概率及其性質(zhì)

1、第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率1.3 1.3 概率及其性質(zhì)概率及其性質(zhì)研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅需要關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅需要關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更需要知道這些事件出現(xiàn)的現(xiàn)哪些事件，更需要知道這些事件出現(xiàn)的可能性可能性.如何刻畫事件的可能性？如何刻畫事件的可能性？概率是隨機(jī)事件概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小的度量的度量 事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！1.3節(jié)需要弄清楚下述問題：節(jié)需要弄清楚下述問題：1、頻率的定義、計(jì)算方法、性質(zhì)是什么？、頻率的定義、計(jì)算方法、性質(zhì)是什么？2、概率的統(tǒng)計(jì)定義與公理化定義各是什么？、概率的統(tǒng)計(jì)定

2、義與公理化定義各是什么？3、概率的性質(zhì)有哪些？運(yùn)用時(shí)需注意哪些條件？、概率的性質(zhì)有哪些？運(yùn)用時(shí)需注意哪些條件？4、古典概率的定義及計(jì)算方法？、古典概率的定義及計(jì)算方法？一、頻率一、頻率定義定義：設(shè)在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行了：設(shè)在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行了 次試驗(yàn)，若隨次試驗(yàn)，若隨 機(jī)事件機(jī)事件 在這在這 次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了 次，則比值次，則比值 稱為事件稱為事件 在在 次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，其中次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，其中 稱為事件稱為事件 發(fā)生的頻數(shù)發(fā)生的頻數(shù).nAnAnAnAnAnnAfAn/)(如如：做投擲一枚質(zhì)地均勻硬幣試驗(yàn)，以下結(jié)果是歷史：做投擲一枚質(zhì)地均勻硬幣試驗(yàn)，以下結(jié)果是歷史 上

3、科學(xué)家觀察出現(xiàn)正面情況上科學(xué)家觀察出現(xiàn)正面情況.實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者擲硬幣次擲硬幣次數(shù)數(shù)出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面次數(shù)次數(shù)頻率頻率德摩根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998結(jié)論結(jié)論：直觀方面：當(dāng)投擲次數(shù)直觀方面：當(dāng)投擲次數(shù)n很大時(shí)，出現(xiàn)正很大時(shí)，出現(xiàn)正 面的頻率總在面的頻率總在0.5附近擺動(dòng)，且隨著投擲附近擺動(dòng)，且隨著投擲 次數(shù)的增加這種擺動(dòng)的幅度是很微小的；次數(shù)的增加這種擺動(dòng)的幅度是很微小的；頻率具有穩(wěn)定性：條件不變重復(fù)進(jìn)行頻率具有穩(wěn)定性：條件不變重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，次試驗(yàn)， 事件

4、事件 A的頻率的頻率 ，當(dāng)，當(dāng)n增大時(shí)一般地將增大時(shí)一般地將 穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近.)(Afnm非負(fù)性，即：對任何事件非負(fù)性，即：對任何事件 ，均有，均有歸一性，即：歸一性，即：可加性，任意可加性，任意 個(gè)互不相容事件個(gè)互不相容事件 滿足滿足A1)(0Afn1)(nfnAAA,21)()()(121nnnnnAfAfAAAf頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)二、概率的定義二、概率的定義1、概率的統(tǒng)計(jì)定義、概率的統(tǒng)計(jì)定義： 在相同的條件下做在相同的條件下做 次試驗(yàn)，將事件次試驗(yàn)，將事件 的頻率的頻率 隨隨 增大將穩(wěn)定的圍繞某個(gè)常數(shù)增大將穩(wěn)定的圍繞某個(gè)常數(shù) 波動(dòng)，且波動(dòng)，且波動(dòng)的幅度越來越小，我

5、們定義這個(gè)常數(shù)波動(dòng)的幅度越來越小，我們定義這個(gè)常數(shù) 為事件為事件 發(fā)生的概率，記為發(fā)生的概率，記為nA)(AfnnpApAP)(p注：頻率與概率的區(qū)別注：頻率與概率的區(qū)別頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性頻率具有隨機(jī)波動(dòng)性, 是一個(gè)變數(shù)，而概率是一是一個(gè)變數(shù)，而概率是一 個(gè)常數(shù)，個(gè)常數(shù)，事件事件A發(fā)生的概率完全取決于事件本身，發(fā)生的概率完全取決于事件本身， 是客觀存在的；是客觀存在的；概率的統(tǒng)計(jì)定義只是一種描述，它指出了事件的概概率的統(tǒng)計(jì)定義只是一種描述，它指出了事件的概 率是客觀存在的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在概率是客觀存在的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在概 率附近擺動(dòng)率附近擺動(dòng). 因此，在實(shí)際問題中，當(dāng)試

