傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上傅里葉變換基礎(chǔ)知識(shí)1.傅里葉級(jí)數(shù)展開最簡單有最常用的信號(hào)是諧波信號(hào)，一般周期信號(hào)利用傅里葉級(jí)數(shù)展開成多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)，即一般周期信號(hào)是由多個(gè)乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波信號(hào)線性疊加而成。1.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)在有限區(qū)間上，任何周期信號(hào)只要滿足狄利克雷（dirichlet）條件，都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。1.1.1狄利克雷（dirichlet）條件狄利克雷（dirichlet）條件為：（1）信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)（當(dāng)t從左或右趨向于這個(gè)間斷點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有左極限值和右極限值）；（2）信號(hào)在一周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值；（3）信號(hào)在一個(gè)周

2、期內(nèi)是絕對可積分的，即應(yīng)為有限值。1.1.2間斷點(diǎn)在非連續(xù)函數(shù)中某點(diǎn)處處有中斷現(xiàn)象，那么，就稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。（1）第一類間斷點(diǎn)（有限型間斷點(diǎn)）：a.可去間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在且相等，但不等于該點(diǎn)函數(shù)值或函數(shù)在該點(diǎn)無定義（令分母為零時(shí)等情況）；b.跳躍間斷點(diǎn)：函數(shù)在該點(diǎn)左極限、右極限存在，但不相等（在點(diǎn)處等情況）。（2）第二類間斷點(diǎn)：除第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)。1.1.3傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式為式中：為信號(hào)的常值分量；為信號(hào)的余弦信號(hào)幅值；為信號(hào)的正弦信號(hào)幅值。、分別表示為：式中：為信號(hào)的周期；為信號(hào)的基頻，即角頻率，。合并同頻項(xiàng)也可表示為式中：信號(hào)的幅值

3、和初相位分別為1.1.4頻譜的相關(guān)概念（1）信號(hào)的頻譜（三角頻譜）：構(gòu)成信號(hào)的各頻率分量的集合，表征信號(hào)的幅值和相位隨頻率的變化關(guān)系，即信號(hào)的結(jié)構(gòu)，是（或）和（或）的統(tǒng)稱；（2）信號(hào)的幅頻譜：周期信號(hào)幅值隨（或）的變化關(guān)系，用（或）表示；（3）信號(hào)的相頻譜：周期信號(hào)相位隨（或）的變化關(guān)系，用（或）表示；（4）信號(hào)的頻譜分析：對信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，獲得頻譜的過程；（5）基頻：或，各頻率成分都是或的整數(shù)倍；（6）基波：或?qū)?yīng)的信號(hào)；（7）次諧波：或的倍頻成分或；1.1.5周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開根據(jù)歐拉公式，則因此，傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式可改寫成令則或這就是周期信號(hào)的傅里葉復(fù)指數(shù)形式的

4、表達(dá)式。將代入，則在一般情況下是復(fù)數(shù)，可以寫成式中由，可表示為則變?yōu)橛纱丝梢姡芷谛盘?hào)用復(fù)指數(shù)形式展開，相當(dāng)于在復(fù)平面內(nèi)用一系列旋轉(zhuǎn)矢量來描述，但是，負(fù)頻率的出現(xiàn)，僅僅是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，并無實(shí)際物理意義。1.1.6傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)展開關(guān)系由，可知：綜合，表示為即雙邊頻譜的幅值是單邊頻譜幅值的一半。由，可知：三角函數(shù)展開表達(dá)式復(fù)指數(shù)展開表達(dá)式常值分量復(fù)指數(shù)常量余弦分量幅值復(fù)數(shù)的實(shí)部正弦分量幅值復(fù)數(shù)的虛部振幅復(fù)數(shù)的模相位相位2傅里葉變換出準(zhǔn)周期函數(shù)之外的非周期信號(hào)稱為一般周期信號(hào)，也就是瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)具有瞬變性，例如錘子敲擊力的變化、承載纜繩斷裂的應(yīng)力變化、熱電偶插入加熱的液體中溫

5、度的變化過程等信號(hào)均屬于瞬態(tài)信號(hào)。瞬態(tài)信號(hào)是非周期信號(hào)，可以看作一個(gè)周期的周期信號(hào)，即周期。因此，可以把瞬態(tài)信號(hào)看作周期趨于無窮大的周期信號(hào)。2.1傅里葉變換設(shè)有一周期信號(hào)，則其在區(qū)間內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式的表達(dá)式為，式中當(dāng)時(shí)，積分區(qū)間；譜線間隔，所以變?yōu)樵撌椒e分后將是的函數(shù)，且一般為復(fù)數(shù)，用或表示為式中：稱為信號(hào)的傅里葉積分變換或簡稱傅里葉變換（FouierTransform，F(xiàn)T），是把非周期信號(hào)看成周期趨于無窮大的周期信號(hào)來處理的，顯然即為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把稱為瞬態(tài)信號(hào)的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。由得代入得當(dāng)時(shí)，。則稱為的傅里葉逆變換或反變換（

6、InverseFourierTransform，IFT）。和構(gòu)成了傅立葉變換對一般地，使用或表示信號(hào)之間的傅立葉變換及其逆變換之間的關(guān)系。由于，所以和可變?yōu)檫@就避免了在傅里葉變換中出現(xiàn)的常數(shù)因子，使公式形式簡化。由式可知，非周期信號(hào)能夠用傅里葉函數(shù)來表示，。而周期信號(hào)可由傅里葉級(jí)數(shù)來表示。是一般復(fù)數(shù)形式，可表示為式中：為的實(shí)部；為的虛部；為信號(hào)的連續(xù)幅頻譜；為信號(hào)的連續(xù)相頻譜。比較周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜可知：首先，非周期信號(hào)幅值隨變化時(shí)連續(xù)的，即為連續(xù)頻譜，而周期信號(hào)的幅值隨變化時(shí)離散的，即為離散頻譜。其次，的量綱和信號(hào)幅值的量綱一致，而的量綱相當(dāng)于，為單位頻寬上的幅值，即為“頻譜密度函數(shù)”。2.2傅里葉變換的主要性質(zhì)一個(gè)信號(hào)可以進(jìn)行時(shí)域描述和頻域描述。兩種描述通過傅里葉變換來確立彼此一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，熟悉傅里葉變換的一些主要性質(zhì)十分必要。性質(zhì)時(shí)域頻域函數(shù)的奇偶虛實(shí)性實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)實(shí)奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)虛奇函數(shù)實(shí)奇函