【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 122排列與組合課件（北師大版）

1、首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁考綱解讀1理解排列、組合的概念2能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式3能解決簡單的實(shí)際問題考向預(yù)測1排列、組合問題每年必考2以選擇題、填空題的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查3以實(shí)際問題為背景以考查排列數(shù)、組合數(shù)為主，同時考查分類整合的思想及解決問題的能力首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁知識梳理1排列(1)排列的定義：從n個 的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的 排成一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列(2)排列數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的排列數(shù)

2、，用Anm表示(3)排列數(shù)公式：Anm 不同順序所有排列n(n1)(n2)(nm1)首頁上頁下頁末頁(4)全排列：n個不同的元素全部取出的 ，叫做n個不同元素的一個全排列，Annn(n1)(n2)21.于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為 ，這里規(guī)定0！ .排列n！1首頁上頁下頁末頁2組合(1)組合的定義：從n個的元素中取出m(mn)個元素為 叫作從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的一個組合(2)組合數(shù)的定義：從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的的個數(shù)，叫做從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的組合數(shù)，用Cnm表示不同一組所有組合首頁上頁下頁末頁(4)組合數(shù)的性質(zhì)：Cnm；Cn1m .1

3、1 CnnmCnmCnm1首頁上頁下頁末頁根底自測1(2021四川文)由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1,2都不與5相鄰的五位數(shù)的個數(shù)是()A36B32C28 D24答案A解析此題考查排列與組合知識當(dāng)5排在兩端時，有C21C21A3324種排法；當(dāng)5不排在兩端，即放在3和4之間時，有A22A3312種排法故共有241236種排法首頁上頁下頁末頁2(2021遼寧理)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，那么不同的組隊(duì)方案共有()A70種 B80種C100種 D140種答案A解析考查排列組合有關(guān)知識可分兩類，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生

4、2名，共有C52C41C51C4270種，選A.首頁上頁下頁末頁3(2021全國卷文)甲組有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)假設(shè)從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，那么選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有()A150種 B180種C300種 D345種答案D首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁4(2021遼寧理)如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入正整數(shù)n，m，滿足nm，那么輸出的p等于()ACnm1BAnm1CCnmDAnm答案D首頁上頁下頁末頁解析由程序框圖知k1，p1，p1(nm1)k2，p(nm1)(nm2) km1，p(nm1)(nm2)(n1)km，p(nm1)(nm2)(n

5、1)nAnm.首頁上頁下頁末頁5將4名大學(xué)生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，那么不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)答案36解析因?yàn)槊總€鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，所以有一個鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名的情況，假設(shè)A鄉(xiāng)鎮(zhèn)有2名學(xué)生，那么有C42A2212(種)情況所以不同的分配方案共有31236(種)情況首頁上頁下頁末頁62021年廣州亞運(yùn)會火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，那么不同的傳遞方案共有_種(作數(shù)字作答)答案96解析先安排最后一棒(A21)，再安排第一棒(A21)，最 后 安 排 中 間 四 棒 ( A

6、4 4 ) ， 不 同 的 傳 遞 方 案 有A21A21A4496(種)首頁上頁下頁末頁7對某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測試，直至區(qū)分出所有次品為止假設(shè)所有次品恰好在第5次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，那么這樣的測試方法有多少種可能？解析恰好在第5次把次品全部發(fā)現(xiàn)，說明第5次一定是最后一個次品前4次共檢測了三個次品，一個正品所以可能的測試方法有C61C43A44576種首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁例1解方程或不等式：(1)3Ax32Ax126Ax2；(2)A9x6A6x2；分析利用排列數(shù)、組合數(shù)的定義及公式求解，注意定義中mn條件的應(yīng)用首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁

7、點(diǎn)評在解有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式時，必須熟練掌握排列數(shù)、組合數(shù)公式的兩種形式注意Anm(Cnm)中的n必須為正整數(shù)，m為非負(fù)整數(shù)，且nm.由此求出方程或不等式的解后，要進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合要求的解舍去首頁上頁下頁末頁(1)求值Cn5nCn19n(2)證明恒等式Cn1mCn2mCm1mCmmCnm1.首頁上頁下頁末頁nNn4或5.當(dāng)n4時，原式C41C555.當(dāng)n5時，原式C50C6416.首頁上頁下頁末頁(2)證明：左邊CmmCm1mCm2mCn2mCn1m(Cm1m1Cm1m)Cm2mCn2mCn1m(Cm2m1Cm2m)Cn2mCn1m(Cn2m1Cn2m)Cn1mCn1m1Cn1m

8、Cnm1右邊.首頁上頁下頁末頁例2六人按以下要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端；(6)甲不站左端，乙不站右端首頁上頁下頁末頁分析此題主要考查有限制條件的排列應(yīng)用題的解法及分類討論的思想和分析問題、解決問題的能力解析(1)方法一要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有A41種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有A55種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：A41A55480(種)方法二由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有A52種站法，然后中間4

