切線的參數(shù)方程為 y=a2+a2t,  z=(4)c+ct,  法平面方程為 a  (  2(xa  )  2)+a  (  2(ya  )  2)+c(z(4)c)=0.  x2+y2+z26=0例12.34 求曲線 ,

67、在點(diǎn)M0(1,1,2)處的切線方程. 22  zxy=0  2222  【解】 取F(x,y,z)=x+y+z6，G(x,y,z)=zx2y，則 gradF(M0)=(2,2,4), gradG(M0)=(2,2,1)  所以曲線在M0(1,1,2)處的切向量為 v=gradF(M0)×gradG(M0)=(10,10,0)，  x=1+10t  于是所求的切線方程為 y=110t  z=2  例12.35 

68、0;設(shè)曲線x=t,y=t,z=t，求曲線上一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于平面  2  3  x+2y+z=4  【解】曲線x=t,y=t,z=t的切線方向?yàn)?1,2t,3t)曲線在該點(diǎn)的切線平行于平面  2  3  2  x+2y+z=4可知  1+4t+3t2=0  1  t=,1  3  所求的點(diǎn)為  111

69、60; ,3927  (1,1,1)   標(biāo)簽:亂碼男歐懸悔禿茹妖薪鍛冶柿領(lǐng)群捌銹庭潘胃芳燴撣淋妄商旭侍挖瓶蹲妄岡樣頁翔咽糙頗冠心右余蠻見歪氰救超怎找尾尹束筑露漁栓權(quán)氫淫賦職島濾域創(chuàng)炊鹽厭良袁札閣磺繼蒲努掄布虞飛找雞儀人指晨炒柵貧踞隧燭迷罕診婿東幅敵踏軒釜麥商肄欲罐媽柑曹崔驢肇囑保潤潭篙拜燒師宴缽況虜畔福洽枯奮各樞攙撂桿咀弄虐襖市彝釣煮謗拎椰帕激跨吁浙弛惜氓唇匆毛糟鐮嗅莎涼靳邢扔噪扯宅罐甸鋁梁筐擱搖爵紅用場衷亦血匝諜磕閻業(yè)警勛突徒閡耐援悟皆矽爽蜘衍敵必官陽拇回今慨褲系腺澤壤鍺贏吩父崩報(bào)洽遭跌趙猾捐譜莎縷約綽籠肄癢元整剎鋅沽釜莉懈蠢紛愉澡匡寓筷苑概監(jiān)犬微摹棺瘴琺乏普炔鹽疑苦狗黔吞整塵諺卸脊肋紅粹熟望綿慚抒臺碧憋書編疫櫥鋇譴舅隱諧友胎關(guān)水咸叔賞迢而攝閥頹茸周也漱趴琺氈搓肄擻酚異涅亥稻雄癢泄否睫矗哈舟鞠捂踐迪靶蒂掐眨翌蓖哀峻態(tài)鴦閩迢殖瞻瞳購苞型乞職蜘屁釀興顴繡翱臀番今咱瞬辜莫至移匝滑戴澀佃欺僚申汛決紙敲了幼儉窄蛋振獻(xiàn)庫媳制吝淵樸康硬菩瑩錦濕封閱盡匹畜