6、驗(yàn)的次數(shù)因此，在實(shí)際問題中，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù) n很大時(shí)，頻率通常作為概率的近似值很大時(shí)，頻率通常作為概率的近似值.2、概率的公理化定義、概率的公理化定義：設(shè)試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間為的樣本空間為， 對于對于E的每一事件的每一事件A，都賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，都賦予一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若集，若集 合函數(shù)合函數(shù)P滿足下列條件，則稱滿足下列條件，則稱P(A)為事件為事件A的概率的概率非負(fù)性：對任意非負(fù)性：對任意0)( ,APA規(guī)范性：規(guī)范性：1)( P可列可加性：對任意可列個(gè)兩兩互斥的事件可列可加性：對任意可列個(gè)兩兩互斥的事件 有有,1nAA11)()( iiiiAPAP三、概率的性質(zhì)三、概率的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：

7、1)(, 0)(PP性質(zhì)性質(zhì)3：對任意兩個(gè)事件：對任意兩個(gè)事件 與與 ，有，有AB)()()()(ABPBPAPBAP稱該性質(zhì)為稱該性質(zhì)為概率的加法公式概率的加法公式. 推廣推廣：若對任意三個(gè)事件：若對任意三個(gè)事件 ，有，有CBA,)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP1)(0AP性質(zhì)性質(zhì)2：對任意事件：對任意事件 ，A一般地一般地：)()1()()()()(2111111nnnkjikjinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAP性質(zhì)性質(zhì)4：若事件：若事件 與事件與事件 互不相容，則互不相容，則AB)()()(BPAPBAP加法公式的特殊情形

8、加法公式的特殊情形推廣推廣：若：若 兩兩互不相容，則：兩兩互不相容，則：nAAA,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP此性質(zhì)稱為概率的有限可加性此性質(zhì)稱為概率的有限可加性性質(zhì)性質(zhì)5：對事件：對事件 與其對立事件與其對立事件 ，有，有AA)(1)(APAP稱該性質(zhì)為概率的減法公式稱該性質(zhì)為概率的減法公式.性質(zhì)性質(zhì)6：對任意兩個(gè)事件：對任意兩個(gè)事件 ，有：，有：BA,)()()(BPAPBAP()( )()P ABP AP AB且若且若 ，則有：，則有：BA 例例1：設(shè)：設(shè)rBAPqBPpAP)( ,)( ,)(求：求：)( ),( ),(BAPBAPABP例例2：設(shè)事件：設(shè)事件

9、發(fā)生的概率分別為發(fā)生的概率分別為 ，試依據(jù)，試依據(jù) 下述情況求下述情況求 BA,31,41)( BAP 互斥互斥BA,BA 81)(ABP注注：BABA例例3：根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，明天甲城市下雨的概率為：根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，明天甲城市下雨的概率為0.7， 乙城市下雨的概率為乙城市下雨的概率為0.2，甲、乙兩城市同時(shí)，甲、乙兩城市同時(shí) 下雨的概率為下雨的概率為0.1，求下列事件的概率：，求下列事件的概率： 明天甲城市下雨而乙城市不下雨；明天甲城市下雨而乙城市不下雨； 明天至少有一城市下雨；明天至少有一城市下雨； 明天甲、乙兩城市都不下雨；明天甲、乙兩城市都不下雨； 明天至少有一城市不下雨明天至少有一城市不下

10、雨.四、古典概型四、古典概型定義定義：具有下列兩個(gè)特征的概率稱為：具有下列兩個(gè)特征的概率稱為古典概型古典概型 （或等可能概型）（或等可能概型） 有限性：試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有有限性：試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有 限個(gè)，即基本事件的數(shù)目有限；限個(gè)，即基本事件的數(shù)目有限； 等可能性：試驗(yàn)中各個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)）等可能性：試驗(yàn)中各個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)） 發(fā)生的可能性相同發(fā)生的可能性相同.古典概型的計(jì)算古典概型的計(jì)算 若隨機(jī)試驗(yàn)若隨機(jī)試驗(yàn) 的樣本空間中基本事件的總數(shù)為的樣本空間中基本事件的總數(shù)為 ，而事件，而事件 所包含的基本事件數(shù)為所包含的基本事件數(shù)為 ，則事件，則事件 發(fā)生的概率為：發(fā)生的概率

11、為：EnAmAnmAP)(A包含的基本事件總數(shù)包含的基本事件總數(shù)樣本空間的基本事件總數(shù)樣本空間的基本事件總數(shù)稱之為古典概型公式稱之為古典概型公式例例4：一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的：一位常飲奶茶的女士稱：她能從一杯沖好的 奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶奶茶中辨別出該奶茶是先放牛奶還是先放茶 沖制而成沖制而成. 做了做了10次測試，結(jié)果是她都正確次測試，結(jié)果是她都正確 地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？地辨別出來了。問該女士的說法是否可信？ 此題運(yùn)用了小概率原理：此題運(yùn)用了小概率原理： 概率很小的事件在一次試驗(yàn)概率很小的事件在一次試驗(yàn) 中是幾乎不可能發(fā)生的中是幾乎不可能發(fā)生的.有關(guān)小概率問題一資料有關(guān)小概率問題一資料：練習(xí)練習(xí) 1：將所有的兩位數(shù)逐一的寫在卡片上，從中任：將所有的兩位數(shù)逐一的寫在卡片上，從中任 意抽取一張卡片，求這張卡片上的數(shù)字能被意抽取一張卡片，求這張卡片上的數(shù)字能被 2或能被或能被3整除的概率