9、人有A44種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有站法：A52A44480(種)首頁上頁下頁末頁方法三假設(shè)對甲沒有限制條件共有A66種站法，甲在兩端共有2A55種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：A662A55480(種)(2)方法一先把甲、乙作為一個“ 整體，看作一個人，有A55種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A22種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A55A22240(種)站法首頁上頁下頁末頁方法二先把甲、乙以外的4個人作全排列，有A44種站法， 再在5個空檔中選一個供甲、乙放入，有A51種方法，最后讓甲、乙全排列，有A22種方法，共有A44A51A22240(種)(3)因?yàn)榧住⒁?/p>

10、不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊(duì)，有A44種；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔(含兩端)中，有A52種，故共有站法為A44A52480(種)也可用“間接法，6個人全排列有A66種站法，由(2)知甲、乙相鄰有A55A22240種站法，所以不相鄰的站法有A66A55A22720240480(種)首頁上頁下頁末頁(4)方法一先將甲、乙以外的4個人作全排列，有A44種，然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有3A22種，故共有A44(3A22)144(種)站法方法二先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有A42種，然后把甲、乙及中間2人看作一個“大元

11、素與余下2人作全排列有A33種方法，最 后 對 甲 、 乙 進(jìn) 行 排 列 ， 有 A 2 2 種 方 法 ， 故 共 有A42A33A22144(種)站法首頁上頁下頁末頁(5)方法一首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A22種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有A44種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A22A4448( 種)站法方法二首先考慮兩端兩個特殊位置 ，甲、乙去站，有A22種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有A44種站法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有A22A4448(種)站法首頁上頁下頁末頁(6)方法一甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A55種，且甲在左端而乙在右端的站法

12、有A44種，共有A662A55A44504(種)站法方法二以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有A55種，甲在中間4個位置之一，而乙不在右端有A41A41A44種，故共有A55A41A41A44504(種)站法首頁上頁下頁末頁點(diǎn)評排列問題本質(zhì)就是“元素占“位子問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排或“不排在哪個位子上，某些元素“相鄰或“不相鄰對于這類問題在分析時，主要按“優(yōu)先原那么，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，如此題(1)中的方法一、方法二對于“相鄰問題可用“捆綁法，對“不相鄰問題可用“插空法，如此題(2)與(3)當(dāng)正面求解較困難時，也可用“間接法，如此題(6)首頁上頁

13、下頁末頁(2021江蘇南京一模)有5個同學(xué)排隊(duì)照相，求：(1)甲、乙2個同學(xué)必須相鄰的排法有多少種？(2)甲、乙、丙3個同學(xué)互不相鄰的排法有多少種？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少種？(4)甲不站在中間位置，乙不站在兩端兩個位置的排法有多少種？首頁上頁下頁末頁分析此題是有限制條件的排列問題，它們分別屬于相鄰問題、不相鄰問題、順序一定問題、在與不在問題等模型，應(yīng)采取相應(yīng)的捆綁法、插空法、直接法、間接法、排除法等求解解析(1)這是典型的相鄰問題，采用捆綁法先排甲、乙，有A22種方法，再與其他3名同學(xué)排列，共有A22A4448種不同排法；(2)這是不相鄰問題，采用插空法，先排其余

14、的2名同學(xué)，有A22種排法，出現(xiàn)3個空，將甲、乙、丙插空，所以共有A22A3312種排法首頁上頁下頁末頁(3)這是順序一定問題，由于乙不能站在甲前面， 丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙這一種順序排列方法一：5人的全排列共有A55種，甲、乙、丙3人全排列有A33種，而3人按甲、乙、丙順序排列是全排列中的一種，所以共有20種排法方法二：采用插空法，先排甲、乙、丙3人，只有一種排法，然后插入1人到甲、乙、丙中，有4種插法，再插入1人，有5 種插法，故共有4520種排法首頁上頁下頁末頁(4)方法一：(直接法)假設(shè)甲排在了兩端的兩個位置之一，甲有A21種，乙有A31種，其余3人有A33種，所以共

15、有A21A31A33種；假設(shè)甲排在了第2和第4兩個位置中的一個，有A21種，這時乙有A21種，其余3人有A33種，所以一共有A21A21A33種，因此符合要求的一共有A21A31A33A21A21A3360種排法方法二：(間接法)5個人全排列有A55種，其中甲站在中間時有A44種，乙站在兩端時有2A44種，且甲站中間同時乙在兩端的有2A33種，所以一共有A55A442A442A3360種排法首頁上頁下頁末頁點(diǎn)評對于相鄰問題，可以先將這些要求相鄰的元素作為一個元素與其他元素進(jìn)行排列，同時要考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這稱為“捆綁法；對于不相鄰問題，可先排其他元素，然后將這些要求不相鄰的元素插入空檔，

16、這稱為“插空法；對于順序一定的排列問題，可先將全部元素進(jìn)行全排列，再除以要求順序一定的元素之間的全排列數(shù).首頁上頁下頁末頁例3某旅游團(tuán)要從8個風(fēng)景點(diǎn)中選出兩個風(fēng)景點(diǎn)作為當(dāng)天的游覽地，滿足下面條件的選法各有多少種？(1)甲、乙兩個風(fēng)景點(diǎn)至少選一個；(2)甲、乙兩個風(fēng)景點(diǎn)至多項(xiàng)選擇一個；(3)甲、乙兩個風(fēng)景點(diǎn)必須選一個且只能選一個首頁上頁下頁末頁解析(1)解法一甲、乙至少選一個有兩種情況：甲、乙都選有C22種，或者甲、乙兩個中只選一個有C21C61種，所以至少選一個的情況有：C22C21C6111213種解法二甲、乙至少有一個可看成所有選法種數(shù)C82減去甲、乙都不選的種數(shù)C62，所以甲、乙至少選一

17、個的種數(shù)為：C82C62281513.首頁上頁下頁末頁(2)解法一甲、乙至多項(xiàng)選擇一個有兩種情況：甲、乙都不選有C62種選法或者甲、乙兩個中只選一個，有C21C61，所以甲、乙至多項(xiàng)選擇一個的種數(shù)為：C62C21C61151227.解法二甲、乙至多項(xiàng)選擇一個可看成所有選法種數(shù)C82減去甲、乙都選的種數(shù)C22，所以甲、乙至多項(xiàng)選擇一個的種數(shù)為：C82C2228127.(3)甲、乙必須選一個且只能選一個的種數(shù)為：C21C6112.首頁上頁下頁末頁點(diǎn)評對于從正面考慮情況較多的問題可以先求出沒有條件限制的組合數(shù)，再減去不符合條件的組合數(shù)，這樣使得計(jì)算較為簡單，這種方法是我們平時所說的從反面考慮問題這種

18、方法對于元素較多的組合數(shù)會非常有效首頁上頁下頁末頁從7名男生和5名女生中選取5人，分別符合以下條件的選法總數(shù)有多少種？(1)A，B必須中選；(2)A，B必不中選；(3)A，B不全中選；(4)至少有2名女生中選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任首頁上頁下頁末頁分析(1)(2)(3)屬于組合問題，可用直接法，(4)屬于組合問題，可用間接法，(5)屬于先選后排問題，應(yīng)分步完成解析(1)由于A，B必須中選，那么從剩下的10人中選取3人即可，C103120種(2)從除去A，B兩人的10人中選5人即可，有C105252種(3)

19、全部選法有C125種，A，B全中選有C103種，故A，B不全中選有C125C103672種首頁上頁下頁末頁(4)注意到“至少有2名女生的反面是只有一名女生或沒有女生，故可用間接法進(jìn)行有C125C51C74C75596種選法(5)分三步進(jìn)行：第一步：選1男1女分別擔(dān)任兩個職務(wù)為C71C51；第二步：選2男1女補(bǔ)足5人有C62C41種；第三步：為這3人安排工作有A33.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有C71C51C62C41A3312600種選法首頁上頁下頁末頁點(diǎn)評在解組合問題時，常遇到至多、至少問題，此時可考慮用間接法求解以減少運(yùn)算量如果同一個問題涉及排列組合問題應(yīng)注意先選后排的原那么.首頁上頁下頁末頁例

20、4按以下要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；首頁上頁下頁末頁(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本解析這是一個分配問題，解題的關(guān)鍵是搞清事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，防止計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏(1)無序不均勻分組問題先選1本有C61種選法，再從余下的5本中選2本有C52種選法；最后余下3本全選有C3

21、3種方法故共有C61C52C3360種(2)有序不均勻分組問題由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題根底上，還應(yīng)考慮再分配，共有C61C52C33A33360種首頁上頁下頁末頁(3)無序均勻分組問題先分三步，那么應(yīng)是C62C42C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，假設(shè)第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，那么C62C42C22種分法中還有(AB、EF、CD)、(CD、AB、EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33種情況，而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只

22、能作為一種分法，故分配方式有 15種首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁(7)直接分配問題甲選1本有C61種方法，乙從余下5本中選1本有C51種方法，余下4本留給丙有C44種方法共有C61C51C4430種點(diǎn)評均勻分組與不均勻分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型解決此類問題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)；還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無序分組的根底上乘以分組數(shù)的階乘數(shù)首頁上頁下頁末頁有4個不同的小球，4個不同的盒子，現(xiàn)要把球全部放進(jìn)盒子內(nèi)(1)恰有1個盒子不放球，共有多少種方法？(2)恰有2個盒子不放球，共有多少種方法？分析恰有

23、1個空盒，說明必定有1個盒子內(nèi)要放入2個球，先分組再排列計(jì)算.4個球放在2個盒子內(nèi)要注意分類計(jì)數(shù)首頁上頁下頁末頁解析(1)確定1個空盒有C41種方法；選2個球捆在一起有C42種方法；把捆在一起的2個小球看成“一個整體，那么意味著將3個球分別放入3個盒子內(nèi)，有A33種方法故共有C41C42A33144種首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁點(diǎn)評解決排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進(jìn)行分組，再對取出的元素或分好的組進(jìn)行排列其中分組時，要注意“平均分組與“不平均分組的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)首頁上頁下頁末頁首頁上頁下頁末頁1排列數(shù)公式和組合數(shù)公式都有階乘形式與乘積形式，前者多用于對含有字母的式子進(jìn)行變形與論